Informatica - Matematica discreta

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ESONERO DI MATEMATCA DISCRETA C.L. Informatica- Sede di Brindisi Brindisi, 16 Novembre 2011 Esercizio 1. Date le seguenti funzioni f:N → Q \{ 2},f (n)= 3n 2n+5 e g:Q \{ 2}→ Q \{ 1} g(x)=2 x− 3, stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre cal colare, ove possibile, f−1,g−1, f◦geg◦f. Esercizio 2. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n∈ N,siha n! k=−1 5k= 1 4(5n+1 − 1 5). Esercizio 3. a) Scrivere la definizione di relazione di equivalenza su un insiem eedi classe di equivalenza di un elemento. b) Assegnata su Z la relazione R = {(a, b )∈ Z× Z |17 |7a+ 10 b}, (ovvero aR b⇐⇒ 17 |7a+ 10 b), verificare che R definisce una relazione di equivalenza su Z e scrivere la classe di equivalenza di 0. Esercizio 4. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari ⎧⎨ ⎩ 2x≡ 3 (mod 11) 50 x≡ 5 (mod 7) 3x≡ 12 (mod 45) . Esercizio 5. Date due proposizioni P eQ scrivere la tabella di verit`a di P ∧Q. Inoltre, stabilire se la proposizione *x∈ R ∃y∈ R tale che *z∈ R x= y2+ z2 `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 6. Calcolare il massimo comun divisore tra i numeri 2340 e 462 ed esprimerlo come combinazione di 2340 e 462. 1 ESONERO DI MATEMATCA DISCRETA C.L. Informatica- Sede di Brindisi Brindisi, 16 Novembre 2011 Esercizio 1. Date le seguenti funzioni g:N → R,g (n)= n2− 4n e h:R → R h(x)= x5− 2, stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre cal colare, ove possibile, g−1,h−1, h◦geg◦h. Esercizio 2. a) Scrivere la definizione di relazione di equivalenza su un insiem eedi classe di equivalenza di un elemento. b) Assegnata su Z la relazione R = {(a, c )∈ Z× Z |13 |8c+5 a}, (ovvero aR c⇐⇒ 13 |8c+5 a), verificare che R definisce una relazione di equivalenza su Z e scrivere la classe di equivalenza di 0. Esercizio 3. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n∈ N,siha n! k=−2 4 3k=2 n(n+1 3 )− 4. Esercizio 4. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari ⎧⎨ ⎩ 3x≡ 21 (mod 33) 61 x≡ 4 (mod 15) 2x≡ 3 (mod 7) . Esercizio 5. Date due proposizioni P eQ scrivere la tabella di verit`a di P ∨Q. Inoltre, stabilire se la proposizione *z∈ R ∃x∈ R tale che *y∈ R z= x2− y3 `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 6. Calcolare il massimo comun divisore tra i numeri 2850 e 495 ed esprimerlo come combinazione di 2850 e 495. 1 ESONERO DI MATEMATCA DISCRETA C.L. Informatica- Sede di Brindisi Brindisi, 16 Novembre 2011 Esercizio 1. Date le seguenti funzioni g:Z\{ 3}→ Z\ {− 2} g(n)=3 n− 11 , e f:Z\ {− 1,1}→ Z\{ 3},f (z)= |z|+2 stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre cal colare, ove possibile, f−1,g−1, f◦geg◦f. Esercizio 2. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n∈ N,siha n! k=−1 6k2= n(n+ 1)(2 n+ 1) + 6 . Esercizio 3. Date due proposizioni P eQ scrivere la tabella di verit`a di P =⇒ Q. Inoltre, stabilire se la proposizione &y∈ R ∃z∈ R tale che &x∈ R y= zx + z2 `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 4. a) Scrivere la definizione di relazione di equivalenza su un insiem eedi classe di equivalenza di un elemento. b) Assegnata su Z la relazione R = {(c, b )∈ Z× Z |11 |4c+7 b}, (ovvero cR b⇐⇒ 11 |4c+7 b), verificare che R definisce una relazione di equivalenza su Z e scrivere la classe di equivalenza di 0. Esercizio 5. Calcolare il massimo comun divisore tra i numeri 5390 e 364 ed esprimerlo come combinazione di 5390 e 364. Esercizio 6. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari ⎧⎨ ⎩ 3x≡ 15 (mod 21) 89 x≡ 7 (mod 11) 7x≡ 13 (mod 15) . 1 Esonero di Matematica Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, 19 Novembre 2012 Traccia: 1 Esercizio 1. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n∈ N,siha n+1! i=−1 3 2i2= (n+ 1)( n+ 2)(2 n+ 3) + 6 4 . Esercizio 2. Date le seguenti funzioni h:Z → R \{ 1} h(x)=2 |x|− 1 2, e g:R \{ 1}→ R \{ 0},g (n)= n3− 1 stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre cal colare, ove possibile, le funzioni inverse h−1,g−1, e le composizioni h◦geg◦h. Esercizio 3. a) Scrivere la definizione di relazione di ordine parziale su un insie me. b) Sia assegnata su Z la relazione R = {(x, y )∈ Z× Z |xy dispari }, (ovvero xR y⇐⇒ il prodotto xy e’ dispari ). Stabilire se R e’ riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, d’ordine, d’equivalenza. Esercizio 4. Date tre proposizioni P,Q ed R, scrivere la tabella di verit`a di ( P∨Q)∧R. Inoltre, stabilire se la proposizione *p∈ N ∃q∈ Z tale che *r∈ Z q− 3pr =0 `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 5. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone t utte le soluzioni 504 x+ 154 y= 14 . Esercizio 6. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari ⎧⎨ ⎩ 7x≡ 7 (mod 11) 101 x≡ 22 (mod 10) 3x≡ 9 (mod 21) . 1 Esonero di Matematica Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, 19 Novembre 2012 Traccia: 2 Esercizio 1. Date le seguenti funzioni f:Q → Q f(a)= 3 4a− 2, e g:N → Q,g (n)= 2n− 3 3n+1 stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre cal colare, ove possibile, le funzioni inverse f−1,g−1, e le composizioni f◦geg◦f. Esercizio 2. Date tre proposizioni P,Q ed R, scrivere la tabella di verit`a di ( P∧R)∨Q. Inoltre, stabilire se la proposizione &a∈ N ∃y∈ Z tale che &n∈ Z 2ay = n `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 3. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari ⎧⎨ ⎩ 3x≡ 6 (mod 30) 122 x≡ 12 (mod 11) 5x≡ 1 (mod 7) . Esercizio 4. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n∈ N,siha n+1$ i=−1 (3 i+ 1) = 3 2(n+ 1)( n+ 2) + n. Esercizio 5. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone t utte le soluzioni 594 x+ 126 y= 18 . Esercizio 6. a) Scrivere la definizione di relazione di ordine parziale su un insie me. b) Sia assegnata su Z la relazione R = {(c, d )∈ Z× Z |cd ≥ 0}, (ovvero cR d ⇐⇒ il prodotto cd e’ maggiore o uguale a zero). Stabilire se R e’ rif- lessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, d’ordine, d’eq uivalenza. 1 Esonero di Matematica Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, 19 Novembre 2012 Traccia: 3 Esercizio 1. a) Scrivere la definizione di relazione di ordine parziale su un insie me. b) Sia assegnata su Z la relazione R = {(x, y )∈ Z× Z |xy dispari }, (ovvero xR y⇐⇒ il prodotto xy e’ dispari ). Stabilire se R e’ riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, d’ordine, d’equivalenza. Esercizio 2. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone t utte le soluzioni 504 x+ 154 y= 14 . Esercizio 3. Date tre proposizioni P,Q ed R, scrivere la tabella di verit`a di ( P∨Q)∧R. Inoltre, stabilire se la proposizione 'p∈ N ∃q∈ Z tale che 'r∈ Z q− 3pr =0 `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 4. Date le seguenti funzioni h:Z → R \{ 1} h(x)=2 |x|− 1 2, e g:R \{ 1}→ R \{ 0},g (n)= n3− 1 stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre cal colare, ove possibile, le funzioni inverse h−1,g−1, e le composizioni h◦geg◦h. Esercizio 5. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari ⎧⎨ ⎩ 7x≡ 7 (mod 11) 101 x≡ 22 (mod 10) 3x≡ 9 (mod 21) . Esercizio 6. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n∈ N,siha n+1$ i=−1 3 2i2= (n+ 1)( n+ 2)(2 n+ 3) + 6 4 . 1 Esonero di Matematica Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, 19 Novembre 2012 Traccia: 4 Esercizio 1. Date tre proposizioni P,Q ed R, scrivere la tabella di verit`a di ( P∧R)∨Q. Inoltre, stabilire se la proposizione #a∈ N ∃y∈ Z tale che #n∈ Z 2ay = n `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 2. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n∈ N,siha n+1! i=−1 (3 i+ 1) = 3 2(n+ 1)( n+ 2) + n. Esercizio 3. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone t utte le soluzioni 594 x+ 126 y= 18 . Esercizio 4. a) Scrivere la definizione di relazione di ordine parziale su un insie me. b) Sia assegnata su Z la relazione R = {(c, d )∈ Z× Z |cd ≥ 0}, (ovvero cR d ⇐⇒ il prodotto cd e’ maggiore o uguale a zero). Stabilire se R e’ rif- lessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, d’ordine, d’eq uivalenza. Esercizio 5. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari ⎧⎨ ⎩ 3x≡ 6 (mod 30) 122 x≡ 12 (mod 11) 5x≡ 1 (mod 7) . Esercizio 6. Date le seguenti funzioni f:Q → Q f(a)= 3 4a− 2, e g:N → Q,g (n)= 2n− 3 3n+1 stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre cal colare, ove possibile, le funzioni inverse f−1,g−1, e le composizioni f◦geg◦f. 1 Esonero di Matematica Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, 19 Novembre 2012 Traccia: a Esercizio 1. a) Scrivere la definizione di relazione di ordine parziale su un insie me. b) Sia assegnata su Z la relazione R = {(z, w )∈ Z× Z |zw ≤ 0}, (ovvero zR w ⇐⇒ il prodotto zw e’ minore o uguale a zero). Stabilire se R e’ riflessi- va, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, d’ordine, d’equivale nza. Esercizio 2. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone t utte le soluzioni 396 x+ 156 y= 12 . Esercizio 3. Date tre proposizioni P,Q ed R, scrivere la tabella di verit`a di P∨(Q∧R) Inoltre, stabilire se la proposizione ∃a∈ N tale che )b∈ Z ∃c∈ Z con a− 4b+ c=0 . `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 4. Date le seguenti funzioni h:R → R h(z)= 1 3z5− 1, e f:Q → R,f (y)= ! y2+2 stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre cal colare, ove possibile, le funzioni inverse h−1,f−1, e le composizioni f◦heh◦f. Esercizio 5. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari ⎧⎨ ⎩ 112 x≡ 2 (mod 11) 4x≡ 12 (mod 28) 7x≡ 4 (mod 10) . Esercizio 6. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n∈ N,siha n+1% i=−1 3i3= 3 4 &(n+ 1) 2(n+ 2) 2− 4'. 1 Esonero di Matematica Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, 19 Novembre 2012 Traccia: b Esercizio 1. Date tre proposizioni P,Q ed R, scrivere la tabella di verit`a di P∧(R∨Q). Inoltre, stabilire se la proposizione ∃x∈ N tale che %y∈ Z ∃z∈ Z con x=2 y− z. `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 2. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n∈ N,siha n+1! i=−1 "1 3 #i = 9 2− 1 2 " 1 3n+1 # . Esercizio 3. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone t utte le soluzioni 585 x+ 165 y= 15 . Esercizio 4. a) Scrivere la definizione di relazione di ordine parziale su un insie me. b) Sia assegnata su Z la relazione R = {(a, b )∈ Z× Z |ab pari }, (ovvero aR b ⇐⇒ il prodotto ab e’ pari ). Stabilire se R e’ riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, d’ordine, d’equivalenza. Esercizio 5. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari ⎧⎨ ⎩ 50 x≡ 73 (mod 7) 3x≡ 3 (mod 33) 6x≡ 2 (mod 10) . Esercizio 6. Date le seguenti funzioni g:N → Q g(n)= 1− n 2n+2 , e f:Q → Q,f (z)= 7 5z+ 11 stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre cal colare, ove possibile, le funzioni inverse f−1eg−1, e le composizioni f◦geg◦f. 1 Esonero di Matematica Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, 19 Novembre 2012 Traccia: c Esercizio 1. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n∈ N,siha n+1! i=−1 3i3= 3 4 "(n+ 1) 2(n+ 2) 2− 4#. Esercizio 2. Date le seguenti funzioni h:R → R h(z)= 1 3z5− 1, e f:Q → R,f (y)= $ y2+2 stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre cal colare, ove possibile, le funzioni inverse h−1,f−1, e le composizioni f◦heh◦f. Esercizio 3. a) Scrivere la definizione di relazione di ordine parziale su un insie me. b) Sia assegnata su Z la relazione R = {(z, w )∈ Z× Z |zw ≤ 0}, (ovvero zR w ⇐⇒ il prodotto zw e’ minore o uguale a zero). Stabilire se R e’ riflessi- va, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, d’ordine, d’equivale nza. Esercizio 4. Date tre proposizioni P,Q ed R, scrivere la tabella di verit`a di P∨(Q∧R) Inoltre, stabilire se la proposizione ∃a∈ N tale che ,b∈ Z ∃c∈ Z con a− 4b+ c=0 . `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 5. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone t utte le soluzioni 396 x+ 156 y= 12 . Esercizio 6. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari ⎧⎨ ⎩ 112 x≡ 2 (mod 11) 4x≡ 12 (mod 28) 7x≡ 4 (mod 10) . 1 Esonero di Matematica Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, 19 Novembre 2012 Traccia: d Esercizio 1. Date le seguenti funzioni g:N → Q g(n)= 1− n 2n+2 , e f:Q → Q,f (z)= 7 5z+ 11 stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre cal colare, ove possibile, le funzioni inverse f−1eg−1, e le composizioni f◦geg◦f. Esercizio 2. Date tre proposizioni P,Q ed R, scrivere la tabella di verit`a di P∧(R∨Q). Inoltre, stabilire se la proposizione ∃x∈ N tale che (y∈ Z ∃z∈ Z con x=2 y− z. `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 3. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari ⎧⎨ ⎩ 50 x≡ 73 (mod 7) 3x≡ 3 (mod 33) 6x≡ 2 (mod 10) . Esercizio 4. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n∈ N,siha n+1$ i=−1 %1 3 &i = 9 2− 1 2 % 1 3n+1 & . Esercizio 5. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone t utte le soluzioni 585 x+ 165 y= 15 . Esercizio 6. a) Scrivere la definizione di relazione di ordine parziale su un insie me. b) Sia assegnata su Z la relazione R = {(a, b )∈ Z× Z |ab pari }, (ovvero aR b ⇐⇒ il prodotto ab e’ pari ). Stabilire se R e’ riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, d’ordine, d’equivalenza. 1 Esonero di Matematica Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, 14 Aprile 2014 Traccia: 1 Esercizio 1. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari 8< : 94 x⌘ 5 (mod 3) 2x⌘ 10 (mod 11) 6x⌘ 18 (mod 48) . Esercizio 2. Date tre proposizioni Q,R ed P, scrivere la tabella di verit`a di P_(R =) Q). Inoltre, stabilire se la proposizione 8x2 R 9y2 N tale che 8c2 R x yc 2=0 . `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 3. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n2 N,siha nX i=1 ✓2 3 ◆i = 9 2 3 ✓2 3 ◆n+1 . Esercizio 4. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone tutte le soluzioni 115 x+ 280 y= 30 . Esercizio 5. Si consideri un gruppo di 4 Inglesi, 5 Francesi e 6 Spagnoli. Gli inglesi sono tutti uomini, i Francesi sono 2 uomini e 3 Donne, gli Spagnoli sono 3 Donne e 3 Uomini. 1) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 4 persone? 2) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 3 persone, con un rappre- sentante per ogni nazionalit`a, con esattamente una donna? 3) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 3 persone, con un rappre- sentante per ogni nazionalit`a, con esattamente due donne? 4) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 3 persone, con un rappre- sentante per ogni nazionalit`a con almeno una donna? Esercizio 6. Date le seguenti leggi f:Z ! R f(x)= 3p x2, e h:R ! R,h (b)=3 11 15 b stabilire se sono funzioni. In tal caso, stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre calcolare, ove possibile, le funzioni inverse h1,f1, e le composizioni fh e hf. 1 Esonero di Matematica Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, Brindisi, 14 Aprile 2014 Traccia: 2 Esercizio 1. Si consideri un gruppo di 6 Svedesi, 3 Italiani e 6 Olandesi. Gli Italiani sono tutte donne, gli Svedesi sono 4 Donne e 2 Uomini, gli Olandesi sono 3 Donne e 3 Uomini. a) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 4 persone? b) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 3 persone, con un rappre- sentante per ogni nazionalit`a, con esattamente un uomo? c) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 3 persone, con un rappre- sentante per ogni nazionalit`a, con esattamente due uomini? d) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 3 persone, con un rappre- sentante per ogni nazionalit`a con almeno un uomo? Esercizio 2. Date le seguenti leggi g:N ! R g(n)= 2n 1 n+4 , e h:R ! R,h (a)= 2 5a5 3 stabilire se sono funzioni. In tal caso, stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre calcolare, ove possibile, le funzioni inverse h1eg1, e le composizioni hge gh. Esercizio 3. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone tutte le soluzioni 110 x+ 135 y= 20 . Esercizio 4. Date tre proposizioni P,Q ed R, scrivere la tabella di verit`a di ( P =) R)^Q. Inoltre, stabilire se la proposizione 9a2 N tale che 8t2 Z 9b2 Z con a+5 t= b. `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 5. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari 8< : 2x⌘ 10 (mod 22) 81 x⌘ 11 (mod 8) 4x⌘ 2 (mod 3) . Esercizio 6. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n2 N,siha nX i=1 ✓1 4 ◆i = 16 3 1 3 ✓1 4 ◆n . 1 Esonero di Matematica Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, 14 Aprile 2014 Traccia: 3 Esercizio 1. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari 8< : 94 x⌘ 5 (mod 3) 2x⌘ 10 (mod 11) 6x⌘ 18 (mod 48) . Esercizio 2. Date tre proposizioni Q,R ed P, scrivere la tabella di verit`a di P_(R =) Q). Inoltre, stabilire se la proposizione 8x2 R 9y2 N tale che 8c2 R x yc 2=0 . `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 3. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n2 N,siha nX i=1 ✓2 3 ◆i = 9 2 3 ✓2 3 ◆n+1 . Esercizio 4. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone tutte le soluzioni 115 x+ 280 y= 30 . Esercizio 5. Si consideri un gruppo di 4 Inglesi, 5 Francesi e 6 Spagnoli. Gli inglesi sono tutti uomini, i Francesi sono 2 uomini e 3 Donne, gli Spagnoli sono 3 Donne e 3 Uomini. 1) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 4 persone? 2) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 3 persone, con un rappre- sentante per ogni nazionalit`a, con esattamente una donna? 3) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 3 persone, con un rappre- sentante per ogni nazionalit`a, con esattamente due donne? 4) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 3 persone, con un rappre- sentante per ogni nazionalit`a con almeno una donna? Esercizio 6. Date le seguenti leggi f:Z ! R f(x)= 3p x2, e h:R ! R,h (b)=3 11 15 b stabilire se sono funzioni. In tal caso, stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre calcolare, ove possibile, le funzioni inverse h1,f1, e le composizioni fh e hf. 1 Esonero di Matematica Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, Brindisi, 14 Aprile 2014 Traccia: 4 Esercizio 1. Si consideri un gruppo di 6 Svedesi, 3 Italiani e 6 Olandesi. Gli Italiani sono tutte donne, gli Svedesi sono 4 Donne e 2 Uomini, gli Olandesi sono 3 Donne e 3 Uomini. a) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 4 persone? b) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 3 persone, con un rappre- sentante per ogni nazionalit`a, con esattamente un uomo? c) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 3 persone, con un rappre- sentante per ogni nazionalit`a, con esattamente due uomini? d) In quanti modi diversi si pu`o formare un comitato di 3 persone, con un rappre- sentante per ogni nazionalit`a con almeno un uomo? Esercizio 2. Date le seguenti leggi g:N ! R g(n)= 2n 1 n+4 , e h:R ! R,h (a)= 2 5a5 3 stabilire se sono funzioni. In tal caso, stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre calcolare, ove possibile, le funzioni inverse h1eg1, e le composizioni hge gh. Esercizio 3. Risolvere se possibile la seguente equazione diofantea indicandone tutte le soluzioni 110 x+ 135 y= 20 . Esercizio 4. Date tre proposizioni P,Q ed R, scrivere la tabella di verit`a di ( P =) R)^Q. Inoltre, stabilire se la proposizione 9a2 N tale che 8t2 Z 9b2 Z con a+5 t= b. `e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 5. Risolvere, se possibile, il sistema di congruenze lineari 8< : 2x⌘ 10 (mod 22) 81 x⌘ 11 (mod 8) 4x⌘ 2 (mod 3) . Esercizio 6. Dimostrare con il principio di induzione che, per ogni n2 N,siha nX i=1 ✓1 4 ◆i = 16 3 1 3 ✓1 4 ◆n . 1 ESONERO DI MATEMATCA DISCRETA C.L. Informatica- Sede di Brindisi Brindisi, 21 Dicembre 2011 Esercizio 1. Determinare gli elementi invertibili e i divisori dello zero nell’anello ( Z24,+,·). Esercizio 2. Si consideri in S8la seguente permutazione f= ✓12345678 35468127 ◆ . (1) Scrivere f come prodotto di cicli disgiunti. (2) Stabilire se f e’ pari o dispari. (3) Calcolare l’ordine di f in S8. (4) Calcolare l’ordine del sottogruppo H generato da f. (5) Scrivere gli elementi del sottogruppo H. Esercizio 3. Dati i seguenti numeri complessi: z1=7 i 2,z 2=4 2i. (1) Determinare il modulo di z1ez2. (2) Scrivere in forma algebrica i numeri complessi z1ez2. (3) Scrivere in forma algebrica i numeri complessi z1z2, 1 z2ez2 z1. Esercizio 4. Siano A 2 Mat 4⇥3(C)e B 2 Mat 3⇥3(C) A = 0 BB@ 22 i 1+ i 0 3 223 ii 1 1 CCA ,B = 0 @ 10 3 21 1 0 23 1 A . (1) Calcolare, se possibile, AB eBA . (2) Calcolare, se possibile, il determinante di A edi B. (3) Calcolare, se possibile, le matrici inverse di A edi B. Esercizio 5. (1) Stabilire se esiste un albero con 7 vertici, 4 dei quali di ordine 3 e gli altri 3 di ordine 1. Se esiste disegnare un grafico. (2) Stabilire se esiste un grafo con 7 vertici, 4 dei quali di ordine 3 e gli altri 3 di ordine 1. Se esiste disegnare un grafico. 1 2 Esercizio 6. Sia assegnato il reticolo ( R, ), dove R = {a, b, c, d, e, f , g }e la relazione  e’ descritta dal seguente diagramma di Hasse: a bc fed gllll TTT llll  TTT ,,,, ,,,,  • • •• • •• (1) Determinare gli eventuali complementi di tutti gli elementi di R. (2) Stabilire se il reticolo R e’ distributivo. (3) Stabilire se il reticolo R e’ di Boole. Esonero di Matematca Discreta C.L. Informatica- Sede di Brindisi Brindisi, 19 Dicembre 2012 Esercizio 1. Determinare gli elementi invertibili e i divisori dello zero nell’anello ( Z22,+,·). Calcolare esplicitamente l’inverso degli elementi invertibili. Esercizio 2. Si consideri in S8la seguente permutazione f= ✓12345678 12678543 ◆ . (1) Scrivere fcome prodotto di cicli disgiunti. (2) Stabilire se fe’ pari o dispari. (3) Calcolare l’ordine di fin S8. (4) Calcolare l’ordine del sottogruppo H generato da f. (5) Scrivere esplicitamente gli elementi del sottogruppo H. Esercizio 3. Dati i seguenti numeri complessi: z1= 13i, z 2=3+4 i. (1) Determinare il modulo di z1ez2. (2) Scrivere in forma algebrica i numeri complessi z1ez2. (3) Scrivere in forma algebrica i numeri complessi z1z2,1 z1ez1 z2. Esercizio 4. Siano A 2Mat 3⇥3(R)e B 2Mat 3⇥4(R) A = 0 @ 13 3 13 1 12 1 1 A ,B = 0 @20 3 6 02 1 1 0 1 23 3 1 A . (1) Calcolare, se possibile, AB eBA . (2) Calcolare, se possibile, il determinante di A edi B. (3) Calcolare, se possibile, le matrici inverse di A edi B. Esercizio 5. (1) Stabilire se esiste un albero con 8 vertici, 4 dei quali di ordine 3, 2 di grado 2 e gli altri di ordine 1. Se esiste, disegnare un grafico di un tale albero. (2) Stabilire se esiste un grafo con con 8 vertici, 4 dei quali di ordine 3, 2 di grado 2 e gli altri di ordine 1. Se esiste, disegnare un grafico di un tale grafo. Esercizio 6. Sia assegnato il reticolo ( R, ^,_) associato all insieme parzialmente ordinato ( R,  ), dove R = {a, b, c, d, e, f , g }e la relazione  e’ descritta dal seguente diagramma di Hasse: a bc f e d g⌦⌦⌦ AAA ⌘⌘⌘⌘⌘ QQQQQ @@@ A AA • • • •• • • (1) Determinare gli eventuali complementi di tutti gli elementi di R. (2) Stabilire se il reticolo R e’ distributivo. (3) Stabilire se il reticolo R e’ di Boole. 1 Esonero di Matematca Discreta C.L. Informatica - Sede di Brindisi Brindisi, 28 Maggio 2014 - Traccia 2 Esercizio 1. Sia assegnato il reticolo ( R, ^,_) associato ad un insieme parzialmente ordinato (R, ), dove R = {a, b, c, d, e, f , g }e la relazione  `e descritta dal seguente diagramma di Hasse: a b c d g e f PPPPP • • • • •• • (1) Determinare gli eventuali complementi di tutti gli elementi di R. (2) Stabilire se il reticolo R `e distributivo. (3) Stabilire se il reticolo R `e di Boole. Esercizio 2. Siano A 2Mat 3⇥3(R)e B 2Mat 2⇥3(R) A = 0 @10 2 11 2 64 2 1 A ,B = ✓2 1 1 0 13 3 ◆ . (1) Calcolare, se possibile, AB eBA . (2) Calcolare, se possibile, il determinante di A edi B. (3) Calcolare, se possibile, le matrici inverse di A edi B. Esercizio 3. Si consideri in S8la seguente permutazione h= ✓12345678 12865437 ◆ . (1) Scrivere hcome prodotto di cicli disgiunti. (2) Stabilire se h`e pari o dispari. (3) Calcolare l’ordine di hin S8. (4) Scrivere esplicitamente gli elementi del sottogruppo generato da h. Esercizio 4. Sia dato il gruppo ( Z⇤17,·). (1) Stabilire se il gruppo `e ciclico. (2) Se il gruppo `e ciclico determinare tutti i generatori e gli ordini di tutti gli elementi. Esercizio 5. Dati i seguenti numeri complessi: z1=2+ p3i, z 2= 2i. (1) Determinare il modulo di z1ez2. (2) Scrivere in forma algebrica i numeri complessi z1ez2. (3) Scrivere in forma algebrica i numeri complessi z1z2,1 z1ez1 z2. Esercizio 6. (1) Stabilire se esiste un albero con 12 vertici, dei quali: 4 di valenza 4, 3 di valenza 3, 2 di valenza 2 e nessuno di valenza maggiore. Se esiste, disegnare un grafico di un tale albero. (2) Stabilire se esiste un grafo con 12 vertici, dei quali: 4 di valenza 4, 3 di valenza 3, 2 di valenza 2 e nessuno di valenza maggiore. Se esiste, disegnare un grafico di un tale grafo. 1