Informatica - Matematica discreta

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ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201729 Settembre 20161 Esercizio 1.SianoBeCsottoinsiemi di un insiemeA. Si dimostri che {A( B[C) ={ A( B)\{ A( C) e{A( B\C) ={ A( B)[{ A( C) Esercizio 2.Siano P e Q due proposizioni. Scrivere la tabella di verita di (P^Q)!(P_Q) e(P_Q)!(P^Q) Esercizio 3.Siano P e Q due proposizioni. Dimostrare le equivalenze:P ^Q()P _Q eP _Q()P ^Q Esercizio 4.Scrivere la tabella di verita di (P^Q)!(P!(P!Q))) (Vericare se e una tautologia.) Esercizio 5.Scrivere la tabella di verita delle seguenti quattro proposizioni P_(Q^R);P^(R_Q); (P^R)_Q; (P_Q)^R: Esercizio 6.Sia data la seguente proposizione 8x2R9y2Rtale chex+y3 = 0: Stabilire se tale proposizione e vera o falsa e scriverne la negazione. Esercizio 7.Sia data la seguente proposizione 8x2N9y2Ntale chex+y3 = 0: Stabilire se tale proposizione e vera o falsa e scriverne la negazione. Esercizio 8.Sia data la seguente proposizione 8y2N9x2Ntale chex+y1 = 56: Stabilire se tale proposizione e vera o falsa e scriverne la negazione.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-20173 Ottobre 20161 Esercizio 1.Sia data la seguente proposizione 9s2Ntale che8b2Z9q2Rconb+sq= 0: Stabilire se tale proposizione e vera o falsa e scriverne la negazione. Esercizio 2.Sia data la seguente proposizione 9s2Ntale che8b2R9q2Zconb+sq= 0: Stabilire se tale proposizione e vera o falsa e scriverne la negazione. Esercizio 3.Sia data la seguente proposizione 9x2Qtale che8y2Zx2 6 =y2 + 4: Stabilire se tale proposizione e vera o falsa e scriverne la negazione. Esercizio 4.Sia data la seguente proposizione 8x2R9y2Rtale che8z2Rx=y2 +z2 : Stabilire se tale proposizione e vera o falsa e scriverne la negazione. Esercizio 5.Date tre proposizioniP,SedQ, scrivere la tabella di verita di (P^Q)! S. Inoltre, stabilire se la proposizione 8x2Z9t2Re9y2Nx=pt 2 +y: e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 6.Date due proposizioniPeQscrivere la tabella di verita diP_Q , doveQ indica la negazione diQ. Inoltre, stabilire se la proposizione 8x2R9n2Ztale chex2 =n2 + 1 e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 7.Date tre proposizioniR,SedT, scrivere la tabella di verita di (R! S)^(R!T). Inoltre, stabilire se la proposizione 8a2R9t2Rtale che8c2Nac=t2 : e vera o falsa e scrivere la sua negazione. Esercizio 8.Sia data la seguente proposizione 8x2R; x >0;9y2Rtale chepy 2 + 1 = 2x: Stabilire se tale proposizione e vera o falsa e scriverne la negazione. Esercizio 9.Siaf:A!Buna funzione, e sianoX; X0 AeY ; Y0 B. Allora, dimostrare che:1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 2 (1)f(X\X0 )f(X)\f(X0 ) (2)f(X[X0 ) =f(X)[f(X0 ) (3)f 1 (Y\Y0 ) =f 1 (Y)\f 1 (Y0 ) (4)f 1 (Y[Y0 ) =f 1 (Y)[f 1 (Y0 ) Esercizio 10.Date le seguenti leggi, stabilire se sono funzioni f:Z!Z;8x2Zf(x) =x2 f:N!N;8x2Nf(x) =x2 f:N!N;8a2Nf(a) = 2a1 f:N!N;8t2Nf(t) = 2t f:Z!Z;8x2Zf(x) =x2 h:Q!Q;8y2Qh(y) =1y f:Qn f0g !Q;8x2Qn f0gf(x) =1x f:N!P;8n2Nf(n) = 2n(con P=insieme numeri pari) Esercizio 11.Data la seguente legge: f:Z!Z;8x2Zf(x) = 2x+ 3; stabilire se e una funzione e determinaref 1 (1),f 1 (fx2Zj1x10g). Esercizio 12.Data la seguente leggef:N!N: 8n2Nf(n) = 2 sene pari 5 sene dispari. Stabilire se e una funzione e calcolaref 1 (1),f 1 (fx2Nj1x7g) ef 1 (fx2 Nj9x17g). ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-20176 Ottobre 20161 Esercizio 1.Date le seguenti funzioni, stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. g:Z!N;8x2Zg(x) =jxj f:N!N;8n2Nf(n) =jnj h:N!Nn f0g;8n2Nh(n) =n+ 1 Esercizio 2.Si considerino le funzioni: f:Z!Q8n2Zf(n) =n + 15 ; g:Z!Z8x2Zg(x) = 5x6; a) Determinaref(f2;1;3g),f 1 (f3;2g),g(4) eg 1 (f5;6;7g). b) Stabilire sefe iniettiva, suriettiva, biettiva. c) Stabilire sege iniettiva, suriettiva, biettiva. c) Stabilire se esistonogfefged in caso aermativo determinarle. Esercizio 3.Date le seguenti funzioni g:N!R;8n2Ng(n) =n2 4n eh:R!R8x2Rh(x) =x5 2; stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Esercizio 4.Date le seguenti funzioni f:R 0! R 08 x2R 0f (x) =x2 eg:R!R8x2Rg(x) =34 x + 2; (doveR 0= fx2Rjx0g) stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Esercizio 5.Date le seguenti funzioni f:Z!Q8n2Zf(n) =n + 15 ; g:Z!Z8x2Zg(x) = 5x6; stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre calcolare, ove possibile, le funzioni inversef 1 eg 1 , e le composizionifgegf.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 2 Esercizio 6.Date le seguenti leggi f:Z!R8n2Zf(n) = 2jnj+12 ; eg:R!R;8x2Rg(x) = 134 x 5 stabilire se sono funzioni. In tal caso, stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre calcolare, ove possibile, le funzioni inversef 1 eg 1 , e le composizionifge gf. Esercizio 7.Date le seguenti funzioni f:N!Qn f2g;8n2Nf(n) =3 n2 n+ 5 e g:Qn f2g !Qn f1g 8x2Qn f2gg(x) = 2x3; stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre calcolare, se possibile,f 1 ,g 1 , fgegf. Esercizio 8.Date le seguenti leggi: f:N!Qn f1g;8n2Nf(n) =nn + 1 e g:Qn f1g !Qn f2g;8x2Qn f1gg(x) =2 x+ 1x + 1; stabilire se sono funzioni, se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre calcolare, se possibile, le composizionegfefge le inverse. Esercizio 9.Date le seguenti funzioni g:N!Q8n2Ng(n) =1 n2 n+ 2; ef:Q!Q;8z2Qf(z) =75 z + 11 stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre calcolare, ove possibile, le funzioni inversef 1 eg 1 , e le composizionifgegf. Esercizio 10.Date le seguenti funzioni h:R!R8z2Rh(z) =13 z 5 1; ef:Q!R;8y2Qf(y) =py 2 + 2 (consideriamo la determianzione positiva della radice) stabilire se sono iniettive, suri- ettive o biettive. Inoltre calcolare, ove possibile, le funzioni inverseh 1 ,f 1 , e le composizionifhehf. Esercizio 11.Date le seguenti funzioni f:Q!Q8a2Qf(a) =34 a 2; eg:N!Q8n2Ng(n) =2 n33 n+ 1 stabilire se sono iniettive, suriettive o biettive. Inoltre calcolare, ove possibile, le funzioni inversef 1 ,g 1 , e le composizionifgegf. ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201710 Ottobre 20161 Esercizio 1.Dimostrare col principio di induzione che8n2N 20 + 21 +


+ 2n = 2n +1 1: Esercizio 2.Dimostrare col principio di induzione che8n2N 0 + 12 + 22 +: : :+n2 =n (n+ 1)(2n+ 1)6 : Esercizio 3.Dimostrare col principio di induzione che8n2N 0 + 13 + 23 +: : :+n3 = n(n+ 1)2  2 : Esercizio 4.Dimostrare col principio di induzione che per ogni satoq2N f0;1ge 8n2Nsi ha q0 +q1 +


+qn =1 qn +11 q: Esercizio 5.2 Tutti i gatti hanno lo stesso colore.  E come dire in ogni insieme di gatti tutti hanno lo stesso colore. Vogliamo dimostrare che8n2N, in ogni insieme conngatti questi hanno tutti lo stesso colore.1) Base induzione: Mostriamo cheP(1) e vera. P(1): In un insieme di un gatto hanno tutti lo stesso colore. Questo e vero, quindiP(1) e vera. 2) Passo Induttivo: Mostriamo che8k1P(k) vera implicaP(k+ 1) vera P(k): In ogni insieme conkgatti questi hanno tutti lo stesso colore. P(k+ 1): In ogni insieme conk+ 1 gatti questi hanno tutti lo stesso colore. Prendiamo un insieme conk+ 1 gatti, numeriamo i gatti da 1 ak+ 1. Per induzione quelli numerati da 1 akhanno tutti lo stesso colore (sono un insieme conkgatti). Ad esempio hanno tutti lo stesso colore del gatto 2. Analogamente per i gatti numerati da 2 ak+ 1, questi sonokgatti e quindi hanno tutti lo stesso colore del gatto numero 2. Allora tutti i gatti hanno lo stesso colore..... eppure qualche dubbio rimane....1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia.2La domanda e completamente indipendente dal corso. Capire la risposta o essere curiosi della rispsota e del tutto indipendente dal corso. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201711 Ottobre 20161 Esercizio 1.Vericare che la seguente successione denita per ricorrenza fa ng n= a0= 1 an= a n1+ 2 n+ 1n1: ammette come formula chiusa la successionefb ng ncon b n= ( n+ 1)2 per ognin0. Esercizio 2.Vericare che la seguente successione denita per ricorrenza fb ng n= b0= 1 bn= b n1+ 2 n1: ammette come formula chiusa la successionefa ng ncon a n= 2 n+ 1 per ognin0. Esercizio 3.Vericare che la seguente successione denita per ricorrenza fa ng n= a0= 0 an= a n1+ n n >0: ammette come formula chiusa la successionefb ng n2Ncon b n=n (n+1)2 per ogni n0. Esercizio 4.Vericare che la seguente successione denita per ricorrenza fa ng n= a0= 1 an= 2
a n1n > 0: ammette come formula chiusa la successionefb ng n2Ncon b n= 2n per ognin0. Esercizio 5.Vericare che la seguente successionefa ng n2Ndenita per ricorrenza fa ng n= a0=13 an= a n1+ n(n+ 1) +13 n 1: ammette come formula chiusa la successionefb ng ncon b n=13 ( n+ 1)3 , per ognin0.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201713 Ottobre 20161 Esercizio 1.Vericare che la seguente successione denita per ricorrenza fa ng n=8 < :a 0= 0 n= 0 a1= 1 n= 1 an= 6 a n1 9a n2n 2: ammette come formula chiusa la successionefb ng ncon b n= (13 n )3n per ognin0. Esercizio 2.Vericare che la seguente successionefa ng n2N denita per ricorrenza fa ng n=8 < :a 1= 0 a2= 4 an= 4 a n1 4a n2n 3: ammette come formula chiusa la successionefb ng ncon b n= ( n1)2n , per ognin2N . Esercizio 3.Vericare che la seguente successionefa ng n2N denita per ricorrenza fa ng n=8 < :a 1= 0 a2= 1 an= 4 a n1 4a n2n 3: ammette come formula chiusa la successionefb ng ncon b n= ( 1 +n)2n 2 , per ogni n2N . Esercizio 4.Dimostrare che8n0, si ha n X i=012 i= 2 12 n: Esercizio 5.Dimostrare che8n0, eq2Rn f0;1gsi ha n X i=0q i =1 qn +11 q: Esercizio 6.Dimostrare con il principio di induzione che, per ognin2N, si ha 12 n X i=03 i =3 n +1 14 :1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-20173 Novembre 20161 Esercizio 1.Si consideri suZla seguente relazione R=f(c; d)2ZZj11j3c+ 8dg; (ovvero8c; d2Z,cRd()11j3c+ 8d). Determinare seRdenisce una relazione d'ordine o di equivalenza suZ. Inoltre, se tale relazione e di equivalenza, descrivere la classe di equivalenza di 0. Esercizio 2.Sia assegnata sull'insieme dei numeri interiZla relazione R=f(s; t)2ZZj12j5t+ 7sg; (ovvero8s; t2Z,sRt()12j5t+ 7s). Stabilire seRdenisce una relazione di equivalenza o d'ordine sull'insieme dei numeri interiZ. SeRe di equivalenza, determinare la classe di equivalenza di 0. Esercizio 3.Calcolare il massimo comun divisore tra le seguenti coppie di numeri ed esprimerlo come loro combinazione lineare (Identita di Bezout). 200 16 420 11 585165 2340 462 702 462 750 300 3240 3645 157536451 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201717 Ottobre 20161 Esercizio 1.Dimostrare con il principio di induzione che, per ognin2N, si ha n+1 X i=03(2 + i)1(3 + i)= n + 1n + 4+ 12 : Esercizio 2.Dimostrare per induzione completa che per ognin2Nsi ha n+1 X i=11(2 + i)(3 +i)= n + 13( n+ 4): Esercizio 3.Dimostrare per induzione completa che per ognin2Nsi ha n+1 X i=13 i3 =34 (n+ 1)2 (n+ 2)2 4
: Esercizio 4.Dimostrare per induzione completa che per ognin2Nsi ha n+1 X i=1(3 i+ 1) =32 (( n+ 1)(n+ 2)) +n: Esercizio 5.Dimostrare per induzione completa che per ognin2Nsi ha n+1 X i=1 13  i =92 12  13 n +1 : Esercizio 6.Dimostrare per induzione completa, che per ognin2Nsi ha n X i=22 i=n2 +n6: Esercizio 7.Dimostrare per induzione che per ognin2Nsi ha n+1 X i=11(2 + i)(3 +i)= n + 13( n+ 4): Esercizio 8.Ci sono 90 studenti, 35 sono donne, 20 hanno l'iphone, 15 donne hanno l'iphone. Si determini a) Quanti sono i maschi senza iphone. b) Quanti sono i maschi con l'iphone. c) Quanti sono gli studenti o maschi o con l'iphone. Esercizio 9.Al primo anno di Informatica, sono iscritti 120 studenti. 40 studenti sono donne, 60 studenti sono biondi. 30 sono maschi biondi. Supponendo solo donne o uomini e solo mori o biondi, stabilire il numero di studentesse bionde, studentesse more e maschi mori. Studenti che sono donne o biondi.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201720 Ottobre 20161 Esercizio 1.Quanti sono i numeri minori di 300 composti da tre cifre tutte dispari e diverse fra loro? Quanti con cifre dispari uguali fra loro? Quanti quelli con tutte cifre pari e diverse fra loro? Quanti con cifre pari uguali fra loro? Esercizio 2.SianoA=f1;2;4geB=fx; yg. Calcolare tutte le funzioni da A a B, da B ad A. Dire inoltre quali sono iniettive, suriettive e biettive. Esercizio 3.Ci sono quattro amici. a) In quanti modi diversi si possono formare delle coppie. a) In quanti modi diversi si possono regalare una bici ed un cellulare ad amicidistinti? c) In quanti modi diversi si possono formare 4 gruppi di un amico? d) In quanti modi diversi si possono formare 2 gruppi di 2 amici? Esercizio 4.In una classe di asilo ci sono 20 bambini. a) In quanti modi si puo formare una delegazione di 4 genitori di tali bambini (siconti un solo genitore per ogni bambino) per la rappresentanza? b) In quanti modi si possono formare 5 gruppi di gioco formati ciascuno da 4 bam- bini? Esercizio 5.Si considerino 3 studenti di Informatica, 4 studenti di Matematica e 5 studenti di Fisica. Gli studenti di Informatica e Matematica sono tutti maschi, gli studenti di Fisica sono 3 maschi e due femmine. a) In quanti modi diversi si puo formare un comitato di 4 studenti? b) In quanti modi diversi si puo formare un comitato di 3 studenti, con un rappre- sentante per ogni materia? c) In quanti modi diversi si puo formare un comitato di 3 studenti con una soladonna? d) In quanti modi diversi si puo formare un comitato di 3 studenti, con un rappre-sentante per ogni materia ed almeno una donna? Esercizio 6.Ci sono 6 amici. a) In quanti modi diversi si possono formare delle coppie? b) In quanti modi diversi si possono regalare, un libro un cappello e una penna (apersone diverse) ? c) In quanti modi diversi si possono formare 2 gruppi di 3 amici? d) In quanti modi diversi si possono formare 3 gruppi di 2 amici? Esercizio 7.Consideriamo 9 studenti di Informatica, 8 studenti di Farmacia e 6 studenti di Lettere. Gli studenti di Lettere sono tutti Uomini, tra gli studenti di Informatica ci sono 6 Uomini e tra gli studenti di Farmacia ci sono 3 Uomini. a) In quanti modi diversi si puo formare un comitato di 5 persone? b) In quanti modi diversi possiamo formare un comitato di 3 persone con un rapp-resentate per ogni materia?1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 2 c) In quanti modi diversi possiamo formare un comitato di 3 persone con un rapp-resentate per ogni materia ed esattamente una donna? d) In quanti modi diversi possiamo formare un comitato di 3 persone con un rapp-resentate per ogni materia ed almeno una donna? Esercizio 8.Si considerino 7 Greci, 5 Portoghesi e 10 Arabi. I Portoghesi sono tutte Donne, tra i Greci ci sono 4 Donne e tra gli Arabi ci sono 5 Donne. a) In quanti modi diversi si puo formare un comitato di 6 persone? b) In quanti modi diversi possiamo formare un comitato di 3 persone con un rapp-resentate per ogni nazionalita? c) In quanti modi diversi possiamo formare un comitato di 3 persone con un rapp-resentate per ogni nazionalita ed esattamente un uomo? d) In quanti modi diversi possiamo formare un comitato di 3 persone con un rapp-resentate per ogni nazionalita ed almeno un uomo? Esercizio 9.In quanti modi possiamo scrivere il numero 40 come somma di 4 numeri naturali? Esercizio 10.In quanti modi possiamo scrivere il numero 20 come somma di 5 numeri naturali strettamente positivi? ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201725 Ottobre 20161 Esercizio 1.Si denisca la seguente relazione sull'insiemeA=R: 8a; b2RaRb()a=b5 Re una relazione Ri essiva? Simmetrica? Antisimmetrica? Transitiva? E una relazione di equivalenza? E una relazione d'ordine? Esercizio 2.SiaAun insieme nito. Si denisca sull'insieme delle parti diAP(A) la seguente relazione 8X; Y2 P(A)XRY()XY :  E una relazione di equivalenza? E una relazione d'ordine totale o parziale? Esercizio 3.SiaAun insieme nito. Si denisca sull'insieme delle parti diAP(A) la seguente relazione 8X; Y2 P(A)XRY() jXj=jYj:  E una relazione di equivalenza? E una relazione d'ordine totale o parziale? Esercizio 4.SiaAl'insieme delle rette del piano. Si denisca sull'insiemeAla seguente relazione 8r; s2(A)rRs()re parallela ads:  E una relazione di equivalenza? E una relazione d'ordine totale o parziale? Esercizio 5.SiaAl'insieme delle rette del piano. Si denisca sull'insiemeAla seguente relazione 8r; s2(A)rRs()re perpendicolare ads:  E una relazione di equivalenza? E una relazione d'ordine totale o parziale? Esercizio 6.Si denisca sull'insieme dei numeri naturaliNla seguente relazione 8a; b2NaRb() 9x2Ztale chea=bx:  E una relazione di equivalenza? E una relazione d'ordine totale o parziale? Esercizio 7.a) Scrivere la denizione di relazione di equivalenza su un insieme e di classe di equivalenza di un elemento.b) Assegnata suZla relazione R=f(c; b)2ZZj 9k2Ztale che 11k= 4c+ 7bg; (ovverocRb() 9k2Ztale che 11k= 4c+ 7b), vericare cheRdenisce una relazione di equivalenza suZe scrivere la classe di equivalenza di 0. Esercizio 8.Si consideri suZla seguente relazione R=f(c; d)2ZZj 9h2Ztale che 9c+ 5d= 14hg; (ovvero8c; d2Z,cRd() 9h2Ztale che 9c+ 5d= 14h). Determinare seRdenisce una relazione d'ordine o di equivalenza suZ. Inoltre, se tale relazione e di equivalenza, descrivere la classe di equivalenza di 0.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 2 Esercizio 9.Sia assegnata sull'insieme dei numeri interiZla relazione R=f(s; t)2ZZj 9k2Ztale che 7t+ 9s= 16kg; (ovvero8s; t2Z,sRt() 9k2Ztale che 7t+ 9s= 16k). Stabilire seRdenisce una relazione di equivalenza o d'ordine sull'insieme dei numeri interiZ. SeRe di equivalenza, determinare la classe di equivalenza di 0. ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201727 Ottobre 20161 Esercizio 1.Determinare quoziente e resto nelle divisioni diaperb6 = 0 dove: a = 20 b= 3a= 90b=4 a=90b=4 a=90b= 4 a= 100b= 2 a= 160b= 3 a=81b=80 a= 81b=80 a=81b= 80 a= 81b= 80: Esercizio 2.Dimostrare che per ognin0 si ha: 3j4n + 2: Esercizio 3.Dimostrare che per ognin0 si ha: 7j8n + 6: Esercizio 4.Dimostrare che per ognin0 si ha: 8j32 n 1: Esercizio 5.Si consideri suZla seguente relazione R=f(c; d)2ZZj14j9c+ 5dg; (ovvero8c; d2Z,cRd()14j9c+ 5d() 9k2Ztale che 9c+ 5d= 14k). Determinare seRdenisce una relazione d'ordine o di equivalenza suZ. Inoltre, se tale relazione e di equivalenza, descrivere la classe di equivalenza di 0. Esercizio 6.Sia assegnata sull'insieme dei numeri interiZla relazione R=f(s; t)2ZZj16j5t+ 11sg; (ovvero8s; t2Z,sRt()16j5t+ 11s). Stabilire seRdenisce una relazione di equivalenza o d'ordine sull'insieme dei numeri interiZ. SeRe di equivalenza, determinare la classe di equivalenza di 0. Esercizio 7.Sia assegnata sull'insieme dei numeri interiZla relazione R=f(a; t)2ZZj13j4a+ 9tg; (ovvero8a; t2Z,sRt()13j4a+ 9t). Stabilire seRdenisce una relazione di equivalenza o d'ordine sull'insieme dei numeri interiZ. SeRe di equivalenza, determinare la classe di equivalenza di 0.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-20178 Novembre 20161 Esercizio 1.Risolvere, se possibile, le seguenti equazioni diofantee e determinare tutte le soluzioni. 585x+ 165y= 15; 396x+ 156y= 24; 33x+ 13y= 2; 150x+ 18y= 6; 150x+ 18y= 6; 385x+ 462y= 6 385x+ 33y= 143 9x+ 18y= 81 9x+ 81y= 100 4x+ 2y= 8 444x+ 222y= 11 444x+ 222y= 110 819x+ 221y= 26 156x+ 144y= 24 343x+ 251y= 5 21x+ 121y= 80:1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201710 Novembre 20161 Esercizio 1.Stabilire se le seguenti congruenze sono vere o false. 26 (mod 4) 16 (mod 4) 227 (mod 30) 145 (mod 5) 141 (mod 5) 145 (mod 11) 146 (mod 11) 1411 (mod 5) Esercizio 2.Stabilire se le seguenti congruenze sono vere o false. 1023 (mod 5) 5066 (mod 7) 2005 (mod 5) 8000 (mod 8) 2340 (mod 10) 6211 (mod 3) 10023 (mod 3) 3945 (mod 6) 20060 (mod 25) Esercizio 3.Sia'a fuznione di Eulero. Determinare: '(120); '(80); '(1000); '(240); '(40); '(241): Esercizio 4.Stabilire se le seguenti congruenze sono vere o false 2311 5 (mod 11); 2311 1 (mod 11); 325 3 (mod 16); 580 5 (mod 16); 1148 3 (mod 104): Esercizio 5.Risolvere, ove possibile, le seguenti congruenze lineari 4x3 (mod 5) 2x6 (mod 4) 33x902 (mod 3) 3x2 (mod 7) 4x3 (mod 150) 4x3 (mod 25):1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201721 Novembre 20161 Esercizio 1.Risolvere, ove possibile, le seguenti congruenze lineari 105x84 (mod 126) 32x902 (mod 3) 2x505 (mod 5) 141x11 (mod 5) 88x3 (mod 5) 22x44 (mod 33) 3x6 (mod 33): Esercizio 2.Risolvere, se possibile, il seguente sistema di congruenze lineari 8 < :3 x21 (mod 33) 61x4 (mod 5) 2x3 (mod 7): Esercizio 3.Risolvere, se possibile, il seguente sistema di congruenze lineari 8 < :17 x5 (mod 8) 4x16 (mod 44) 5x10 (mod 7): Esercizio 4.Risolvere, se possibile, il seguente sistema di congruenze lineari 8 < :11 x22 (mod 33) x39 (mod 7) 4x16 (mod 5): Esercizio 5.Risolvere, se possibile, il seguente sistema di congruenze lineari 8 < :11 x9 (mod 8) 71x142 (mod 7) 88x3 (mod 5): Esercizio 6.Risolvere, se possibile, il seguente sistema di congruenze lineari 8 < :10 x50 (mod 70) 11x22 (mod 66) 131x132 (mod 13): Esercizio 7.Risolvere, se possibile, il seguente sistema di congruenze lineari 8 < :3 x6 (mod 33) 7x21 (mod 5) 5x5 (mod 30):1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201724 Novembre 20161 Esercizio 1.Si denisca sull'insiemeZla seguente operazione:ZZ!Z, tale che 8x; y2Zxy=xy+x: (1) Stabilire se l'operazione e associativa, commutativa. (2) Determinare l'eventuale elemento neutro. (3) Se esiste l'elemento neutro, determinare gli elementi che ammettono inverso. (4) Stabilire se (Z;) e un monoide o no. Esercizio 2.Si denisca sull'insiemeZla seguente operazione:ZZ!Z, tale che 8x; y2Zxy= 2xy+x+y: (1) Stabilire se l'operazione e associativa, commutativa. (2) Determinare l'eventuale elemento neutro. (3) Se esiste l'elemento neutro, determinare gli elementi che ammettono inverso. (4) Stabilire se (Z;) e un monoide o no. Esercizio 3.Sia assegnata sull'insiemeZla seguente operazione:ZZ!Z, tale che8x; y2Zxy= 4xy5x: (1) Stabilire se l'operazione e associativa, commutativa. (2) Determinare, se esiste, l'elemento neutro. Esercizio 4.Sia assegnata sull'insiemeA=RR, la seguente operazione + :AA! A, tale che 8(x; y);(z; t)2A(x; y) + (z; t) = (x+z; y+t): Mostrare che (A;+) e un monoide commutativo. Esercizio 5.Sia assegnata sull'insiemeA=RR, la seguente operazione
:AA!A, tale che8(x; y);(z; t)2A(x; y)
(z; t) = (xz; yt): (1) Determinare se esiste l'elemento neutro. (2) Determinare se (A;
) e un monoide commutativo. (3) Determinare gli elementri invertibili in (A;
). Esercizio 6.Sia assegnata sull'insiemeA=ZZ, la seguente operazione:AA! A, tale che 8(x; y);(z; t)2A(x; y)(z; t) = (x+z; yt): (1) Determinare se l'operazioneverica la proprieta associativa e commutativa. (2) Determinare, se esiste, l'elemento neutro. (3) Determinare gli elementi invertibili. Esercizio 7.Sia assegnata sull'insiemeA=Q Q , la seguente operazione:AA! A, tale che 8(x; y);(z; t)2A(x; y)(z; t) = (x+z; yt): (1) Stabilire se l'operazione e associativa, commutativa.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 2 (2) Determinare, se esiste, l'elemento neutro. (3) Determinare gli elementi invertibili. (Ricordiamo cheQ =Qn f0g). Esercizio 8.Sia assegnata sull'insiemeZ, la seguente operazione:ZZ!Z, tale che8a; b2Zab=abab+ 3: (1) Stabilire se l'operazione e associativa, commutativa. (2) Determinare, se esiste, l'elemento neutro. Esercizio 9.Sia assegnata sull'insiemeA=Rn f1g, la seguente operazione: AA!A, tale che 8x; z2A xz=x+z+xz: (1) Stabilire se l'operazione e associativa, commutativa. (2) Determinare, se esiste, l'elemento neutro. (3) Determinare gli elementi invertibili e il loro inverso. Esercizio 10.Sia assegnata sull'insiemeA=RR, la seguente operazione:AA! A, tale che 8(a; b);(c; d)2A(a; b)(c; d) = (acbd; ad+bc): (1) Stabilire se l'operazione e associativa, commutativa. (2) Determinare, se esiste, l'elemento neutro. (3) Determinare gli elementi invertibili e il loro inverso. ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201729 Novembre 20161 Esercizio 1.Nel gruppo (Z 10; +), scrivere il sottogruppo generato dall'elemento [5] 10 ed il sottogruppo generato da [4]10. Determinare l'ordine di tali sottogruppi. Esercizio 2.Nel gruppo (Z 12; +), scrivere (1) il sottogruppo generato da [3]12e determinare l'ordine di [3] 12. (2) il sottogruppo generato da [5]12e determinare l'ordine di [5] 12. Esercizio 3.Nel gruppo (Z 15; +), Determinare l'ordine di tutti gli elementi. Stabilire quali elementi sono generatori. Esercizio 4.Nel gruppo (Z 11; +), Determinare l'ordine di tutti gli elementi. Stabilire quali elementi sono generatori. Esercizio 5.Si consideri (Z 5;
). Stabilire se e un gruppo ciclico e determinare l'ordine di ogni elemento. Esercizio 6.Si consideri (Z 7;
). Stabilire se e un gruppo ciclico e determinare l'ordine di ogni elemento. Esercizio 7.Si consideri (Z 11;
). Stabilire se e un gruppo ciclico e determinare l'ordine di ogni elemento. Esercizio 8.Si consideri (Z 13;
). Stabilire se e un gruppo ciclico e determinare l'ordine di ogni elemento.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201701 Dicembre 20161 Esercizio 1.Scrivere quali elementi sono invertibili e quali sono divisori dello zero nell'anello (Z 8; +;
). Inoltre, determinare esplicitamente l'inverso degli eventuali ele- menti invertibili. Esercizio 2.Scrivere quali elementi sono invertibili e quali sono divisori dello zero nell'anello (Z 10; +;
). Inoltre, determinare esplicitamente l'inverso degli eventuali ele- menti invertibili. Esercizio 3.Scrivere quali elementi sono invertibili e quali sono divisori dello zero nell'anello (Z 11; +;
). Inoltre, determinare esplicitamente l'inverso degli eventuali ele- menti invertibili. Esercizio 4.Scrivere quali elementi sono invertibili e quali sono divisori dello zero nell'anello (Z 14; +;
). Inoltre, determinare esplicitamente l'inverso degli eventuali ele- menti invertibili. Esercizio 5.Scrivere quali elementi sono invertibili e quali sono divisori dello zero nell'anello (Z 16; +;
). Inoltre, determinare esplicitamente l'inverso degli eventuali ele- menti invertibili. Esercizio 6.Scrivere quali elementi sono invertibili e quali sono divisori dello zero nell'anello (Z 18; +;
). Inoltre, determinare esplicitamente l'inverso degli eventuali ele- menti invertibili.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-20175 Dicembre 20161 Esercizio 1.SiaGil grafo seguente.       Determinare la valenza dei suoi vertici. Esercizio 2.Sia assegnato il seguente grafo e ga dc bf     @ @@@ HHHH% % % % %     Determinare la valenza di ogni vertice, i vertici adiacenti, i lati incidenti. Esercizio 3.SiaGil grafo seguente. AA AA Q QQ QQQ Q



A A AA      



   Determinare la valenza di ogni vertice, i vertici adiacenti, i lati incidenti.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 2 Esercizio 4.SiaGil grafo seguente.A A AA @@



@ @ AA AA



      Determinare la valenza di ogni vertice, i vertici adiacenti, i lati incidenti. Esercizio 5.Determinare se esiste un grafo con 16 vertici, dei quali: 2 di valenza 5, 3 di valenza 4, 2 di valenza 3, 3 di valenza 2 e nessuno di valenza maggiore. Se esiste, disegnare un tale grafo. Esercizio 6.Stabilire se esiste un grafo con 7 vertici, dei quali 4 di grado 3, e gli altri 3 di grado 1. Se esiste disegnare un graco di un tale grafo. Se esiste, disegnare un tale grafo. Esercizio 7.Stabilire se esiste un grafo con 8 vertici, dei quali 2 di grado 3, 4 di grado 2 e i restanti di grado 1. Se esiste, disegnare un tale grafo. Esercizio 8.Stabilire se esiste un grafo con 6 vertici, dei quali 2 di grado 3, 2 di grado 2 e e nessuno di valenza maggiore.Se esiste, disegnare un tale grafo. Esercizio 9.Disegnare, se esiste, un grafo con 11 vertici, dei quali uno di grado 5, 2 di grado 4 e nessuno di valenza maggiore. Esercizio 10.Determinare se esiste un grafo con 16 vertici, dei quali: 1 di valenza 5, 4 di valenza 4, 3 di valenza 3, 2 di valenza 2 e nessuno di valenza maggiore. Se esiste, disegnare un tale grafo. ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-20177 Dicembre 20161 Esercizio 1.Scrivere le seguenti permutazioni come prodotto di cicli disgiunti e stabilire se sono pari o dispari. 1 2 3 4 5 6 7 3 2 1 5 6 7 4 ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 1 6 5 9 7 8 ; 1 2 3 4 5 6 5 4 2 1 3 6 ; 1 2 3 4 5 1 2 3 5 4 ; 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 1 2 8 7 6 5 ; (Ovviamente, la prima permutazione e un elemento diS 7, la seconda di S 9...). Esercizio 2.Si considerino inS 7i seguenti elementi f= 1 2 3 4 5 6 7 3 2 1 5 6 7 4 ; g= 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 1 6 5 7 ; h= 1 2 3 4 5 6 7 3 4 1 2 5 7 6 : Si determinif 1 ; g 1 ; h 1 ; fg; fh; gf ; gh; hg. Esercizio 3.Nel gruppo di permutazioniS 7si considerino i cicli: f= (357); h= (524); g= (37)(2456) (1) Calcolare l'ordine degli elementif,geh. (2) Scrivere le permutazioni associate af,geh. Esercizio 4.Si consideri inS 9la seguente permutazione f= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 8 1 9 5 6 7 4 : (1) Scriverefcome prodotto di cicli disgiunti. (2) Stabilire sefe pari o dispari. (3) Calcolareffef 1 . (4) Calcolare l'ordine dif. (5) Calcolare l'ordine del sottogruppoHgenerato daf. (6) Calcolare l'ordine degli elementi del sottogruppoH. Esercizio 5.Si consideri inS 9la seguente permutazione h= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 9 7 4 6 2 8 3 g= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 3 4 2 7 9 1 6 8 (1) Scriverehcome prodotto di cicli disgiunti. (2) Stabilire sehe pari o dispari. (3) Scrivere l'immagine di 3 e 8 tramiteg. (4) Calcolareh 1 . (5) Calcolarehgegh. (6) Calcolare l'ordine dihe dig. (7) Calcolare l'ordine del sottogruppo generato dahe del sottogruppo generato da g.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 2 Esercizio 6.InS 10, sia assegnata la seguente permutazione g= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 10 2 7 1 3 4 8 9 6 : (1) Descrivere l'elmentogcome prodotto di cicli disgiunti. (2) Individuare l'ordine dignel gruppoS 10. (3) Determinare esplicitamente gli elementi del sottogruppo generato dag. (4) Indicare se l'elementoge pari o dispari. Esercizio 7.Si consideri inS 7la seguente permutazione h= 1 2 3 4 5 6 7 6 5 2 4 7 3 1 : (1) Scriverehcome prodotto di cicli disgiunti. (2) Stabilire se l'elementohe dispari o pari. (3) Calcolare l'ordine dell'elementohnel gruppoS 7. (4) Scrivere esplicitamente gli elementi del sottogruppo generato dah. Esercizio 8.Consideriamo inS 9la seguente permutazione f= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 7 2 5 6 9 8 4 : (1) Esprimerefcome prodotto di cicli disgiunti. (2) Determinare l'ordine difinS 9. (3) Stabilire sefe pari o dispari. (4) Scrivere esplicitamente gli elementi del sottogruppo generato daf. ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201712 Dicembre 20161 Esercizio 1.(1) Stabilire se esiste un albero con 7 vertici, dei quali 4 di grado 3, e gli altri 3 di grado 1. Se esiste disegnare un tale albero. (2) Stabilire se esiste un grafo con 7 vertici, dei quali 4 di grado 3, e gli altri 3 di grado 1. Se esiste disegnare un tale grafo. Esercizio 2.(1) Stabilire se esiste un albero con 8 vertici, dei quali 2 di grado 3, 4 di grado 2 e i restanti di grado 1. Se esiste disegnare un tale albero. (2) Stabilire se esiste un grafo con 8 vertici, dei quali 2 di grado 3, 4 di grado 2 e irestanti di grado 1. Se esiste disegnare un tale grafo. Esercizio 3.(1) Stabilire se esiste un albero con 6 vertici, dei quali 2 di grado 3, 2 di grado 2 e nessuno di valenza maggiore. Se esiste disegnare un tale albero. (2) Stabilire se esiste un grafo con 6 vertici, dei quali 2 di grado 3, 2 di grado 2 enessuno di valenza maggiore. Se esiste disegnare un tale grafo. Esercizio 4.Disegnare se esiste un albero con 9 vertici, dei quali 3 di grado 3, 3 di grado 2 e nessuno di valenza maggiore. Esercizio 5.Disegnare se esiste un grafo con 11 vertici, dei quali uno di grado 5, 2 di grado 4 e gli altri di grado 1. Esercizio 6.SiaGil grafo seguente.       (1) Determinare la valenza dei suoi vertici. (2) Stabilire se il grafoGammette cammini euleriani e/o cammini hamiltoniani. (3) Stabilire se esiste un albero con lo stesso numero di vertici e le stesse valenze. (4) Stabilire se il grafo e planare. (5) Stabilire se il grafo e bipartito.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 2 Esercizio 7.(1) Stabilire se esiste un grafo con 16 vertici, dei quali: 2 di valenza 5, 3 di valenza 4, 2 di valenza 3, 3 di valenza 2 e nessuno di valenza maggiore. Se esiste, disegnare un tale grafo. (2) Stabilire se esiste un albero con 16 vertici, dei quali: 2 di valenza 5, 3 di valenza 4, 2 di valenza 3, 3 di valenza 2 e nessuno di valenza maggiore. Se esiste, disegnare un tale albero. Esercizio 8.(1) Stabilire se esiste un grafo con 16 vertici, dei quali: 1 di valenza 5, 4 di valenza 4, 3 di valenza 3, 2 di valenza 2 e nessuno di valenza maggiore. Se esiste, disegnare un tale grafo. (2) Stabilire se esiste un albero con 16 vertici, dei quali: 1 di valenza 5, 4 di valenza 4, 3 di valenza 3, 2 di valenza 2 e nessuno di valenza maggiore. Se esiste, disegnare un tale albero. Esercizio 9.SiaGil grafo seguente.J JJ H HHHH J JJ        (1) Stabilire se il grafoGe planare, bipartito e determinare la valenza dei suoi vertici. (2) Stabilire se il grafoGammette cammini euleriani e/o cammini hamiltoniani. (3) Stabilire se esiste un albero con lo stesso numero di vertici e le stesse valenze. Esercizio 10.Sia assegnato il seguente grafo e ga dc bf    @ @@@ HHH H% % % % %     (1) Determinare la valenza di ogni vertice, i vertici adiacenti, i lati incidenti. (2) Stabilire se esistono cammini hamiltoniani, circuiti euleriani, cammini euleriani. (3) Stabilire se il grafo e planare. (4) Stabilire se il grafo e bipartito. Esercizio 11.SiaGil grafo seguente. AAA A Q QQQ QQQ



A AA A      



   (1) Determinare la valenza di ogni vertice, i vertici adiacenti, i lati incidenti. (2) Stabilire se il grafoGammette cammini euleriani e/o cammini hamiltoniani. (3) Stabilire se esistono circuiti euleriani. 3 (4) Stabilire se esiste un albero con lo stesso numero di vertici e le stesse valenze. (5) Stabilire se il grafo e planare. (6) Stabilire se il grafo e bipartito. Esercizio 12.SiaGil grafo seguente.A A AA @@



@ @ AA AA



      (1) Determinare la valenza di ogni vertice, i vertici adiacenti, i lati incidenti. (2) Stabilire se il grafoGammette cammini euleriani e/o cammini hamiltoniani. (3) Stabilire se esistono circuiti euleriani. (4) Stabilire se esiste un albero con lo stesso numero di vertici e le stesse valenze. (5) Stabilire se il grafo e planare. (6) Stabilire se il grafo e bipartito. ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201715 Dicembre 20161 Esercizio 1.Calcolare la parte reale e la parte immaginaria dei seguenti numeri com- plessi:4i;2i+ 3;3i11;1211i;45i;3 + 11i: Esercizio 2.Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi: 4i(i+ 2);(i+ 3)(6i);(2i3)(2i);(52i)(5 + 2i); i(i);(i)(p3 2i): Esercizio 3.Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi: p3 i(i+23 ) ;(34 i + 3)(p6 i);(2i3)(25 i);(p5 4i)(p5 + 4 i): Esercizio 4.Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:2 i+ 3; 2i+ 3; ip3 ;3( i+ 2);( i+p3) i;6 i;1 2i: Esercizio 5.Calcolare i moduli dei seguenti numeri complessi: j5ij;j 7ij;j11j;j 1 + 3ij;j56ij;j7 + 3ij;j 211ij: Esercizio 6.Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi: 42 2i; i + 11 + 3 i; i +p3 1p2 i;p5 i5p 3 i; 3(i+ 2);(i+p3) i;13 2i; 3 + 2 i4 i: Esercizio 7.Dati i seguenti numeri complessi: z1= 7 i2; z 2= 4 2i: (1) Determinare la parte immaginaria e la parte reale diz 1e z 2. (2) Determinare il modulo diz 1e z 2. (3) Scrivere in forma algebrica i numeri complessiz 1ez 2. (4) Scrivere in forma algebrica i numeri complessiz 1+ z 2, z 1z 2,1z 2e z 2z 1. Esercizio 8.Dati i seguenti numeri complessi: z1= 13i; z 2= 3 + 4 i: (1) Determinare la parte immaginaria e la parte reale diz 1e z 2. (2) Determinare il modulo diz 1e z 2. (3) Scrivere in forma algebrica i numeri complessiz 1ez 2. (4) Scrivere in forma algebrica i numeri complessiz 1+ z 2, z 1z 2,1z 1e z 1z 2. Esercizio 9.Dati i seguenti numeri complessi: z1=p2 i; z 2= 2 i4: (1) Determinare il modulo diz 1e z 2. (2) Scrivere in forma algebrica i numeri complessiz 1ez 2. (3) Scrivere in forma algebrica i numeri complessiz 1z 2,1z 2e z 2z 1.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201719 Dicembre 20161 Esercizio 1.Assegato il reticolo (D 105; j) dei divisori di 105, ordinato per divisibilita. (1) Tracciare il diagramma di Hasse di (D 105; j). (2) Determinare gli eventuali complementi di tutti gli elementi di (D 105; j). (3) Stabilire se il reticolo e distributivo. (4) Stabilire se il reticolo e di Boole. Esercizio 2.Assegato il reticolo (D 104; j) dei divisori di 104, ordinato per divisibilita. (1) Tracciare il diagramma di Hasse di (D 104; j). (2) Determinare gli eventuali complementi di tutti gli elementi di (D 104; j). (3) Stabilire se il reticolo e distributivo. (4) Stabilire se il reticolo e di Boole. Esercizio 3.Assegato il reticolo (D 90; j) dei divisori di 90, ordinato per divisibilita. (1) Tracciare il diagramma di Hasse di (D 90; j). (2) Determinare gli eventuali complementi di tutti gli elementi di (D 90; j). (3) Stabilire se il reticolo e distributivo. (4) Stabilire se il reticolo e di Boole. Esercizio 4.Sia assegnato il reticolo (R;), doveR=fa; b; c; d; e; f ; gge la relazione e descritta dal seguente diagramma di Hasse: a b c fed gl l l l T T Tl l ll   T TT ,, ,, , , , ,       (1) Determinare gli eventuali complementi di tutti gli elementi diR. (2) Stabilire se il reticoloRe distributivo. (3) Stabilire se il reticoloRe di Boole.1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 2 Esercizio 5.Sia assegnato il reticolo (R;^;_) associato ad un insieme parzialmente ordinato (R;), doveR=fa; b; c; d; e; fge la relazionee descritta dal seguente diagramma di Hasse: a b c de f@ @@ @@           (1) Determinare gli eventuali complementi di tutti gli elementi diR. (2) Stabilire se il reticoloRe distributivo. (3) Stabilire se il reticoloRe di Boole. Esercizio 6.Sia assegnato il reticolo (R;^;_) associato all insieme parzialmente or- dinato (R;), doveR=fa; b; c; d; e; f ; gge la relazionee descritta dal seguente diagramma di Hasse:a b c fed g A A A


     QQ QQQ @ @ @


A A A       (1) Determinare gli eventuali complementi di tutti gli elementi diR. (2) Stabilire se il reticoloRe distributivo. (3) Stabilire se il reticoloRe di Boole. ESERCIZI DI MATEMATCA DISCRETA Informatica - Corso B - A. A. 2016-201720 Dicembre 20161 Esercizio 1.SianoA2M at 43( R) eB2M at 33( R) A=0 B B @2 3 4 0 5 3 7 0 1 5 0 31 C C A; B =0 @1 3 2 0 1 2 4 5 61 A: Calcolare, se possibile, i prodottiABeBA. Calcolare le matrici traspostet A;t Be t(AB). Esercizio 2.Date le seguenti matrici, calcolare ove possibile il prodotto e la somma. A= 1 2 3 4 5 6 ; B=0 @1 5 37 421 A; C=0 @1 3 4 5 2 3 4 0 21 A; D= 1 1 1 1 : Esercizio 3.SianoAeBinM at 33( C) le seguenti matrici A=0 @i 2i3i 0 0 0 2 4 61 A; B=0 @ 32 1 0 1 1 1 011 A: Calcolare, se possibile,AB;t A;t B;t Bt A. Esercizio 4.SianoA2M at 22( R) eB2M at 22( R) le seguenti matrici. A= 2 3 5 6 ; B= 11 3 4 : Calcolare, se possibile,AB, det(A) e det(B) e det(AB). Esercizio 5.Calcolare, se possibile, i determinanti delle matrici che compaiono negli Esercizi 1, 2 e 3. Esercizio 6.Sia A la seguente matrice inM at 33( R). A=0 @1 2 3 5 0 1 0 3 41 A: Calcolare i complementi algebrici di ogni elemento, il determinante e se possibile la matrice inversa. Calcolare inoltret A. Esercizio 7.SianoA2M at 22( R) eB2M at 33( R) le seguenti matrici. A= 2 4 5 6 ; B=0 @1 1 2 3 0 1 0 4 01 A:1 Nonostante l'impegno, errori, sviste imprecisioni sono sempre possibili, la loro segnalazione e molto apprezzata. Tra questi esercizi, alcuni sono stati presi da alcuni testi, o da esami passati. L'aggiunta di evenutali errori e opera mia. 1 2 Calcolare i complementi algebrici di ogni elemento di A e di B, il determinante di A e di B e se possibile le matrici inverse. Esercizio 8.Date le seguenti matrici, calcolare il determinante in due modi diversi (ovvero scegliendo una diversa riga o colonna), e se possibile calcolare l'inversa. A=0 B B @1 1 5 6 0 1 7 2 0 01 0 0 3 8 41 C C A; B =0 @2 1 1 1 1 1 1 1 31 A; C=0 @3 5 1 2 4 0 8 0 11 A; D=0 B B @ 1 0 2 1 2 0 0 0 5 0 1 1 4 1 0 11 C C A; E =0 @1 1 5 0 2 0 0 0 11 A; (I valori dei determinanti potrebbero essere 2;2;30;2;2). Se possibile, calcolare l'inversa della matriceBedE. (Nel caso in cui esiste l'inversa, vericare che lo sia, ovvero calcolare i prodotti della matrice con l'inversa e confrontarla con la matrice identita'). Esercizio 9.Si considerino le matriciA2M 23( R) eC2M 33( R) A= 2 1 0 3 0 1 ; C=0 @ 22 0 2312 2 212 1 A: (1) Determinare, se possibile,ACeC A. (2) Determinare se possibile, il determinante diAe diC. (3) Determinare, se possibile, le matrici inverse diAe diC. Esercizio 10.SianoB2M 33( R) eD2M 23( R) le seguenti matrici B=0 @ 12 1 1 011 2 021 A; D= 3 01 212 : (1) Calcolare, se possibile,DBeBD. (2) Calcolare, se possibile, il determinante diBe diD. (3) Calcolare, se possibile, le matrici inverse diBe diD.