Informatica - Analisi matematica

02. Non completezza numeri reali

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Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica (A-L) { a.a. 2017/2018 Esempio di sottoinsiemi separati dell'insiemeQdei numeri razionali che non ammettono elemento di separazione razionale Considero gli insiemiA= x2Qjx0 [ x2Qjx >0 ex2 0 ex2 >2 : Voglio dimostrare cheAeBsono separati e che non esiste alcun numero razionaleche sia elemento di separazione diAeB. Premetto due lemmi. Lemma 1:Seaebsono numeri positivi ea2 < b2 , alloraa < b. Dimostrazione: Per assurdo, suppongoab. Applico la prima regola di moltiplicazione membro a membro alla disuguaglianzaab, considerata due volte, e ottengoa
ab
b, cioea2 b2 . Questo contraddice l'ipotesia2 < b2 . Nota: da questo punto in poi ometto il simbolo
per indicare la moltiplicazione. Lemma 2:Non esiste alcun numero razionalextale chex2 = 2. Dimostrazione: Per assurdo, suppongo chexsia un numero razionale e chex2 = 2 . Siccomex e un numero razionale, posso scriverlo nella formax=mn , con m2Zen2Z ; posso supporre che i numerimensiano privi di fattori comuni (se non lo fossero, sostituirei la frazionemn con una frazione equivalente avente la proprieta richiesta). Osservo che x2 = 2()m 2n 2= 2 ()m2 = 2n2 ; l'ultima uguaglianza mi dice chem2 e pari. Osservando che il quadrato di un numero dispari e un numero dispari, ne deduco cheme pari, e quindi posso scriverem= 2p, conpnumero intero. Sostituendo nell'ultima uguaglianza scritta sopra, ottengo 4p2 = 2n2 e, dividendo per 2 , ottengo 2p2 =n2 . Questo mi dice chen2 e pari, e quindi anchenlo e. Ora, semensono entrambi pari, entrambi contengono il fattore 2, e questo contraddice l'aver supposto chemensiano privi di fattori comuni. Considero adesso gli insiemiAeB. Osservo anzitutto che sono entrambi non vuoti (per esempio, Acontiene 1 eBcontiene 2 ). Ora verico che gli insiemi AeBsono separati. Prendoa2Aeb2B, arbitrari. Distinguo due casi. Seae minore o uguale di 0 , ovviamente e minore dib, che invece e positivo. Sea e positivo, appartenendo adAsoddisfa la disuguaglianzaa2 2 . Pertanto,a2 < b2 e allora, per il Lemma 1, deduco cheae minore dib. In entrambi i casi, ho dedotto cheae minore dib(e quindi minore o uguale, come richiesto nella denizione di insiemi separati). Adesso suppongo, per assurdo, che esista un numero razionalec, elemento di separazione diAe B. Questo vuole dire, per denizione di elemento di separazione, cheacbper ognia2Ae per ognib2B. Riconosco immediatamente chece positivo (perche e maggiore o uguale di tutti gli elementi di A, tra cui, come osservato, ci sono numeri positivi). Inoltre, avendo supposto checsia un numero razionale, per il Lemma 2 posso dire chec2 non e uguale a 2 . Restano percio due possibilita: c2 2 ; voglio mostrare che in entrambi i casi ottengo una contraddizione. Per farlo, considero il numero \ausiliario" :=2 c+ 2c + 2: Osservo che e un numero razionale (ovvio, perche anche 2 e un numero razionale eQe un campo), ed e positivo (come conseguenza della chiusura diR +, rispetto all'addizione e alla moltiplicazione, e delle regole dei segni). Utilizzando le regole algebriche ottengo 2 2 =(2 c+ 2)2( c+ 2)2 2 =(2 c+ 2)2 2 (c+ 2)2( c+ 2)2=4 c2 + 8c+ 42 (c2 + 4c+ 4)( c+ 2)2= =4 c2 + 8c+ 42c2 8c8( c+ 2)2=2 c2 4( c+ 2)2=2 ( c2 2)( c+ 2)2; c =c2 c+ 2c + 2=c (c+ 2)(2c+ 2)c + 2=c 2 + 2c2c2c + 2=c 2 2c + 2: Riscrivo le uguaglianze ottenute, trascurando i passaggi intermedi: 2 2 =2 ( c2 2)( c+ 2)2; c =c 2 2c + 2; dalle regole dei segni deduco che entrambi i numeri 2 2 ec sono concordi con il numero c2 2 . Questa osservazione mi permettera di giungere alle contraddizioni desiderate. Torno ai due casi possibili. Nel primo caso hoc2 0 ec >0 . La prima disuguaglianza equivale a 2 >2 , da cui deduco che appartiene aB, e percio emaggiore o ugualedic, elemento di separazione. Tuttavia, la seconda disuguaglianza equivale ac > , che contraddice quello che ho appena aermato. In entrambi i casi ho ottenuto una contraddizione. L'assurdo e derivato dall'aver supposto chec sia un numero razionale.