Informatica - Analisi matematica

04. Continuità e limiti di funzioni

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a.a. 2017/2018 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A{L) Continuita e limiti di funzioni Nota: questoledierisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione. Funzioni continue in un punto e in un insieme SianoDR,f:D!R,x2D.Diciamo che fecontinua inxseper ogni successionefx ng di elementi diD, che converge ax, la successioneff(x n) gconverge af(x)." successione trasformata difx ng tramitefDiciamo che fediscontinua inxse la condizione precedente non e vericata,cioe seesiste almeno una successione di elementi di D, convergente ax, tale che la successione trasformata non converga af(x).1 Osservazioni L'insieme delle successioni di elementi diDche convergono ax e non vuoto.Esempi?Le nozioni di continuita e discontinuita in xhanno senso soltanto se xe nel dominio dif.La funzione reciproco NON e discontinua in x= 0 !! Esempi La funzionex2R7!3x+ 1 e continua inx= 0 .La funzione segno e discontinua in x= 0 .2 Osservazioni (carattere locale della continuita) Sefe continua inx, lo e anche la restrizione difa qualsiasi insieme che contengax.Se esiste r2R +tale che le funzioni fegsiano uguali in]xr;x+r[, allorafe continua inxse e solo sege continua inx.Terminologia ]xr;x+r[, conx2Rer2R +:intorno di x] a;+1[, cona2R:intorno di +1] 1;a[, cona2R:intorno di13 Teorema (caratterizzazione della continuita) SianoDR,f:D!R, x2D.Le seguenti aermazioni sono equivalenti: (a)fe continua in x;(b)per ogni "2R +esiste 2R +tale che per ogni x2D, con jx xj< , si hajf(x)f( x)j< ";(c)per ogni intorno Vdif( x) esiste un intornoUdi xtale che f(D\U)V.Dimostrazione . . . 4 Sia AD. Diciamo chefecontinua inAse e continua in ogni punto diA.Esempi (funzioni modello) Le funzioni costanti, la funzione identica, la funzione opposto, la funzione reciproco e la funzione valore assoluto sono continue nei rispettivi domini.La funzione segno e continua in R .La funzione parte intera inferiore e la funzione mantissa sono continue inRnZ.5 Come ottenere funzioni continue da funzioni continue 1 Continuita e operazioni algebriche La somma, la dierenza, il prodotto, la combinazione lineare, il reciproco, il rapporto di funzioni continue sono funzioni continue nei rispettivi domini.Segue dalle regole algebriche per successioni convergenti . . . 2 Continuita e composizione funzionale La funzione composta di funzioni, ciascuna continua nel rispettivo dominio, e continua nel proprio dominio.Verica immediata . . . 3 Continuita e inversione funzionale La funzione inversa di una funzione invertibile, denita e continua in un intervallo, e continua nel proprio dominio.Dimostrazione piu complessa, la omettiamo.Osservazione Se l'insieme di denizionenone un intervallo, non e detto che la funzione inversa sia continua. Esempio . . .6 Alcune proprieta globali delle funzioni continue Teorema (degli zeri, o di Bolzano) SiaDRunintervalloe siaf:D!Runa funzionecontinua.Se esistono a;b2Dtali chef(a)
f(b)0) ax y =a xa ylog a xy  = loga( x)log a( y)(x;y>0) a x =1a xlog a 1x  =log a( x)(x>0) (ax )y =ax y loga( xy ) =ylog a( x)(x>0;y2R) ("x;y2R)41 Alcune basi signicative a= 10 a= 2 a=enumero di Neperoocostante di Eulero,che si denisce comelimite della successione  1 +1n  n (limitata e strettamente crescente)Nota: ee un numeroirrazionale.Notazioni Log:= log10log:= log 2ln:= log eexp( x):= exCambiamento di base Per ognia;b2R +, a;b6 = 1 : bx =alog a( b)x logb( x) =log a( x)log a( b)
42 Funzioni circolari Preliminari: equazione della circonferenza unitaria in un sistema di riferimento corrispondenza tra ]0;2] e la circonferenza unitariaC.Per t2]0;2] denotiamo conP til corrispondente punto di C.La funzione2 -periodicache prolunga aRla funzione t2]0;2]7!ordinata diP t si chiamafunzione seno.Il valore di tale funzione in un elemento tdel proprio dominio si denota consin(t). La funzione2-periodicache prolunga aRla funzione t2]0;2]7!ascissa diP t si chiamafunzione coseno.Il valore di tale funzione in un elemento tdel proprio dominio si denota concos(t).Esempi . . . 43 Osservazioni Per ognit2R:sin(t)2 + cos(t)2 = 1. Per ognit2R:cos(t) = sin t+2  .Conseguenza: i graci di seno e coseno coincidono a meno di una traslazione orizzontale.seno coseno 44 Proprieta Limitatezza Per ognit2R:1sin(t)1 ,1cos(t)1 . Simmetria La funzione seno edispari; la funzione coseno epari. Monotonia, zeri e segno. . . Limiti agli estremi del dominio. . .45 La funzione t2Rnn 2 + kjk2Zo 7!sin( t)cos( t)=:tan( t) si chiamafunzione tangente.Interpretazione geometrica . . . ProprietaLa funzione tangente eperiodica di periodo minimo. La funzione tangente edispari. Monotonia, zeri e segno . . . Limiti signicativi . . .46 Proposizione Le funzioni seno, coseno e tangente sonocontinuenei rispettivi domini. Verica . . . Corollario L'immagine delle funzioni seno e coseno e [1;1] .L'immagine della funzione tangente e R.47 La funzionearcosenoe la funzione inversa dellarestrizione della funzione seno all'intervalloh 2 ; 2 i ;il valore di tale funzione in un elemento t del proprio dominio si denota conarcsin(t).Proprieta dominio = [1;1] ; immagine =h 2 ; 2 i continua in [1;1] dispari strettamente crescente48 La funzionearcocosenoe la funzione inversa dellarestrizione della funzione coseno all'intervallo [0; ];il valore di tale funzione in un elementotdel proprio dominio si denota conarccos(t).Proprieta dominio = [1;1] ; immagine = [0; ] continua in [1;1] non simmetrica strettamente decrescente49 La funzionearcotangentee la funzione inversa dellarestrizione della funzione tangente all'intervalloi 2 ; 2 h ;il valore di tale funzione in un elementotdel proprio dominio si denota conarctan(t).Proprieta dominio =R; immagine =i 2 ; 2 h continua inR dispari strettamente crescente limiti signicativi . . .50 Osservazione Le funzioni arcoseno e arcocoseno non vanno confuse con le funzioni reciprochedelle funzioni seno e coseno, che sono rispettivamente chiamatecosecanteesecante.La funzionecotangentee denita come la funzione rapporto della funzione coseno e della funzione seno. E la funzione reciproca della funzione tangente?Esercizio Tracciare i graci di cosecante, secante e cotangente.Abbiamo completato il \catalogo" delle funzioni elementari. 51 Esempi (di applicazione del teorema sul limite della funzione composta) lim x!2arctan x+ 1j x2jlim x!+1cos 3x 2 1lim x!3sin bxc+ 3x 2 + 1lim x!2+ln x2 4x 2 + 1Esercizio Determinare gli asintoti orizzontali e verticali delle seguenti funzioni: f(x) =ex +e1 =x f(x) =ex +e 1=x2 f(x) = ln x2 1x + 3 f(x) = arctan x+ 1x 2 f(x) =xsin 3x5x 2 + 2x+ 2 ???52 Equivalenza asintotica Sia x2R . Sianofegdue funzioni tali che la funzione rapportofg sia denita vicino a x.Se lim x! xf (x)g (x)= 1 ;diciamo che feasintoticamente equivalente agperxche tende a xe scriviamo f(x)g(x) perx! x.53 Osservazioni La relazionee una relazione diequivalenza. fegsono asintoticamente equivalenti perx! xse e solo se f(x) =g(x)h(x) dovehe una funzione che tende a1perx! x. Sefegsono asintoticamente equivalenti perx! x, allora sonoentrambe non regolari oppure entrambe regolariperx! x; in quest'ultimo caso,hanno lo stesso limiteperx! x.Vale il viceversa?No!  Sec2R ,f(x)cse e solo sef(x)!c(perx! x).54 Esempio (da ricordare) Unacombinazione lineare di potenze dixcon esponente positivo (brevemente:funzione algebrica) e asintoticamente equivalente al monomio con esponentemaggioreperx! 1, al monomio con esponenteminoreperx!0 .Verica . . . Esempi2x4 x3 + 3x2 8 < :2 x4 perx! 13 x2per x!0 3x17 =4 + 2x3 8 < :3 x17 =4 perx!+12 x3per x!0+Parte principale . . . 55 Esempi (da ricordare) Perx!0, le funzioniseno,arcoseno,tangente,arcotangente, e le funzionix7!ln(1 +x),x7!ex 1sono asintoticamente equivalenti alla funzioneidentica.(E quindi tra loro)Verica . . .Parte principale? 56 Proprieta (prodotti e rapporti) Sef 1( x)f 2( x) eg 1( x)g 2( x) perx! x, allora: f1( x)g 1( x)f 2( x)g 2( x)f 1( x)g 1( x) f 2( x)g 2( x) perx! x.Non vale per somme e dierenze! Esempio . . . Esempi2 x4 x3 + 3x23 x17 =4 + 2x3x !+1x!0+ ( x4 2x3 ) (5x2 =5 + 2x2 )(3 x5 +3 px 2 ) (3x1)x ! 1x!0 ( ex 1) sin(x)2 x2 4x3x !057 Proprieta (composizione funzionale) Sianof;g;htre funzioni e sia x2R . Supponiamo: h(x)! yperx! x;se  y2R,h(x)6 = yvicino a x; f(y)g(y) pery! y.Allora: f(h(x))g(h(x))perx! x.Non vale componendo \al contrario"! Esempio . . . Esempisin(3x)x!0e3 =px 1x!+1 ln(1 + tan(x2 ))x !0ln 14 xx 4 + 1 x!+1 ( ex 1) sin(3x)ln(1 + tan( x2 ))x !058 Funzioni trascurabili Sia  x2R . Sianofegdue funzioni tali che la funzione rapportofg sia denita vicino a x.Se lim x! xf (x)g (x)= 0 ;diciamo che fe trascurabile rispetto agperxche tende a xe scriviamo f(x) =o(g(x)) perx! x (si legge \feo piccolodig").Perche rascurabile"? Nota: f(x) =o(1)equivale afinnitesima, perx! x.59 Terminologia Siaf(x) =o(g(x))perx! x.Se fegsonoentrambe innitesime, diciamo chefeinnitesimo di ordine superiorerispetto ag.Motivazione? (Equivalentemente: geinnitesimo di ordine inferiorerispetto af.)Se fegsonoentrambe divergenti, diciamo chefeinnito di ordine inferiorerispetto ag.Motivazione? (Equivalentemente: geinnito di ordine superiorerispetto af.) EsempiPerx!0 : 1cos(x) =o(sin(x)) Sianop;q2Rcon 0