Informatica - Analisi matematica

01. Numeri e funzioni reali

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a.a. 2017/2018 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A{L) Numeri reali e funzioni reali di variabile reale Nota: questoledierisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione. L'insieme dei numeri reali  Approccio costruttivo Approccio assiomatico:l'insieme dei numeri reali Re uncampo totalmente ordinatoecompleto.Campo ??? Totalmente ordinato ??? Completo ??? 1 R e uncampoIn Rsono denite due leggi di composizione interna + addizione
moltiplicazione con le seguenti proprieta: Proprieta commutativaPer ogni a;b2R:a+b=b+a; a
b=b
aProprieta associativa Per ogni a;b;c2R: (a+b) +c=a+ (b+c); (a
b)
c=a
(b
c)Proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione Per ogni a;b;c2R: a
(b+c) =a
b+a
c! accoglimento a fattor comune"2 Esistenza e unicita degli elementi neutri  Esiste inRun unico elemento0tale che a+ 0 =aper ognia2R. Esiste inRun unico elemento1, diverso da 0 , tale che a
1 =aper ognia2R.Esistenza e unicita degli inversi  Per ognia2Resiste un unico elemento diR, che si denota conae si chiamaoppostodia, tale chea+ (a) = 0. Per ognia 2Rn f0gesiste un unico elemento diR, che si denota cona 1 e si chiamareciprocodia, tale chea
a 1 = 1.Notazione: R :=Rn f0g3 Nota Tramite gli inversi si deniscono leoperazioni inverse: lasottrazionesi denisce per ognia;b, ponendo ab:=a+ (b); ladivisionesi denisce per ogniae per ognib6 = 0, ponendo# perche? ab := a
b 1 :In particolare, 1b = b 1 .4 R e un campototalmente ordinato. . .. . . Premettiamo un richiamo: Una relazione binariaRsu un insiemeXsi dicerelazione di ordine totale se soddisfa le seguenti proprieta:Proprieta ri essiva Per ogni a2X:aRa.Proprieta antisimmetrica Per ogni a;b2X:aRb;bRa=)a=b. Proprieta transitivaPer ogni a;b;c2X:aRb;bRc=)aRc.Proprieta di dicotomia Per ogni a;b2X:aRboppurebRa.Esempi di relazione d'ordine non totale? 5 R e un campototalmente ordinatoIn Re denita una relazione di ordine totale(minore o uguale)con le seguenti proprieta: Compatibilita rispetto all'addizione Per ogni a;b;c2R:ab=)a+cb+cCompatibilita rispetto alla moltiplicazione Per ogni a;b;c2R:ab,0 c=)a
cb
c6 Nota A partire dalla relazione d'ordinedeniamo le relazioni abDEF ()b amaggiore o ugualea bDEF ()a bea6 =bmaggiore (stretto) Sono relazioni d'ordine? Usando le relazionipossiamo riformulare laproprieta di dicotomia: per ognia;b2Re soddisfatta una e una sola delle condizioniab.7 Notazione R := fx2Rjx0ginsieme dei numeri realipositivi R := fx2Rjx0ginsieme dei numeri realinon positivi R +:= fx2Rjx0ginsieme dei numeri realinon negativi Prima di completare la descrizione assiomatica di Resaminiamo alcune conseguenze degli assiomi di campo totalmente ordinato . . .8 Conseguenze degli assiomi di campo totalmente ordinato Proprieta: regole di semplicazione per le uguaglianze Per ognia;b;c2R:a+c=b+c=)a=ba
c=b
c;c6 = 0=)a=b Proprieta: legge diannullamentodel prodotto Per ognia;b2R:a
b= 0()a= 0oppureb= 0 .Osservazioni 0 non puo ammettere reciproco. La legge di annullamento del prodotto vale anche per il prodotto di tre o piu fattori.9 Proprieta degli inversi 1 Per ogni a2R:(a) =a.2 Per ogni a2R:a= (1)
a.3 Per ogni a;b2R:(a+b) =ab.4 Per ogni a2R :(a 1 ) 1 =a.5 Per ogni a;b2R :(a
b) 1 =a 1
b 1 .6 Per ogni a;b2R:(a
b) = (a)
b=a
(b).7 Per ogni a;b2R:(a)
(b) =a
b.8 Per ogni a2R :(a 1 ) = (a) 1 .Osservazioni Il prodotto degli oppostinone uguale all'opposto del prodotto.La somma dei reciprocinone uguale al reciproco della somma. Esempio?10 Proprieta: regole di addizione e moltiplicazione Per ognia;b;c;d2R, conb6 = 0 ed6 = 0 : ab + cd = a
d+b
cb
dab
cd = a
cb
d
Proprieta: relazione d'ordine e opposti Per ognia;b2R:ab()ab0()aba 0 ()a> = 0e sonodiscordi sea
b0 verso il basso sec0 verso destra sec1 unacompressione verticalesec1 unadilatazione orizzontalesec