Informatica - Analisi matematica

06. Calcolo differenziale

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a.a. 2017/2018 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A{L) Calcolo dierenziale Nota: questoledierisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione. Rapporto incrementale In questo capitolo, salvo avviso contrario:Ae un intervallo oppure l'unione di intervalli disgiunti;  Ae l'insieme deipunti internidiA, cioe i puntidiversi dagli estremi.Sia f:A!R. Per ognix 1; x 22 A, conx 16 =x 2, chiamiamorapporto incrementale diftrax 1e x 2il numero reale f(x 2) f(x 1)x 2 x 1
Osservazione f(x 2) f(x 1)e lavariazione assolutadella grandezza espressa da f;f (x 2) f(x 1)x 2 x 1e lavariazione mediadella grandezza espressa da f.Signicato geometrico? 1 Derivata e derivabilita in un punto Siaf:A!R. Fissatox2A, consideriamo la funzione Rf; x:= x2An f xg 7!f (x)f( x)x  x che chiamiamofunzione rapporto incrementale difin x.Se esiste, illimite di R f; x( x) perxche tende a xsi chiamaderivata difin xe si denota conf0 ( x). In simboli: f0 ( x):= lim x! xf (x)f( x)x  x
variazione istantaneadella grandezza espressa dafNotazioni alternative: dfdx (  x) , Df( x)Diciamo che federivabile in xsela derivata difin xesiste ed e un numero reale. 2 Esempi Stabilire se le seguenti funzioni sono derivabili nei punti indicati: f(x) =x2  x= 1 f(x) =3 px  x= 0 f(x) =8 < :x sin 1x  perx6 = 0 0 perx= 0 x= 03 Funzione derivata Siaf:A!R. La funzione che aognix2Ain cuife derivabilefa corrispondere il numerof0 (x)si chiamafunzione derivata (prima)dife si denota conf0 (oppureDf).Se f0 e denita inA0 A, diciamo chefederivabile inA0 .4 Derivate delle funzioni elementari { I Ogni funzione costantef(x)c(c2R) e derivabile inR conf0 (x)0. La funzione identicaf(x) =xe derivabile inRconf0 (x)1. La funzione anef(x) =a x+be derivabile inRconf0 (x)a. La funzione esponenzialef(x) =ex e derivabile inRconf0 (x) =ex . La funzionesenoe derivabile inRconsin0 (x) = cos(x). La funzione valore assolutof(x) =jxje derivabile inR con f0 (x) = sign(x); non e derivabile inx= 0 .Possiamo salvare qualcosa? 5 Derivata sinistra e derivata destra Se esiste, illimite diR f; x( x) perxche tende a xda sinistrasi chiama derivatasinistradifin xe si denota conf0 (  x).In simboli: f0 (  x):= lim x! xf (x)f( x)x  x
Diciamo che federivabile in xda sinistrasela derivatasinistradif in xesiste ed e un numero reale. Se esiste, illimite diR f; x( x) perxche tende a xda destrasi chiama derivatadestradifin xe si denota conf0 +(  x).In simboli: f0 +(  x):= lim x! x+f (x)f( x)x  x
Diciamo che federivabile in xda destrasela derivatadestradif in xesiste ed e un numero reale. 6 Osservazione Se xe un puntointernodel dominio dif: la derivata difin xesiste se e solo se esistono le derivate sinistra e destra in xe tali derivate coincidono; in tal caso: f0 ( x) =f0 (  x) =f0 +(  x); fe derivabile in xse e solo se le derivate sinistra e destra in x esistono, sono numeri realie coincidono. Esempi Perf(x) =p( x1)3 , si haf0 (1) =f0 +(1) = 0 .E f0 (1) ? Perf(x) =jxj, si haf0 (0) = 1 ef0 +(0) = 1 .7 Signicato geometrico della derivata 1 Continuita e derivabilita  Sefe derivabile (da sinistra, da destra) in x, allora e continua (da sinistra, da destra) in x.Verica . . . Sefnon e continua in x, allora non e derivabile in x.Esempi: funzioni parte intera, mantissa, segno.  La continuita in un punto e condizione necessaria ma non suciente per la derivabilita.Esempi?8 2 Retta tangente Siaf:A!R, sia x2Ae supponiamo chefsiaderivabilein x.La retta di equazione y=f( x) +f0 ( x)(x x)si chiamaretta tangente in xal graco dif.Motivazione?Esempio Scrivere l'equazione della retta tangente in x= 1 al graco dif(x) =x2 .3 Signicato geometrico della derivata Se fe derivabile in x,f0 ( x)e ilcoeciente angolare della retta tangente nel punto di coordinate ( x;f( x)) al graco dif.Se fe derivabileda destra/sinistrain x, la derivata destra/sinistra in x e il coeciente angolare della retta tangente nel punto di coordinate( x;f( x)) allaporzione del graco difposta a destra/sinistra della retta di equazionex= x.9 4 Classicazione dei punti di non derivabilita Siano x2A,f:A!Rcontinuaenon derivabilein x. Se la derivata difin xesiste ed einnita, diciamo che xe unpunto a tangente verticale.Esempio? Se xe interno adAe le derivate destra e sinistra difin xesistono e sono diverse tra loro,diciamo che  xe un punto cuspidalese le derivate destra e sinistra sonoentrambe innite, punto angolososealmeno unadi esse enita.Esempi? 10 Come ottenere funzioni derivabili da funzioni derivabili 1 Derivabilita e operazioni algebriche Sefegsono derivabili inxec2R, anche le funzionif+g,fg, f
g,c fsono derivabili inxe si ha (f+g)0 (x) =f0 (x) +g0 (x) (fg)0 (x) =f0 (x)g0 (x) (f
g)0 (x) =f0 (x)
g(x) +f(x)
g0 (x) (c f)0 (x) =c f0 (x)Se g(x)6 = 0, anche le funzioni1g e fg sono derivabili in xe si ha  1g  0 (x) =g 0 (x)g (x)2  fg  0 (x) =f 0 (x)
g(x)f(x)
g0 (x)g (x)2Verica . . .11 Derivate delle funzioni elementari { II La funzione potenza con esponente naturalep n( x) =xn (n2) e derivabile inRconp0 n( x) =n xn 1 =n p n1( x)
.Nota: per n= 1 ritroviamo la derivata della funzione identica. La funzione potenza con esponente negativop n( x) =x n (n1) e derivabile inR conp0 n( x) =n x n1 =n p n1( x)
. Ognifunzione polinomialee derivabile inR. Ognifunzione razionalee derivabile nel proprio dominio.Esempi f(x) = 4x5 + 3x4 x+ 2 f(x) =3 x2 2x+ 1x 3 x12 2 Derivabilita e composizione funzionale Sianofegdue funzioni tali che la funzione compostagfsia denita in un intorno dix.Sia fderivabile inxe siagderivabile inf(x) .Allora: la funzione composta e derivabile in xe si ha( gf)0 (x) =g0 (f(x))
f0 (x)(\chain rule") Motivazione . . .Generalizzazione a piu funzioni . . . Esempi h(x) = (3x2 + 2x+ 1)4 h(x) =ex 3 x2 h(x) = (sin(4x))313 Derivate delle funzioni elementari { III La funzionecosenoe derivabile inRconcos0 (x) =sin(x). La funzionetangentee derivabile inRnn 2 + kjk2Zo con tan0 (x) =1cos( x)2= 1 + tan( x)2 . La funzione esponenziale in base qualsiasif(x) =ax e derivabile inRconf0 (x) = ln(a)ax .14 3 Derivabilita e inversione funzionale Siafla funzioneinversadi una funzionegcontinuain unintervallo.Sia x2dom(f) tale chegsia derivabile inf(x) cong0 (f(x))6 = 0.Allora: fe derivabile inxe si haf0 (x) =1g 0 (f(x))
Motivazione . . . 15 Derivate delle funzioni elementari { IV La funzionelogaritmoe derivabile in ]0;+1[ conln0 (x) =1x
Inoltre: il logaritmo in base ae derivabile conlog0 a( x) =1ln( a)x
La funzione radicer n( x) =x1n e derivabile in dom(r n) n f0g conr0 n( x) =1n x1n 1 ;ha in x= 0un punto a tangente verticale.Funzione potenza con esponente razionale? Con esponente reale? Le funzioniarcosenoearcocosenosono derivabili in ]1;1[ conarcsin0 (x) =1p 1 x2earccos 0 (x) =1p 1 x2;per entrambe, x=1ex= 1sono punti a tangente verticale. L'ultima aermazione sara giusticata piu avanti. La funzionearcotangentee derivabile inRconarctan0 (x) =1 1 + x2
16 Applicazioni del calcolo dierenziale: ricerca di estremi Sia ARun insieme qualsiasi. Sianof:A!Re x2A.Diciamo che  xe unpunto di massimo localeseesiste un intornoU di xtale chexsia punto di massimo per la restrizione difadA\U.Esplicitando: esiste2R +tale che f(x)f( x)per ognix2A\] x; x+[. Diciamo che xe unpunto di minimo localeseesiste un intornoU di xtale chexsia punto di minimo per la restrizione difadA\U.Esplicitando: esiste2R +tale che f(x)f( x)per ognix2A\] x; x+[.17 Osservazioni e terminologia Un punto di massimo/minimo globale e anche di massimo/minimo locale; il viceversa non e vero.Esempi?  xsi dicepunto di estremolocale/globale se epunto di massimo oppure di minimolocale/globale. Ilvaloredifin un punto di estremo si chiamaestremodif. Unicita? Molteplicita?18 Teorema (di Fermat) SiaAun intervallo e siaf:A!R.Sia x2 Aunpunto di estremo localeperfinA.Supponiamo che fsiaderivabilein x.Allora: f0 ( x) = 0.Dimostrazione . . . Interpretazione geometrica . . . Osservazione Se xnon e interno all'intervalloA, non e detto che la derivata in x sia uguale a 0 .Esempi . . .19 Terminologia I punti in cui laderivata dife uguale a 0si chiamanopunti stazionari. Osservazione Dal teorema di Fermat segue che condizione necessaria anche un punto internoal dominio difsia di estremo locale e che il punto siastazionario oppuredi non derivabilitaperf. E anche suciente?No! Piu avanti: test della derivata prima 20 Applicazioni del calcolo dierenziale: teorema del valor medio Teorema (del valor medio di Lagrange)Sia Aun intervallo. Siaf:A!R,continua inAederivabile in A.Allora: per ogni x 1; x 22 A, conx 16 =x 2, esiste  xstrettamente compreso trax 1e x 2tale che f(x 2) f(x 1)x 2 x 1= f0 ( x):Interpretazioni . . . Dimostrazione . . . Osservazione Sefnon e continua negli estremi diA, non e detto che la conclusione del teorema sia vericata.Esempio . . .21 Alcune conseguenze del teorema di Lagrange 1 Derivata in un punto e limite della funzione derivata Siafcontinua in un intornoUdi xe derivabile inUn f xg.Supponiamo che esistalim x! xf 0 (x) =:`2R .Allora: f0 ( x) =`.Nota: mutatis mutandis, vale anche per derivata destra e sinistra.Verica . . .Nota: non si suppone che la funzione derivata sia continua. Esempio Utilizzare la proposizione precedente per vericare chex= 1 ex=1 sono punti a tangente verticale per la funzione arcoseno.22 2 Criterio di monotonia Sia Aun intervallo. Siaf:A!R,continua inAederivabile in A. f0 (x)0 per ognix2 A=)fecrescenteinA. f0 (x)>0 per ognix2 A=)festrettamente crescenteinA. f0 (x)0 per ognix2 A=)fedecrescenteinA. f0 (x)1;  >0)= )perx!+1qualsiasi potenza con esponente positivo e trascurabilerispetto alla funzione esponenziale di basea>1 lim x!+1log a( x)x = 0(  >0)= )perx!+1la funzione logaritmo di base qualsiasi etrascurabile rispetto a qualsiasi potenza con esponente positivo Nota (gerarchia degli inniti) Perx!+1, la funzione esponenziale di basea>1 einnito di ordine superiorerispetto alla funzione potenza con esponente positivo, che a sua volta einnito di ordine superiorerispetto alla funzione logaritmo di base qualsiasi.49 Esempi lim x!+1px ln(x) lim x!+1x 2 3xx 4 + ln(x) lim x!+12 x + 4x3 x x2 + ln(x)Esempio (da ricordare) lim x!0+x  ln(x)( >0)Esercizio Studiare le proprieta asintotiche, di monotonia e di convessita della funzionef(x) =xln(x), e tracciarne un graco approssimativo.50 G R A F I C I D I A L C U N I P O L I N O M I D I T A Y L O R 51 Funzione esponenziale: f(x) =ex ,x 0= 052 Funzione esponenziale: f(x) =ex ,x 0= 0T 0;0( x) = 1 53 Funzione esponenziale: f(x) =ex ,x 0= 0T 0;1( x) = 1 +x 54 Funzione esponenziale: f(x) =ex ,x 0= 0T 0;2( x) = 1 +x+x 22 55 Funzione esponenziale: f(x) =ex ,x 0= 0T 0;3( x) = 1 +x+x 22 + x 33! 56 Funzione esponenziale: f(x) =ex ,x 0= 0T 0;4( x) = 1 +x+x 22 + x 33! + x 44! 57 Funzione esponenziale: f(x) =ex ,x 0= 0T 0;5( x) = 1 +x+x 22 + x 33! + x 44! + x 55! 58 Funzione esponenziale: f(x) =ex ,x 0= 0T 0;6( x) = 1 +x+x 22 + x 33! + x 44! + x 55! + x 66! 59 Funzione esponenziale: f(x) =ex ,x 0= 0T 0;7( x) = 1 +x+x 22 + x 33! + x 44! + x 55! + x 66! + x 77! 60 Funzione esponenziale: f(x) =ex ,x 0= 0T 0;9( x) = 1 +x+x 22 + x 33! + x 44! + x 55! +


+x 99! 61 Funzione esponenziale: f(x) =ex ,x 0= 0T 0;12( x) = 1 +x+x 22 + x 33! + x 44! + x 55! +


+x 1212! 62 Funzione seno: f(x) = sin(x) ,x 0= 063 Funzione seno: f(x) = sin(x) ,x 0= 0T 0;0( x) = 0 64 Funzione seno: f(x) = sin(x) ,x 0= 0T 0;1( x) =T 0;2( x) =x 65 Funzione seno: f(x) = sin(x) ,x 0= 0T 0;3( x) =T 0;4( x) =xx 33! 66 Funzione seno: f(x) = sin(x) ,x 0= 0T 0;5( x) =T 0;6( x) =xx 33! + x 55! 67 Funzione seno: f(x) = sin(x) ,x 0= 0T 0;7( x) =T 0;8( x) =xx 33! + x 55! x 77! 68 Funzione seno: f(x) = sin(x) ,x 0= 0T 0;17( x) =T 0;18( x) =xx 33! +


+x 1717! 69 Funzione seno: f(x) = sin(x) ,x 0= 0T 0;27( x) =T 0;28( x) =xx 33! +


x 2727! 70 Funzione seno: f(x) = sin(x) ,x 0= 0T 0;33( x) =T 0;34( x) =xx 33! +


+x 3333! 71 Funzione seno: f(x) = sin(x) ,x 0= 0T 0;35( x) =T 0;36( x) =xx 33! +


x 3535! 72 Funzione seno: f(x) = sin(x) ,x 0= 0T 0;39( x) =T 0;40( x) =xx 33! +


x 3939! 73 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 074 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0T 0;0( x) = 0 75 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0T 0;1( x) =x 76 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0T 0;2( x) =xx 22 77 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0T 0;3( x) =xx 22 + x 33 78 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0T 0;4( x) =xx 22 + x 33 x 44 79 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0T 0;5( x) =xx 22 + x 33 x 44 + x 55 80 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0T 0;6( x) =xx 22 + x 33 x 44 + x 55 x 66 81 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0T 0;9( x) =xx 22 + x 33 x 44 +


+x 99 82 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0T 0;12( x) =xx 22 + x 33 x 44 +


x 1212 83 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0T 0;17( x) =xx 22 + x 33 x 44 +


+x 1717 84 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0T 0;26( x) =xx 22 + x 33 x 44 +


x 2626 85 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0T 0;33( x) =xx 22 + x 33 x 44 +


+x 3333 86 Funzione logaritmo: f(x) = ln(1 +x) ,x 0= 0Cosa succede per x= 1 ?87