Energy Engineering - Analisi e geometria 1

First partial exam

Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4TotaleTeoria Analisi e Geometria 1Docente:Politecnico di Milano Prima prova in itinere.Ingegneria Industriale 15 novembre 2010 Compito A Cognome:Nome:Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 punti; Es.2: 12 punti; Es.3: 7 punti; Es.4: 5 punti. Istruzioni:Riportare le soluzioni nel le casel le. Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Calcolare, al variare del parametro reale, il valore del seguente limite: lim x!0+(1 + x)1 =2 ex= 2[ln(1 + x)] : SOLUZIONE Si noti che, utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, possiamo dedurre le relazioni (1 +x)1 =2 e x=2 = 1 +x2 x 28 + o(x2 ) 1 +x2 + x 28  +o(x2 ) =x 24 + o(x2 ) e[ln(1 +x)] =x [1 +o(1)] perx!0+ . Di conseguenza, tornando al limite, abbiamo lim x!0+(1 + x)1 =2 ex= 2ln(1 + x )= 14 lim x!0+x 2  =8 > > < > > :0 ;se 2: 2. Studiare la funzione f(x) =x 2 ex1 + e x: Riportare in tabella i risultati e il graco. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio.Dominio di f:D(f) =R. La funzione non presenta simmetrie evidenti.Segno di f:f(x) > < > > :0 + ;se 2: 2. Studiare la funzione f(x) =x + 2 e x1 + e x: Riportare in tabella i risultati e il graco. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio.Dominio di f:D(f) =R. La funzione non presenta simmetrie evidenti.Segno di f:f(x)>0 per ognix2R.Limiti agli estremi : lim x!+1f (x) = +1, lim x!1f (x) = 2 .Eventuali asintoti :y= 2 asintoto orizzontale perx! 1,y=xasintoto obliquo perx!+1. Il graco incontra gli asintoti nel punto (2;2) . In particolare,f(x)xse e solo sex2 , ossia il graco sta sotto l'asintoto obliquo perx >2 e sta sopra perx 0 .Studio della convessita e della concavita : il graco presenta una concavita verso l'alto per 1 x 2e presenta una concavita verso il basso per x 1e x 2. Ci sono due essi in corrispondenza dix= 1e x= 2.Graco di f: vedi pagina successiva.  Graco dify x 212 y =xy = 2 3. Dati i numeri complessi z1= 7 cos5 12 + isin5 12  ez 2=17  cos11 12 + isin11 12  (a) scrivere in forma algebricaw=z 1z 2. (b) Scrivere in forma algebrica e disegnare sul piano di Gauss le radici quarte diw. (c) Mostrare chew3 n e un numero reale, per ognin2N. (d) Calcolare, al variare del parametro realeq, il seguente limite: lim n!+1q nw 3 n: Giusticare le risposte, riportando i calcoli. SOLUZIONE(a) Poiche l'argomento (modulo) del prodotto di numeri complessiz 1e z 2e la somma (prodotto) degli argomenti dei due numeriz 1e z 2, si ha w= cos16 12 + isin16 12  = cos4 3 + isin4 3  =12 p3 2 i : (b) Le radici quarte diwsono wk= cos4 =3 + 2k4 + isin4 =3 + 2k4  = cos2 =3 +k2 + isin2 =3 +k2  k= 0;1;2;3: Quindi si ha w0= cos3 + isin3  = 12 +p3 2 i! w1= cos5 6 + isin5 6  = p3 2 + 12 i! w2= cos4 3 + isin4 3  = 12 p3 2 i! w3= cos11 6 + isin11 6  = p3 2 12 i! : Inne, nel piano di Gauss, si hanno i seguenti puntiy x= 35 =64 =311 =61 (c) Usando la formula di De Moivre, si ha w3 n = cos4 3 + isin4 3  3n = (cos 4n+isin 4n) = 12R per ognin2N. (d) Usando il risultato precedente, si ha lim n!+1q nw 3 n= lim n!+1q n =8 > > > > < > > > > :+ 1perq >1 1 perq= 1 0 perjqj 0 .Studio della convessita e della concavita : il graco presenta una concavita verso l'alto perx 1 ex 2e presenta una concavita verso il basso per  1 x 2. Ci sono due essi in corrispondenza dix= 1e x= 2.Graco di f: vedi pagina successiva.  Graco dify x 212 y =xy = 2 3. Dati i numeri complessi z1=17  cos7 12 + isin7 12  ez 2= 14 cos12 + isin12  (a) scrivere in forma algebricaw=z 1z 2. (b) Scrivere in forma algebrica e disegnare sul piano di Gauss le radici quarte diw. (c) Mostrare chew3 n e un numero reale, per ognin2N. (d) Calcolare, al variare del parametro realeq, il seguente limite: lim n!+1q nw 3 n: Giusticare le risposte, riportando i calcoli. SOLUZIONE(a) Poiche l'argomento (modulo) del prodotto di numeri complessiz 1e z 2e la somma (prodotto) degli argomenti dei due numeriz 1e z 2, si ha w= 2 cos8 12 + isin8 12  = 2 cos2 3 + isin2 3  =1 +ip3 : (b) Le radici quarte diwsono wk=4 p2  cos2 =3 + 2k4 + isin2 =3 + 2k4  =4 p2  cos= 3 +k2 + isin= 3 +k2  k= 0;1;2;3: Quindi si ha w0=4 p2  cos6 + isin6  =4 p2 p3 2 + 12 i! w1=4 p2  cos2 3 + isin2 3  =4 p2 12 +p3 2 i! w2=4 p2  cos7 6 + isin7 6  =4 p2 p3 2 12 i! w3=4 p2  cos5 3 + isin5 3  =4 p2 12 p3 2 i! : Inne, nel piano di Gauss, si hanno i seguenti puntiy x= 62 =37 =65 =34 p2 (c) Usando la formula di De Moivre, si ha w3 n = 23 n cos2 3 + isin2 3  3n = 8n (cos 2n+isin 2n) = 8n 2R per ognin2N. (d) Usando il risultato precedente, si ha lim n!+1q nw 3 n= lim n!+1 q8  n =8 > > > > < > > > > :+ 1perq >8 1 perq= 8 0 perjqj0 ef(1) = 22e 0 .Studio della convessita e della concavita : il graco presenta una concavita verso l'alto perx 1 ex 2e presenta una concavita verso il basso per  1 x 2. Ci sono due essi in corrispondenza dix= 1e x= 2.Graco di f: vedi pagina successiva.  Graco dify x 2 1 2y =xy =2 3. Dati i numeri complessi z1=113  cos7 12 + isin7 12  ez 2= 13 cos5 12 + isin5 12  (a) scrivere in forma algebricaw=z 1z 2. (b) Scrivere in forma algebrica e disegnare sul piano di Gauss le radici quarte diw. (c) Mostrare chew3 n e un numero reale, per ognin2N. (d) Calcolare, al variare del parametro realeq, il seguente limite: lim n!+1q nw 3 n: Giusticare le risposte, riportando i calcoli. SOLUZIONE(a) Poiche l'argomento (modulo) del prodotto di numeri complessiz 1e z 2e la somma (prodotto) degli argomenti dei due numeriz 1e z 2, si ha w= cos12 12 + isin12 12  = (cos+isin) =1: (b) Le radici quarte diwsono wk= cos + 2k4 + isin + 2k4  k= 0;1;2;3: Quindi si ha w0= cos4 + isin4  = p2 2 +p2 2 i! w1= cos3 4 + isin3 4  = p2 2 +p2 2 i! w2= cos5 4 + isin5 4  = p2 2 p2 2 i! w3= cos7 4 + isin7 4  = p2 2 p2 2 i! : (c) Usando la formula di De Moivre, si haw3 n = (cos+isin)3 n = (1)n 2R per ognin2N. (d) Usando il risultato precedente, si ha lim n!+1q nw 3 n= lim n!+1( q)n =8 > > > > < > > > > :+ 1perq