Informatica - Analisi matematica

08. Calcolo integrale

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a.a. 2017/2018 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A{L) Calcolo integrale Nota: questoledierisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione. Suddivisioni di un intervallo Unasuddivisione dell'intervallo[a;b] e un insieme del tipo = x0; x 1; : : : ; x n cona=x 0< x 1<


> < > > :f 1( x) sex2[a;c[un qualsiasi valorese x=cf 2( x)se x2]c;b]e integrabile in [a,b]e Z [a;b]f (x)dx=Z [a;c]f 1( x)dx+Z [c;b]f 2( x)dx:7 Esempio La funzione denita ponendof(x) =8 > > < > > :1 xsex2 e integrabile in ogni intervallo [a;b] . Nota: il valore nei punti di raccordo e irrilevante. 8 Integrali e aree Siafuna funzione integrabile in [a;b]non negativa.Laregione piana compresatra il graco di fe l'asse delle ascisse si chiamarettangoloideotrapezoidesotteso al graco dif.Poniamo area del rettangoloide sotteso al graco dif:=Z [a;b]f (x)dxInterpretazione geometrica dell'integrale Motivazione. . . Sefe una funzione integrabile in [a;b] disegno qualsiasi, poniamo area della regione pianacompresa tra il graco dife l'asse delle ascisse:=Z [a;b]j f(x)jdxMotivazione. . . 9 Se f;gsono funzioni integrabili in [a;b] , poniamo area della regione pianacompresa tra il gracodife il graco dig:= Z [a;b]j f(x)g(x)jdxMotivazione. . . 10 Media integrale Siaf: [a;b]!Runa funzioneintegrabile. Il numero Media(f):=1b aZ [a;b]f (x)dx si chiamamedia integraledifin [a;b] . Proprieta della media integrale1 inf fMedia(f)supf;2 se fecontinuain [a;b] , allora esiste x2[a;b] tale che f( x) = Media(f):Interpretazione geometrica? Verica . . . 11 Proprieta dell'integrale di Riemann 1 Monotonia Sianof;gfunzioni integrabili in [a;b] . fgin [a;b] =)Z [a;b]f (x)dxZ [a;b]g (x)dx f0 in [a;b] =)Z [a;b]f (x)dx0     Z [a;b]f (x)dx    Z [a;b]j f(x)jdx(disuguaglianza triangolare)" fintegrabile =) jfjintegrabile12 2 Linearita Sianof;gfunzioni integrabili in [a;b] . Per ogni; 2R, la funzionef+ge integrabile in [a;b] e Z [a;b] f(x) +g(x)
dx=Z [a;b]f (x)dx+Z [a;b]g (x)dx:3 Additivita Siafintegrabile in [a;b] . Sec2[a;b] , allorafe integrabile in [a;c] e in [c;b] e Z [a;b]f (x)dx=Z [a;c]f (x)dx+Z [c;b]f (x)dx: 13 Integrale denito Siaf:A!RconARintervalloqualsiasi.Diciamo che felocalmente integrabile inAse eintegrabile in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto inA. Siaflocalmente integrabile nell'intervalloAe sianoa;b2A.L'integrale denito di primo estremo ae secondo estremobe il numero Zb af (x)dx:=8 > > > > > > < > > > > > > :Z [a;b]f (x)dxseab14 Osservazione Le proprieta di linearita e di additivita si estendono agli integrali deniti.Precisamente: sef;g:A!Rsono funzioni localmente integrabili inAe; 2R, alloraper ognia;b;c2Asi ha Zb a f(x) +g(x)
dx=Z b af (x)dx+Z b ag (x)dxZ b af (x)dx=Z c af (x)dx+Z b cf (x)dx Tutto bello, ma ... come si calcolanogli integrali? 15 Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale 1 Primitive Sia Aunintervalloe sianof;g:A!R.Diciamo che ge unaprimitiva(oanti-derivata) difinAse ge derivabile inA g0 (x) =f(x)per ognix2A.Esempi . . . Osservazioni gprimitiva difinA,c2R=)g+cprimitiva difinA g;hprimitive difinA=)esistec2Rtale cheh=g+c Non e detto che una funzione abbia primitive.Esempio . . .16 2 Funzione integrale Sia funa funzione localmente integrabile nell'intervalloAe siaa2A.Deniamo F:A!Rponendo F(x):=Z x af (t)dt per ognix2A.La funzione Fsi chiamafunzione integrale difdi punto inizialea. Esempio Sefe la funzione di costante valorec, alloraF(x) =c(xa) per ognix2R.17 3 Teorema fondamentale del calcolo integrale Siafuna funzionecontinuanell'intervalloA.Sia a2Ae siaFla funzione integrale difdi punto inizialea.Allora: Fe una primitiva dif.Dimostrazione . . . Corollario Ogni funzionecontinuain unintervalloammette primitive.4 Formula fondamentale del calcolo integrale Siafuna funzionecontinuanell'intervalloA. Siagunaqualsiasi primitivadifinA.Per ogni a;b2A:Z b af (x)dx=g(b)g(a):Dimostrazione . . . 18 Esempi Calcolare l'integrale della funzione coseno inh 0;2 i . Calcolare l'area del rettangoloide sotteso al graco della funzione x2[1;3]7!x2 .vedere . . .  Calcolare la media integrale della funzionex2[2;3]7!x2 .Come si fa con funzioni piu complicate? 19 Ricerca di primitive L'insieme di tutte le primitive difsi chiamaintegrale indenitodif e si denota con il simboloZ f(x)dx. Integrali indeniti immediatiZ 1dx= x+cjc2R = x+cZ x dx=x  +1 + 1+ c(6 =1)Z 1x dx =ln jxj+cZ ex dx=e x +cZ ax dx=a xln( a)+ cZ sinh(x)dx=cosh( x) +cZ cosh(x)dx=sinh( x) +c(segue) 20 Z sin(x)dx= cos(x) +cZ cos(x)dx=sin( x) +cZ 1p 1 x2dx =arcsin( x) +cZ 11 + x2dx =arctan( x) +cZ 1cos( x)2dx= Z 1 + tan(x)2
dx= tan( x) +c21 Regole di integrazione 1 Integrazione per scomposizione Z c1f 1( x) +c 2f 2( x)
dx=c 1Z f1( x)dx+c 2Z f2( x)dxEsempi x3 4x2 3ex 2x4 + 5 4x 3+2x 3 cos(x)22 2 Integrazione per sostituzione Z f('(x))'0 (x)dx=Z f(t)dt jt='(x)Esempi esin( x) cos(x)(arcsin( x))2p 1 x21x 3 pln( x) + 2e xe 2 x + 1 e 3x + cos(2x)eax cos(ax)sin(ax) 1x 2 +a2 ' 0 (x)' (x)23 3 Integrazione per parti Z f(x)g0 (x)dx=f(x)g(x)Z f0 (x)g(x)dx:Esempi x e x xsin(2x) (x2 +x) cos(3x) e2 x sin(x) arctan(x) arcsin(x) ln(x) (x2 + 3x) ln(x)24 4 Integrazione di alcune funzioni razionali Consideriamo funzioni razionali del tipo A( a x+b)n( a6 = 0;n2N )A x +Ba x 2 +b x+c( a6 = 0;b2 4ac