Informatica - Analisi matematica

07. Dimostrazioni calcolo differenziale

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Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica (A-L) { a.a. 2017/2018 Teorema di Fermat SiaAun intervallo e siaf:A!R. Sia x2 Aun punto di estremo locale perfinA. Supponiamo chefsia derivabile in x. Allora:f0 (x) = 0 . Dimostrazione Comincio con il ricordare che, per denizione,f0 (x) e il limite perxche tende a xdella funzione rapporto incrementale difin x, la quale e denita ponendo Rf ; x( x) =f (x)f(x)x  xper ogni x2An f xg. Per ipotesi,fe derivabile in x, quindif0 (x) e un numero reale. Inoltre, siccome xe un punto interno all'intervalloA,f0 (x) coincide con i limiti unilateri diR f ; x( x) perxche tende a x. In simboli: lim x! xR f ; x( x) =f0 (x) = lim x! x+R f ; x( x):(1) Suppongo che xsia un punto di massimo locale perfinA. Per denizione, esiste2R +tale che f(x)f(x) per ognix2A\]x; x+[ . (2) Siccome xe interno all'intervalloA, gli insiemiA\]x; x[ eA\]x ; x+[ sono entrambi non vuoti; posso quindi considerare elementi di entrambi. Osservo che, per ognix2A\]x; x[ , il rapporto incrementaleR f ; x( x) e maggiore o uguale a 0 , perche il numeratoref(x)f(x) e minore o uguale a 0 per (2) mentre, ovviamente, il denominatore x xe minore di 0 . Passando al limite perxche tende a xda sinistra, e applicando il teorema della permanenza del segno, ottengo limx! xR f ; x( x)0 ; per la prima uguaglianza in (1), deduco f0 (x)0 . Per ognix2A\]x ; x+[ , il rapporto incrementaleR f ; x( x) e minore o uguale a 0 , perche il numeratoref(x)f(x) e minore o uguale a 0 per (2) mentre, ovviamente, il denominatore x xe maggiore di 0 . Passando al limite perxche tende a xda destra, e applicando il teorema della permanenza del segno, ottengo limx! x+R f ; x( x)0 ; per la seconda uguaglianza in (1), deduco f0 (x)0 . Per la proprieta antisimmetrica della relazione d'ordine, ottengof0 (x) = 0 . Supponendo che xsia un punto di minimo locale perfinA, la tesi si dimostra con analogo ragionamento. Teorema del valor medio (di Lagrange) SiaAun intervallo. Siaf:A!R, continua inAe derivabile in A. Allora: per ognix 1; x 22 A, conx 16 =x 2, esiste  xstrettamente compreso trax 1e x 2tale che f0 (x) =f (x 2) f(x 1)x 2 x 1: Dimostrazione Sianox 1; x 22 A, conx 16 =x 2. Pongo m:=f (x 2) f(x 1)x 2 x 1: Denoto conXl'intervallo chiuso di estremix 1e x 2; dato che Ae un intervallo,Xe contenuto inA. La tesi da dimostrare e:esiste xpunto interno diXtale chef0 (x) =m. Considero la funzioneg:X!Rdenita ponendo g(x) =f(x 1) + m(xx 1) per ogni x2X. Osservo chege la restrizione aXdi una funzione ane; come tale, e derivabile per ognix2X con derivatag0 (x) =m. Osservo inoltre cheg(x 1) = f(x 1) + m(x 1 x 1) = f(x 1) e g(x 2) = f(x 1) + m(x 2 x 1) = f(x 1) +f (x 2) f(x 1)x 2 x 1( x 2 x 1) = f(x 2) : Considero ora la funzioneh:X!Rdenita ponendo h(x) =f(x)g(x) per ognix2X. Evidentemente,h(x 1) = 0 e h(x 2) = 0 . Osservo che he continua inXe derivabile in X, in quanto dierenza difeg, che lo sono; inoltre,h0 (x) =f0 (x)mper ognix2 X. Posso allora riscrivere la tesi da dimostrare cos:esiste xpunto interno diXtale cheh0 (x) = 0. Per il teorema di Weierstrass, esistonox0 ; x00 2Xtali cheh(x0 ) = min Xh eh(x00 ) = max Xh . Distinguo due casi. Primo caso:h(x0 ) =h(x00 ) , che equivale a dire chehe costante. Ma allora la derivata dihe uguale a 0 in tutti i punti dell'intervalloXe la tesi e dimostrata. Secondo caso:h(x0 )6 =h(x00 ) . Siccome negli estremi diXla funzionehassume lo stesso valore, almeno uno dei puntix0 ex00 deve essere diverso dagli estremi diX, cioe interno all'intervalloX. Per il teorema di Fermat, in questo punto la derivata dihe uguale a 0 . La tesi e dimostrata.