Informatica - Analisi matematica

03. Successioni numeriche e limiti

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a.a. 2017/2018 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A{L) Successioni numeriche e loro limiti Nota: questoledierisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione. Successioni numeriche Si chiamasuccessione numericaogni funzione reale denita in un insieme del tipofn2Njnn 0g , conn 0numero naturale.Esempio La relazionef(x) =x2 , conx2[0;+1[, denisce unafunzione;la relazione f(x) =x2 , conx2N, denisce unasuccessione. Parlando di successioni, solitamente denotiamola variabile indipendente conn; il valore che la successione assume in un numero naturalencon il simbolox n(oppure a n, u n, . . . ), chiamatotermine n-esimodella successione; la successione (e la sua immagine) confx ng n2N(oppure fx ng ).1 Esempi di successioni numeriche xn=1nx n=n 1nx n=( 1)nn x n= ( 1)nx n= n2x n= n32 Successioni denite per ricorrenza Invece di assegnare esplicitamente la leggen7!x n: prescriviamo il valore corrispondente an 0, indichiamo come ottenere il valore successivo dal valore precedente.In simboli: (xn0=  xn= f(x n1)( nn 0+ 1)oppure ( xn0=  xn+1= f(x n)( nn 0)con 2Reffunzione. Legame con principio di induzione Fissaton, per determinarex noccorrono nn 0passi.Possiamo ricavare esplicitamente la legge n7!x n?3 Esempi ( x0= 1 xn= n x n1( n2N ) Espressione esplicita:x n= n
(n1)
: : :
3
2
1 |{z} n! attoriale din" Fissatoq2R:( x0= 1 xn= q x n1( n2N ) Espressione esplicita:x n= q
q
: : :q
q |{z} qn \progressione geometrica di ragioneq" 8 < :x 1= 2 xn+1=x n2 + 1x n( n2N ) Espressione esplicita?4 Proprieta generali delle successioni Dato che ogni successione e una funzione, ha senso parlare dimaggiorantieminorantidi una successione; successionilimitate(inferiormente, superiormente); estremo inferioreedestremo superioredi una successione; minimoemassimodi una successione.Successioni modello? 5 Dato che ogni successione e una funzione, ha senso parlare di successioni monotone.Secondo la denizione, per vericare la monotonia di fx ng occorre confrontare i terminix me x ncorrispondenti a una arbitraria coppia di interim;nconm x n+1per ogni n.Successioni modello? Esempio Studiare la monotonia della successionex n= n+( 1)nn . 6 Proprieta vere denitivamente Diciamo che una proprietaP n, predicabile per n2N,e vera denitivamenteseesistek2Ntale cheP nsia vera per ogni n2N tale chenk.Esempi Stabilire se le seguenti proprieta sono vere denitivamente: P n: n2 20 P n: ( 1)n >0 P n: la successione 10nn ! e decrescente(attenzione!!) 7 Successioni innitesime Diciamo che la successionefx ng e innitesimaseper ogni" 2R + la disuguaglianzajx nj < "e vera denitivamente. Locuzioni equivalenti: fx ng converge a 0, oppureha limite 0.In simboli:lim n!+1x n= 0oppure x n! 0 pern!+1. "si legge "tende a"Interpretazione graca? Osservazione fx ng e innitesima se e solo sefjx njg e innitesima.8 Esempi La successione costantex n 0 e innitesima. Le successioni 1n  , 1n  , (1)nn  ef10 n gsono innitesime. Le successioni n1n  e 3n+ 12 n non sono innitesime.9 Successioni convergenti Siafx ng una successione e siax2R.Diciamo che fx ng converge axsela successionefx n xge innitesima.Locuzione equivalente: fx ng ha limitex.In simboli:lim n!+1x n= xoppurex n! xpern!+1. EsempiLa successione costantex n xconverge ax. La successione n1n  converge a 1 .10 Osservazione Esplicitando la denizione, riconosciamo chefx ng converge ax se e solo se vale una delle seguenti aermazioni, tra loro equivalenti: per ogni"2R +si ha jx n xj< "denitivamente; per ogni"2R +si ha x" Me vera denitivamente. Locuzione equivalente: fx ng ha limite +1.In simboli:lim n!+1x n= + 1oppurex n! +1pern!+1.Diciamo che la successione fx ng diverge negativamenteseper ogniM 2R+ la disuguaglianza x n< Me vera denitivamente. Locuzione equivalente: fx ng ha limite1.In simboli:lim n!+1x n= 1oppurex n! 1 pern!+1.Interpretazione graca? 13 Esempi La successionef10n gdiverge positivamente. La successionef10n gdiverge negativamente. La successione n+ 1n  non diverge positivamente.14 Successioni regolari Una successione si diceregolarese econvergente oppure divergente.Locuzione equivalente:ha limite inR .Una successionenon regolaresi diceirregolareoindeterminata. Non si devono confondere le aermazioni \ fx ng ha limite" e \fx ng e limitata"! Teorema (limiti e limitatezza)fx ng ha limite inR=) fx ng e limitataf x ng ha limite +1= ) fx ng e illimitata superiormente (e limitata inferiormente)f x ng ha limite1= ) fx ng e illimitata inferiormente (e limitata superiormente)Le implicazioni inverse non sono vere.Esempi? 15 Teorema (regolarita delle successioni monotone) 1 Sia fx ng una successionecrescente. Allora: fx ng e regolare e il suo limite coincide con il suo estremo superiore.2 Sia fx ng una successionedecrescente. Allora: fx ng e regolare e il suo limite concide con il suo estremo inferiore.Dimostrazione di1 16 Osservazioni Per le successioni monotone, valgono le implicazioni inverse nel teorema sui limiti e la limitatezza.La monotonia e una condizione suciente ma non necessaria anche una successione sia regolare.Esempio?Il teorema RSM si basa sulla esistenza dell'estremo superiore e pertanto non vale inQ.In particolare, non e detto che una successione monotona e limitata di numeri razionali abbia come limite un numero razionale. Esempio8 < :x 1= 2 xn+1=x n2 + 1x n( n1)17 Limiti e relazione d'ordine Teorema (confronto per successioni) Sianofx ng efy ng due successioniregolari.Se x n y ndenitivamente, alloralim n!+1x n lim n!+1y n.Dimostrazione . . . 18 Teorema (permanenza delle disuguaglianze) Sia fx ng una successioneregolaree siac2R.1 Se x n cdenitivamente, alloralim n!+1x n c.Se x n cdenitivamente, alloralim n!+1x n c.2 Selim n!+1x n< c, allorax n< cdenitivamente.Selim n!+1x n> c, allorax n> cdenitivamente.Dimostrazione . . . Cosa si puo dire se nelle premesse di1 le disuguaglianze sono strette? Cosa si puo dire se nelle premesse di2 valgono le uguaglianze? 19 Corollario (permanenza del segno) Sia fx ng una successioneregolare.1 Se x n 0denitivamente, alloralim n!+1x n 0.Se x n 0denitivamente, alloralim n!+1x n 0.2 Selim n!+1x n< 0, allorax n< 0denitivamente.Selim n!+1x n> 0, allorax n> 0denitivamente.Stesse considerazioni della pagina precedente . . . 20 Teorema (convergenza obbligata) Siano fx ng ,fy ng efz ng tre successioni. Supponiamo che (a)x n y n z ndenitivamente;(b) fx ng efz ng convergono a un medesimo numero`.Allora: fy ng converge a`.Dimostrazione . . . Teorema (divergenza obbligata)Siano fx ng efy ng due successioni tali chex n y ndenitivamente.Allora: Sefx ng diverge positivamente, anchefy ng diverge positivamente. Sefy ng diverge negativamente, anchefx ng diverge negativamente.Dimostrazione . . . per esercizio!21 Limiti e operazioni algebriche Teorema (limiti e inversi) Siafx ng una successione regolare con limitex. fx ng e regolaree ha limite 8 > > < > > : xsex2R 1se x= +1+ 1se x=1 Sex6 = 0, allora 1x n e regolare e ha limite8 > < > :1x se x2R0se x2 f1;+1g22  Sex= 0e fx ng hadenitivamente segno costante,allora  1x n e regolare e ha limite8 < :+ 1sex n> 0denitivamente1se x n< 0denitivamente Sex= 0efx ng nonha denitivamente segno costante,allora  1x n none regolare.23 Teorema (limiti e operazioni) Sianofx ng efy ng due successioni regolari con rispettivi limitixey.S1 Se x2Rey2R, allorafx n+ y ng converge ax+y.Verica . . . S2 Se x= +1ey2R[ f+1g, allorafx n+ y ng diverge positivamente.S3 Se x=1ey2R[ f1g, allorafx n+ y ng diverge negativamente.S? Se le due successioni divergonocon segno opposto, per determinare il comportamento della successione somma sono necessarie informazioni aggiuntive.(forma di indecisione) Regole sulla dierenza? Si ricavano a partire da quelle sulla somma e sull'opposto . . . 24 P1 Se x2Rey2R, allorafx n
y ng converge ax
y.P2 Se x= +1ey6 = 0, allorafx n
y ng diverge con \stesso segno diy".P3 Se x=1ey6 = 0, allorafx n
y ng diverge con \segno opposto diy".P? Se una successione diverge e l'altra e innitesima, per determinare il comportamento della successione prodotto sono necessarie informazioni aggiuntive.(forma di indecisione) Regole sul rapporto? Si ricavano a partire da quelle sul prodotto e sul reciproco . . . 25 Esempio (progressione geometrica) Siaq2Re siafx ng la progressione geometrica di ragioneq.Se q>1 ,fx ng e regolare e si ha lim n!+1x n=8 > > < > > :0 se 1 0 , oppure supx n< 0 , efy ng diverge, allorafx n
y ng diverge.Esempi . . . 28 G R A F I C I 29 Interpretazione graca 30 Interpretazione graca 31 Interpretazione graca 32 Interpretazione graca 33 Interpretazione graca 34 Interpretazione graca 35