Ingegneria Energetica - Analisi e Geometria 1

Strutture algebriche

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Denizione 1. SiaAun insieme non vuoto. Un'applicazione :AA!A si dicelegge di composizione internaooperazionesuA. La coppia ordinata (A;) si dicestruttura algebrica, della qualeAe ilsostegno. Osservazione 1.Siano(A;)una struttura algebrica,(x; y)2AA. Al lora, invece di scrivere (x; y)
, si scrivexy. Denizione 2.Si dice che la legge di composizionesull'insiemeAverica la proprieta associativaoppure che la struttura algebrica (A;) e associativa se 8x; y; z2A;(xy)z=x(yz): Denizione 3.Sia (A;) una struttura algebrica. Si dice che (A;) ammetteelemento neutrose 9e2Atale che8x2A xe=ex=x: Naturalmente in tal casoesi dice elemento neutro. Proposizione 1.Se la struttura algebrica(A;)ammette elemento neutro, esso e unico. Dimostrazione.Sianoe 1ed e 2elementi neutri della struttura. Allora e1= e 1 e 2= e 2: Denizione 4.Una struttura algebrica associativa e che ammette elemento neutro si dicemonoide. Esempio 1.Si puo osservare facilmente che (N;+) e (Z;
) sono monoidi. Esempio 2.SiaAun insieme non vuoto. Allora la struttura algebrica (AA ;) avente per sostegno l'insiemeAA delle applicazioni bigettive diAin se, e come operazione la composizione tra applicazioni, risulta essere un monoide. Infattiverica la proprieta associativa e l'elemento neutro e l'applicazione identicaid A. Esempio 3.SianoAun insieme,n2N. Sea 1; a 2; : : : ; a n2 A, la successione ordinata wn= a 1a 2: : : a n si dice parola di lunghezzansuA. Esiste un'unica parola priva di elementi, la parola vuota, che si indica conw 0(su qualunque insieme). Per ogni n2N, si indica conW n l'insieme di tutte le parole di lunghezzansuAe si pone: W=\ n2NW n: Si denisce una legge di composizione interna
suW, dettagiustapposizione, nel modo che segue: sew; w0 2 W, allora esistonon; m2Ntali chew2W ne w0 2W m, e quindi esistonoa 1; a 2; : : : ; a n; b 1; b 2; : : : ; b m2 Atali chew=a 1a 2: : : a n, w0 =b 1b 2: : : b m. Si pone alloraw
w0 =a 1a 2: : : a nb 1b 2: : : b m2 W n+m W : Si vede facilmente che
verica la proprieta associativa e che la parola vuotaw 0e l'elemento neutro di (W;
). Quindi (W;
) e un monoide, che si dicemonoide del le parole suA. Denizione 5.Sia (A;) una struttura algebrica dotata di elemento neutroe, e sia x2A. Si dice chexesimmetrizabilese esistex0 2Atale che xx0 =x0 x=e; x0 si dicesimmetrico dix. Proposizione 2.Sia(A;)un monoide, con elemento neutroe. Se un elementox2A ammette simmetrico, esso e unico.1 2 Dimostrazione.Sianox0 ex00 simmetrici dix. Allora: xx0 =x0 x=ee inoltrexx00 =x00 x=e: Allora si ha:x00 =ex00 = (x0 x)x00 =x0 (xx00 ) =x0 e=x0 e quindix00 =x0 . Denizione 6.Si dice che una struttura algebrica (A;) e ungruppose e associativa, se ammette elemento neutro e se ogni elemento e simmetrizzabile. In altri termini (A;) e un gruppo se sono vericate le seguenti proprieta  8x; y; z2A;(xy)z=x(yz):  9e2Atale che8x2A xe=ex=x:  8x2a9x0 2Atale chexx0 =x0 x=e: Esempio 4.Esempi di gruppi sono: (Z;+);(Q;+);(R;+);(Q ;
);(R ;
). Denizione 7.Sia (G;
) un gruppo. SeGe un insieme nito, allora la sua cardinalita si chiamaordinedi (G;
) e si indica conjGj. Segnon e nito si dice cheGha ordine innito e si ponejGj= +1. Esempio 5.SiaAun insieme non vuoto. Allora la struttura algebrica (S(A);) avente per sostegno l'insiemeS(A) delle applicazioni bigettive diAin se, e come operazione la composizione tra applicazioni, risulta essere un gruppo. Infatti verica la proprieta associativa, haid Acome elemento neutro ed inoltre ogni elemento f2 S(A) ha elemento simmetrico, che e proprio l'applicazione inversaf 1 (che esiste in quantofe bigettiva). In particolare, seA=f1; : : : ; ng,n2N , alloraS(A) e il gruppo delle permutazioni su noggettiS n, e il gruppo ( S n; ) si chiamagruppo simmetrico. Osservazione 2.Il gruppo simmetrico sunoggetti,n2N , e nito e ha ordinen!. Osservazione 3.Un gruppo di sostegnoGpuo essere denotato moltiplicativamente con
: in tal caso si usa generalmente la notazione 1 G, o semplicemente 1 per l'elemento neutro e per ognix2Gsi indica conx 1 l'elemento simmetrico dix, che diceinverso dix. Puo anche essere denotato additivamente con + : allora si usa generalmente la notazione 0G, o semplicemente 0, per l'elemento neutro e per ogni x2Gsi indica con xl'elemento simmetrico dix, che si diceopposto dix. Denizione 8.Si dice che la legge di composizionesull'insiemeAverica la proprieta commutativaoppure che la struttura algebrica (A;) e commutativa se 8x; y2A; xy=yx: Un gruppo commutativo si diceabeliano. Osservazione 4.Il monoide (AA ;) delle applicazioni di un insieme non vuotoAin se (cf. Esempio 2) e il monoide (W;
) delle parole su un insiemeA(cf. Esempio 3) non sono commutativi. Sono invece commutativi i monoidi (N;+), (Z;
). I gruppi (Z;+); (Q;+);(R;+);(Q ;
);(R ;
) sono tutti abeliani, mentre non e abeliano il gruppo (S(A);) delle applicazioni bigettive di un insiemeAin se, quandojAj 3 (cf. Esempio 5). Denizione 9.Sia (G;
) un gruppo. Fissaton2Z, denisce lapotenzan-madignel modo che segue: ricorsivamente pern2N: ( g0 = 1G gn =gn 1 g; n >0 pern 0 pern =fa2G:9h2Ztale chea=gh g=fgh jh2Zg e un sottogruppo diG. Dimostrazione.Si usano il Teorema 1 e la Proposizione 3. SG1) < g >6 =;poiche, per esempio,g=g1 2< g > SG2) Siano a; b2< g >: allora9h; k2Ztali chea=gh ; b=gk e quindia
b= gh
gk =gh +k ;pertanto9t=h+k2Ztale chea
b=gt ;cioea
b2< g > SG3) Sia a2< g >: allora9h2Ztale chea=gh alloraa 1 = (gh ) 1 =g h e quindi 9s=h2Ztale chea 1 =gs ;cioea 1 2< g >. La Proposizione 8 giustica la Denizione che segue. Denizione 13.Sia (G;
) un gruppo,g2G. Il sottogruppo< g >si dicesottogruppo ciclico generato dag. Osservazione 11.Se il gruppo (G;+) e denotato additivamente eg2G, allora il sottogruppo ciclico generato dagsi scrive < g >=fhgjh2Zg . 6 Osservazione 12.Si osservi che un gruppo innito puo anche ammettere sottogruppi niti: per esempio il sottogruppo ciclico di (Q ;
) generato da1 e nito, in quanto =f1;1g. Proposizione 9.Sia(G;
)un gruppo,g2G. Al lora si ha una del le seguenti possibilita: (1) (8h; k2Z) (gh 6 =gk ),< g >e innito (2) (9h; k2Z) (gh =gk ),< g >e nito. Denizione 14.Sia (G;
) un gruppo,g2G. Si dice chegha ordine innito, e si scrive jgj= +1, sej< g >j= +1; si dice chegha ordine o periodok2N , e si scrive jgj=k, sej< g >j=k. Si noti che in ogni casojgj=j< g >j. Proposizione 10.L'ordine di un ciclodi lunghezzarnel gruppo simmetrico(S n; ) er. Inoltre, sef2S n, ammette la seguente scomposizione in cicli disgiunti: f= 1


  h, al lora si ha: jfj=m:c:m:(j 1j ; : : : ;j hj ): Denizione 15.Si dice che un gruppo (G;
) eciclicose esisteg2Gtale che< g >=G. In tal casogsi dicegeneratorediG. Esempio 9.Sono gruppi ciclici: (1) (Z;+);in quanto 1 ne e un generatore (2) (Z n; +), in quanto [1] nne e generatore. Teorema 4.Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico e ciclico. Quindi, per esempio, sono ciclici tutti i sottogruppi di (Z;+) e tutti i sottogruppi di (Z n; +) Teorema 5.(Inverso del Teorema di Lagrange per i gruppi ciclici) Sia(G;
)un gruppo ciclico di ordinen. Al lora per ognihdivisore dinesiste un unico sottogruppo di(G;
) avente ordineh. Proposizione 11.Sia(G;
)un gruppo ciclico nito di ordinenegne sia un generatore. Pertanto, per ogni elementoa2Gesisteh2Ztale chea=gh . Risulta al lora: (4)jaj=jgh j=nM :C:D: (h; n) Osservazione 13.Segue da (4) che per ogni numero interohprimo conn,gh e un generatore diG. In particolare, i generatori del gruppo (Z n; +) sono tutti gli elementi [h] n2 Z ntali che hsia primo conne quindi i generatori di (Z n; +) sono esattamente '(n) ('funzione di Eulero). Osservazione 14.Sia (G;
) un gruppo nito di ordinen. Un elementoa2Ge generatore diGse e soltanto sejaj=n. Esercizio 1.Vericare che: 1. un gruppo nito di ordinepprimo e ciclico. 2. un gruppo ciclico e abeliano. Osservazione 15.Pern >2, (S n; )none abeliano e quindi non puo essere ciclico. D'altra parte (S 2; ) ha ordine 2! = 2, che e un numero primo, per cui e ciclico e quindi abeliano (cf. Esercizio 1). Proposizione 12.Siano(G;
)un gruppo,a2G, conjaj=m:Al lora si ha: m=minfh2N :ah = 1Gg 7 Proposizione 13.Sian2N,n >1. Al lora un elemento[a] n2 Z ne invertibile nel monoide(Z n;
)se e soltanto seM :C:D:(a; n) = 1. Dimostrazione.Un elemento [a] n2 Z ne invertibile se e solo se esiste [ x] n2 Z ntale che (2) [a] n
[x] n= [1] n; ovvero[a
x] n= [1] n: Pertanto, per cercare un eventualexche verichi (2), bisogna risolvere la congruenza lineare (3)a x1 (modn); che ha soluzioni se e solo seM :C:D:(a; n)j1, cioe se e solo seM :C:D:(a; n) = 1. Inoltre, nel caso in cui (3) abbia soluzioni, ce ne soltanto una (modn): questo a conferma dell'unicita dell'inverso. Corollario 1.Sep2Ze un numero primo, al loraZ pe chiuso rispetto a
. Dimostrazione.Per la Proposizione 13, ogni elemento diZ pha inverso rispetto a
. Siano [a] p; [b] p2 Z p: Bisogna provare che [a] p
[b] p2 Z p. Se fosse [a] p
[b] p= 0 ; moltiplicando a sinistra per l'inverso [a] 1 pdi [ a] p, si avrebbe [a] 1 p
([a] p
[b] p) = [ a] 1 p
0 = 0; ossia 0 = ([a] 1 p
[a] p)
[b] p) = [ b] pche contraddice [ b] p2 Z p: Quindi [a] p
[b] p2 Z p. Corollario 2.Sep2Ze un numero primo, al lora la struttura algebrica(Z p;
)e un gruppo abeliano. Siano (A;), (B;
) due strutture algebriche. Si puo allora considerare sul prodotto cartesianoABla legge di composizione internadenita come segue: 8(a; b);(a0 ; b0 )2AB;(a; b)(a0 ; b0 ) = (aa0 ; b
b0 ): Si puo vericare facilmente chese le due strutture (A;) e (B;
) sono entrambe associative, allora (AB;) e associativa se la struttura (A;) ammette elemento neutroee la struttura (B;
) ammette elemento neutroallora (AB;) ammette elemento neutro (e; ) seae un elemento simmetrizzabile diAaventea0 come simmetrico ebe un elemento simmetrizzabile diBaventeb0 come simmetrico, allora la coppia (a; b) ha simmetrico (a0 ; b0 ), in (AB;) se le due strutture (A;) e (B;
) sono commutative, allora (AB;) e commu- tativa in conclusione, se (A;) e (B;
) sono monoidi (commutativi), allora (AB;) e un monoide (commutativo) e se (A;) e (B;
) sono gruppi (abeliani), allora (AB;) e un gruppo (abeliano), che si dicegruppo somma direttadei gruppi (A;) e (B;
), che si indica conAB. Osservazione 16.Si puo vericare che se(A;)e(B;
)sono gruppi,a2A,b2B, entrambi di ordine nito, al lora si ha la seguente formula nel gruppo somma diretta AB j(a; b)j=m:c:m(jaj;jbj): Esempio 10.Fissatin; m2N ,n6 = 1, si puo considerare il gruppo somma diretta Zn Z mdi ( Z n; +) e (Z m; +), che e un gruppo abeliano nito di ordinen
m. 8 Esercizio 2.In quali ipotesi sunedm,Z n Z me ciclico? Esercizio 3.Studiare il gruppoZ 2 Z 2(gruppo di Klein).