Informatica - Calcolo delle probabilità e statistica

01. Statistica inferenziale

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SianoXeYdue quantitµa con valori aleatori distribuiti in maniera approssimati- vamente normale. Due campioni indipendenti rispettivamente din= 21 em= 16 misure hanno medie Controllare con un test bilaterale di livello®= 0:05 le due ipotesi H 0:¾2 X=¾2 Y; H 1:¾2 X6 =¾2 Y: (b) Controllare con un test unilaterale di livello®= 0:05 le due ipotesi H 0:¹ X·¹ Y; H 1:¹ X> ¹ Y: (c) Determinate gli intervalli di ¯ducia di livello®= 0:05 per le due attese¹ Xe ¹ Y. 2. Dopo aver controllato le condizioni di applicabilitµa, veri¯care con un test delÂ2 di livello®= 0:01 se questi dati si adattano ad una distribuzione BinomialeB¡ 6;1 3¢ . 3. Siano dati i due seguenti campioni indipendenti delle quantitµa aleatorieXeY: X=1:13 0:11 0:74 0:97 0:10 1:14 0:68 0:21 0:70 0:41 0:82 0:04 0:85 0:85 0:84 0:11 0:55 0:09 1:01 0:34 1:04 Y=0:85 0:62 0:21 0:22 0:34 0:13 0:93 0:38 0:01 0:65 0:97 0:79 0:42 0:09 0:44 0:31 (a) Calcolare le varianze corretteS2 XedS2 Y. (b) Determinate gli intervalli di ¯ducia di livello®= 0:05 per¾2 Xe¾2 Y. (c) Decidere con un test bilaterale di livello®= 0:05 quale accettare fra le due ipotesi H 0:¾2 X=¾2 Y; H 1:¾2 X6 =¾2 Y: 4. Il direttore di una scuola vuol sapere se l'opinione delle famiglie su un certo cambia- mento di orario scolastico dipende dal fatto che la loro abitazione µe situata in una zona urbana o in una zona rurale. Si chiede pertanto il parere din= 500 famiglie ottenendo i risultati riportati nella Tabella: contrari indi®erenti 36 41 85 70 totali Si esegua un test delÂ2 di livello®= 0:01 per l'ipotesiH 0:l'opinione delle famiglie µe indipendente dalla collocazione della loro abitazione. 5. Due campioni indipendenti delle quantitµaXeYcon attese¹ X; ¹ Ye varianze¾2 X; ¾2 Y sconosciute, sono composti rispettivamente din= 21 em= 31 misure, e hanno medie empiriche Le misure incmdell'altezzaXdin= 100 persone si distribuiscono con le seguenti frequenze assolute 10 [168;169] 17 [169;170] 24 [170;171] 27 [171;172] 17 5 Eseguire un test delÂ2 di livello®= 0:05 per veri¯care se questi dati si adattano ad una distribuzione normale con media¹= 170 e varianza¾2 = 2. 7. Siano dati i due seguenti campioni indipendenti delle quantitµa aleatorieXeY: X=5:49 4:37 4:42 3:79 5:57 3:37 4:30 3:14 4:55 4:23 3:44 2:51 4:46 2:54 3:59 4:20 3:14 3:50 2:26 4:01 4:06 Y=5:84 2:29 3:71 5:09 7:07 5:61 4:83 3:29 5:55 6:78 5:74 5:58 5:28 4:89 4:21 2:54 3:71 3:81 4:60 6:81 4:60 5:10 4:72 6:33 5:76 4:86 3:50 5:18 6:60 5:47 3:49 (a) Calcolare le varianze corretteS2 XedS2 Y. (b) Determinate gli intervalli di ¯ducia di livello®= 0:05 per¾2 Xe¾2 Y. Decidere con un test bilaterale di livello®= 0:05 quale accettare fra le due ipotesi H 0:¾2 X=¾2 Y; H 1:¾2 X6 =¾2 Y: 8. In un paese si vuol sapere se le risposte (favorevoleocontrario) dei cittadini ad una determinata questione sono o meno in°uenzate dall'etµa . Si chiede pertanto il parere din= 600 persone ottenendo i risultati riportati nella Tabella: maturi anziani 150 30 120 74 totali Si esegua un test delÂ2 di livello®= 0:05 per l'ipotesiH 0:l'opinione dei cittadini µe indipendente dall'etµa. 9. Per veri¯care l'e±cacia di un medicinale si misura la temperatura din= 30 pazienti prima (X) e dopo (Y) l'assunzione del farmaco. I campioni accoppiati cosµ³ ricavati sono i seguenti: X=36:8 37:9 38:3 38:1 38:3 38:8 36:3 37:7 37:1 36:9 37:7 37:5 37:4 39:0 38:6 41:4 37:9 37:5 39:9 38:2 38:4 37:7 37:5 36:6 38:0 38:6 39:0 37:6 38:0 39:5 Y=37:1 36:1 38:2 39:0 38:4 36:4 36:8 39:3 37:3 37:9 37:6 38:4 38:6 37:4 38:3 37:0 35:9 36:0 37:2 39:3 36:0 36:6 38:0 38:0 38:7 39:4 37:6 36:1 39:0 36:4 Eseguire un test unilaterale di livello®= 0:05 per veri¯care quale accettare fra le due ipotesi H 0:¹ X·¹ Y; H 1:¹ X> ¹ Y: 10. Una ditta che vende automobili vuol sapere se l'etµa degli acquirenti (giovani,maturi eanziani) in°uenza la scelta del colore (bianco,rossoonero) delle vetture vendute. Si esaminano i dati relativi an= 500 contratti di vendita ottenendo i risultati riportati nella Tabella: maturi anziani 60 40 87 38 64 85 totali Si esegua un test delÂ2 di livello®= 0:05 per l'ipotesiH 0:il colore scelto µe indipendente dall'etµa degli acquirenti. Siano dati i due seguenti campioni indipendenti delle quantitµa aleatorieXeY: X=1:13 0:11 0:74 0:97 0:10 1:14 0:68 0:21 0:70 0:41 0:82 0:04 0:85 0:85 0:84 0:11 0:55 0:09 1:01 0:34 1:04 Y=0:85 0:62 0:21 0:22 0:34 0:13 0:93 0:38 0:01 0:65 0:97 0:79 0:42 0:09 0:44 0:31 (a) Calcolare le varianze corretteS2 XedS2 Y. (b) Determinate gli intervalli di ¯ducia di livello®= 0:05 per¾2 Xe¾2 Y. (c) Decidere con un test bilaterale di livello®= 0:05 quale accettare fra le due ipotesi H 0:¾2 X=¾2 Y; H 1:¾2 X6 =¾2 Y: 12. Due campioni indipendenti delle quantitµaXeYcon attese¹ X; ¹ Ye varianze¾2 X; ¾2 Y sconosciute, sono composti rispettivamente din= 21 em= 31 misure, e hanno medie empiriche Siano dati i due seguenti campioni indipendenti delle quantitµa aleatorieXeY: X=5:49 4:37 4:42 3:79 5:57 3:37 4:30 3:14 4:55 4:23 3:44 2:51 4:46 2:54 3:59 4:20 3:14 3:50 2:26 4:01 4:06 Y=5:84 2:29 3:71 5:09 7:07 5:61 4:83 3:29 5:55 6:78 5:74 5:58 5:28 4:89 4:21 2:54 3:71 3:81 4:60 6:81 4:60 5:10 4:72 6:33 5:76 4:86 3:50 5:18 6:60 5:47 3:49 (a) Calcolare le varianze corretteS2 XedS2 Y. (b) Determinate gli intervalli di ¯ducia di livello®= 0:05 per¾2 Xe¾2 Y. (c) Decidere con un test bilaterale di livello®= 0:05 quale accettare fra le due ipotesi H 0:¾2 X=¾2 Y; H 1:¾2 X6 =¾2 Y: 14. Per veri¯care l'e±cacia di un medicinale si misura la temperatura din= 30 pazienti prima (X) e dopo (Y) l'assunzione del farmaco. I campioni accoppiati cosµ³ ricavati sono i seguenti: X=36:8 37:9 38:3 38:1 38:3 38:8 36:3 37:7 37:1 36:9 37:7 37:5 37:4 39:0 38:6 41:4 37:9 37:5 39:9 38:2 38:4 37:7 37:5 36:6 38:0 38:6 39:0 37:6 38:0 39:5 Y=37:1 36:1 38:2 39:0 38:4 36:4 36:8 39:3 37:3 37:9 37:6 38:4 38:6 37:4 38:3 37:0 35:9 36:0 37:2 39:3 36:0 36:6 38:0 38:0 38:7 39:4 37:6 36:1 39:0 36:4 Due serie indipendenti din= 10 edm= 9 misure rispettivamente di due quantitµa aleatorieXedYdanno i seguenti risultati X=¡1:34 1:32¡0:96 0:29¡1:41 0:23¡0:56¡0:32 0:66 1:27 Y= 4:83¡2:52¡1:79¡2:85 1:45 1:09 1:87 2:03¡2:60 (a) Calcolare le due medie Y, e le due varianze empiricheS2 X; S2 Y. (b) Eseguire un test di Fisher bilaterale di livello®= 0:05 per veri¯care l'ipotesi fH 0:¾2 X=¾2 Ygcontro l'ipotesifH 1:¾2 X6 =¾2 Yg. 16. Per giudicare il rendimento di due classi din= 31 em= 21 studenti si paragonano le medie dei voti (espressi intrentesimi) con i quali µe stato superato un certo esame. I due campioni indipendenti sono i seguenti: X=25 27 27 26 27 25 23 25 22 26 25 21 24 22 24 24 23 22 29 26 21 26 23 24 24 20 29 22 23 18 27 Y=21 19 19 22 25 20 25 23 26 27 22 25 27 20 19 23 28 22 25 23 28 (a) Decidere con un test bilaterale di livello®= 0:05 quale accettare tra le ipotesi H 0:¾2 X=¾2 Y; H 1:¾2 X6 =¾2 Y: (b) Decidere con un test unilaterale di livello®= 0:01 quale accettare tra le ipotesi H 0:¹ X·¹ Y; H 1:¹ X> ¹ Y: 17. Siano dati i seguenti due campioni aleatori din= 16 edm= 21 misure: X=9:08 9:80 10:76 9:58 10:56 9:99 10:61 8:86 10:41 10:27 7:94 8:61 10:38 9:77 11:30 10:09 Y=3:99 4:04 4:20 6:11 7:26 6:43 5:23 5:93 3:71 4:53 4:91 5:33 3:95 4:60 3:87 5:25 4:09 5:21 5:85 4:10 4:26 (a) Decidere con un test bilaterale di livello®= 0:05 quale accettare tra le ipotesi H 0:¾2 X=¾2 Y; H 1:¾2 X6 =¾2 Y: (b) Calcolare gli intervalli di ¯ducia di livello®= 0:01 per le varianze¾2 Xe¾2 Y. 18. Quattro dadi vengono lanciati assieme pern= 10 000 volte, e in ogni lancio si osserva quante volte esce \ 6". I valorij= 0;1;2;3;4 delnumero dei \6" in ogni lanciosi presentano con le seguenti frequenze empiriche assolute j= 0 1 2 3 4 N j= 4 775 3 919 1 143 156 7 6¢ . 19. Tre dadi vengono lanciati assieme pern= 8 000 volte, e in ogni lancio si osserva quante volte esce \ 6". I quattro valorij= 0;1;2;3 delnumero dei \6" in ogni lanciosi presentano con le seguenti frequenze empiriche assolute j= 0 1 2 3 N j= 4 481 2 868 603 48 ² 6¢ . 20. Per confrontare le attivitµa di due materiali radioattivi si rilevano i numeri di particelle emesse in un intervallo di 10 minuti. Si misurano pertanto, rispettivamente per i due materiali,n= 31 em= 31 valori di tale conteggio ottenendo i seguenti risultati: X=15 20 21 26 20 14 13 17 22 21 24 19 18 22 17 17 19 23 21 22 31 14 14 24 24 21 20 25 17 20 20 Y=18 18 23 19 14 14 14 16 23 21 17 21 14 22 17 19 16 9 22 13 17 19 16 19 22 11 16 9 19 21 13 (a) Decidere con un test bilaterale di livello®= 0:05 quale accettare tra le ipotesi H 0:¾2 X=¾2 Y; H 1:¾2 X6 =¾2 Y: (b) Decidere con un test unilaterale di livello®= 0:01 quale accettare tra le ipotesi H 0:¹ X·¹ Y; H 1:¹ X> ¹ Y: 21. Un professore vuol sapere se i voti registrati per il suo esame dipendono o meno dall'anno di immatricolazione degli studenti. Egli esamina i votin= 378 studenti immatricolati in diversi anni accademici e ottiene i risultati riportati nella Tabella: 21 { 23 24 { 26 27 { 30 30 50 15 26 34 10 25 38 19 40 29 10 totali Si esegua un test delÂ2 di livello®= 0:01 per controllare l'ipotesiH 0:il voto µe indipendente dall'anno di immatricolazione.