Energy Engineering - Analisi e geometria 1

First partial exam

Es. 1Es. 2Es. 3Totale Analisi e Geometria 1 Prima Prova 24 Novembre 2014 Compito ADocente:Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'InformazioneCognome:Nome:Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 10=4+4+2; Es.2: 8=2+2+4; Es.3: 12=2+4+4+2 Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Si consideri la funzionef:Cn f1g !C, f(z) =1 + iziz +i (a) Scrivere in forma algebrica le controimmagini diw= 3 +i(ossia i numeriz2Cper i quali f(z) =w). 85 15 i(b) Scrivere i punti ssi di f(cioe i puntiz2Cper i qualif(z) =z) in forma algebrica. p2 2 (1 i)(c) Scrivere i punti ssi di fin forma trigonometrica.  cos 34 
+isin 34 
Soluzione: (a) Le controimmagini di 3 +isono gliz2Ctali chef(z) = 3 +i, cioe 1 +iziz +i= 3 + i()1 +iz= 3iz+ 3iz1()z= 2 + 3i1 2i() z=85 15 i : (b) e (c)f(z) =z()1 + iziz +i= z()1 +iz=iz2 +iz()1 =iz2 ()z2 =i()z=p i : In forma trigonometrica e algebrica, le radici quadrate dii= cos(32  ) +isin(32  ) sono z1;2=  cos 34 
+isin 34 
 =p2 2 (1 i): 2. Siano fegle funzioni denite su (1;+1) nel modo seguente: f(x) =( x+3 px ) e2 xx (ex 1) lnxg (x) =x (x+ lnx) e3 xx 2 +px e2 x (a) Calcolare: limx!+1f (x).+ 1(b) Calcolare: lim x!+1g (x).+ 1(c) Stabilire se g(x) eo(f(x)), perx!+1.g (x) non eo(f(x)), perx!+1.Soluzione. (a) Perx!+1, valgono le seguenti equivalenze asintotiche: f(x) =( x+3 px ) e2 xx (ex 1) lnx x e2 xx ex lnx e xln xper x!+1 Poiche limx!+1e xln x= + 1, si ha lim x!+1f (x) = +1. (b) Perx!+1, valgono le seguenti equivalenze asintotiche: g(x) =x (x+ lnx) e3 xx 2 +px e2 xx x e3 xp x e2 x xpx ex perx!+1 Poiche limx!+1xpx ex = +1, si ha lim x!+1g (x) = +1. (c) Poiche, perx!+1,f(x)e xln xe g(x)xpx ex , si ha: lim x!+1g (x)f (x)= lim x!+1xpx ex ln xe x= lim x!+1xpx lnx= +1(1) Siccome limx!+1g (x)f (x)6 = 0,g(x) non eo(f(x)), perx!+1. 3. Si consideri la funzione f:R!R, f(x) = (x1)2 ln[(x1)2 ] sex6 = 1 0 sex= 1 (a) Stabilire sefe derivabile inx 0= 1.f e derivabile inx 0= 1 e f0 (1) = 0(b) Trovare i punti di massimo locale di f.x 0= 1(c) Trovare i punti di minimo locale di f.x 1= 1 + e 1=2 ,x 2= 1 e 1=2(d) Disegnare il graco di f. Soluzione.Per ognixinR,f(x) =g(x1), doveg:R!Re la funzione denita nel modo seguente: g(x) = x2 ln(x2 ) sex6 = 0 0 sex= 0 Il graco difsi ottiene da quello digmediante una traslazione. Conviene allora studiareg e dedurne informazioni suf. Ad esempio: la funzionege pari, e quindi il graco difsara simmetrico rispetto alla rettax= 1. La derivabilita difinx 0= 1 equivale alla derivabilita di gin 0. Calcoliamo allora il limite del rapporto incrementale digrelativo al punto 0, perx!0: lim x!0g (x)g(0)x 0= lim x!0x 2 ln(x2 )x = lim x!0x lnx2 = lim x!02 xlnjxj= 0 Concludiamo chege derivabile in 0 eg0 (0) = 0. Quindife derivabile inx 0= 1 e f0 (1) = 0. Poichege derivabile su tuttoR, i punti di massimo locale e di minimo locale digvanno ricercati fra i punti in cui la derivata primag0 si annulla. Sappiamo gia cheg0 (0) = 0; studiando direttamente il segno digvicino a 0, si vede chet 0= 0 e un punto di massimo locale per g. In (0;+1) la derivatag0 (x) = 2x(1 + 2 lnx) si annulla solo int 1= e 1=2 , che e un punto di minimo locale perg. Per simmetria, anchet 2= e 1=2 e un punto di minimo locale perg. Ne segue chex 0= t 0+1 = 1 e l'unico punto di massimo locale di f, mentrex 1= t 1+1 = e 1=2 +1 ex 2= t 2+ 1 = e 1=2 + 1 sono i punti di minimo locale dif.(a) g(x) =x2 ln(x2 ).(b) f(x) =g(x1) = (x1)2 ln[(x1)2 ]. Es. 1Es. 2Es. 3Totale Analisi e Geometria 1 Prima Prova 24 Novembre 2014 Compito BDocente:Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'InformazioneCognome:Nome:Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 10=4+4+2; Es.2: 8=2+2+4; Es.3: 12=2+4+4+2 Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Si consideri la funzionef:Cn f1g !C, f(z) =1 iziz i (a) Scrivere in forma algebrica le controimmagini diw= 2 +i(ossia i numeriz2Cper i quali f(z) =w).3 5 15 i(b) Scrivere i punti ssi di f(cioe i puntiz2Cper i qualif(z) =z) in forma algebrica. p2 2 (1 i)(c) Scrivere i punti ssi di fin forma trigonometrica.  cos 34 
+isin 34 
Soluzione: (a) Le controimmagini di 2 +isono gliz2Ctali chef(z) = 2 +i, cioe 1iziz i= 2 + i()1iz= 2iz2iz+ 1()z=2 i 1 + 3i() z=35 15 i : (b) e (c)f(z) =z()1 iziz i= z()1iz=iz2 iz()1 =iz2 ()z2 =i()z=p i : In forma trigonometrica e algebrica, le radici quadrate dii= cos(32  ) +isin(32  ) sono z1;2=  cos 34 
+isin 34 
 =p2 2 (1 i): 2. Siano fegle funzioni denite su (1;+1) nel modo seguente: f(x) =( x+4 px ) e3 xx (ex 2) lnxg (x) =x (x+ 2 lnx) e4 xx 2 +px e3 x (a) Calcolare: limx!+1f (x).+ 1(b) Calcolare: lim x!+1g (x).+ 1(c) Stabilire se f(x) eo(g(x)), perx!+1.f (x) non eo(g(x)), perx!+1.Soluzione. (a) Perx!+1, valgono le seguenti equivalenze asintotiche: f(x) =( x+4 px ) e3 xx (ex 2) lnx x e3 xx ex lnx e 2 xln xper x!+1 Poiche limx!+1e 2 xln x= + 1, si ha lim x!+1f (x) = +1. (b) Perx!+1, valgono le seguenti equivalenze asintotiche: g(x) =x (x+ 2 lnx) e4 xx 2 +px e3 xx x e4 xp x e3 x xpx ex perx!+1 Poiche limx!+1xpx ex = +1, si ha lim x!+1g (x) = +1. (c) Poiche, perx!+1,f(x)e 2 xln xe g(x)xpx ex , si ha: lim x!+1f (x)g (x)= lim x!+1e 2 xln x1x px ex=e xln x1x px = + 1(2) Siccome limx!+1f (x)g (x)6 = 0,f(x) non eo(g(x)), perx!+1. 3. Si consideri la funzione f:R!R, f(x) = (x1)2 ln[(x1)2 ] sex6 = 1 0 sex= 1 (a) Stabilire sefe derivabile inx 0= 1.f e derivabile inx 0= 1 e f0 (1) = 0(b) Trovare i punti di massimo locale di f.x 1= 1 + e 1=2 ,x 2= 1 e 1=2(c) Trovare i punti di minimo locale di f.x 0= 1(d) Disegnare il graco di f. Soluzione.Per ognixinR,f(x) =g(x1), doveg:R!Re la funzione denita nel modo seguente: g(x) = x2 ln(x2 ) sex6 = 0 0 sex= 0 Il graco difsi ottiene da quello digmediante una traslazione. Conviene allora studiareg e dedurne informazioni suf. Ad esempio: la funzionege pari, e quindi il graco difsara simmetrico rispetto alla rettax= 1. La derivabilita difinx 0= 1 equivale alla derivabilita di gin 0. Calcoliamo allora il limite del rapporto incrementale digrelativo al punto 0, perx!0: lim x!0g (x)g(0)x 0= lim x!0 x2 ln(x2 )x = lim x!0 xlnx2 = lim x!0 2xlnjxj= 0 Concludiamo chege derivabile in 0 eg0 (0) = 0. Quindife derivabile inx 0= 1 e f0 (1) = 0. Poichege derivabile su tuttoR, i punti di massimo locale e di minimo locale digvanno ricercati fra i punti in cui la derivata primag0 si annulla. Sappiamo gia cheg0 (0) = 0; studiando direttamente il segno digvicino a 0, si vede chet 0= 0 e un punto di minimo locale per g. In (0;+1) la derivatag0 (x) =2x(1 + 2 lnx) si annulla solo int 1= e 1=2 , che e un punto di massimo locale perg. Per simmetria, anchet 2= e 1=2 e un punto di massimo locale perg. Ne segue chex 0= t 0+ 1 = 1 e l'unico punto di minimo locale di f, mentrex 1= t 1+ 1 = e 1=2 + 1 ex 2= t 2+ 1 = e 1=2 + 1 sono i punti di massimo locale dif.(a) g(x) =x2 ln(x2 ).(b) f(x) =g(x1) =(x1)2 ln[(x1)2 ]. Es. 1Es. 2Es. 3Totale Analisi e Geometria 1 Prima Prova 24 Novembre 2014 Compito CDocente:Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'InformazioneCognome:Nome:Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 10=4+4+2; Es.2: 8=2+2+4; Es.3: 12=2+4+4+2 Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Si consideri la funzionef:Cn f1g !C, f(z) =1 + iz iz+i (a) Scrivere in forma algebrica le controimmagini diw= 2 +i(ossia i numeriz2Cper i quali f(z) =w).4 5 + 25 i(b) Scrivere i punti ssi di f(cioe i puntiz2Cper i qualif(z) =z) in forma algebrica. p2 2 (1 + i)(c) Scrivere i punti ssi di fin forma trigonometrica.  cos 14 
+isin 14 
Soluzione: (a) Le controimmagini di 2 +isono gliz2Ctali chef(z) = 2 +i, cioe 1 +iz iz+i= 2 + i()1 +iz=2iz+ 2i+z1()z=2 2i1 3i() z=45 + 25 i : (b) e (c)f(z) =z()1 + iz iz+i= z()1 +iz=iz2 +iz() 1 =iz2 ()z2 =i()z=pi : In forma trigonometrica e algebrica, le radici quadrate dii= cos(12  ) +isin(12  ) sono z1;2=  cos 14 
+isin 14 
 =p2 2 (1 + i): 2. Siano fegle funzioni denite su (1;+1) nel modo seguente: f(x) =( x+5 px ) e4 xx (ex 3) lnxg (x) =x (x5 lnx) e5 xx 3 +px ex (a) Calcolare: limx!+1f (x).+ 1(b) Calcolare: lim x!+1g (x).+ 1(c) Stabilire se f(x) eo(g(x)), perx!+1.f (x) eo(g(x)), perx!+1.Soluzione. (a) Perx!+1, valgono le seguenti equivalenze asintotiche: f(x) =( x+5 px ) e4 xx (ex 3) lnx x e4 xx ex lnx e 3 xln xper x!+1 Poiche limx!+1e 3 xln x= + 1, si ha lim x!+1f (x) = +1. (b) Perx!+1, valgono le seguenti equivalenze asintotiche: g(x) =x (x5 lnx) e5 xx 3 +px exx x e5 xp x ex xpx e4 x perx!+1 Poiche limx!+1xpx e4 x = +1, si ha lim x!+1g (x) = +1. (c) Poiche, perx!+1,f(x)e 3 xln xe g(x)xpx e4 x , si ha: lim x!+1f (x)g (x)= lim x!+1e 3 xln x1x px e4 x=1ln x1x px ex= 0 (3) Siccome limx!+1f (x)g (x)= 0, f(x) eo(g(x)), perx!+1. 3. Si consideri la funzione f:R!R, f(x) = (x+ 1)2 ln[(x+ 1)2 ] sex6 =1 0 sex=1 (a) Stabilire sefe derivabile inx 0= 1.f e derivabile inx 0= 1 ef0 (1) = 0(b) Trovare i punti di massimo locale di f.x 0= 1(c) Trovare i punti di minimo locale di f.x 1= 1 +e 1=2 ,x 2= 1e 1=2(d) Disegnare il graco di f. Soluzione.Per ognixinR,f(x) =g(x+ 1), doveg:R!Re la funzione denita nel modo seguente: g(x) = x2 ln(x2 ) sex6 = 0 0 sex= 0 Il graco difsi ottiene da quello digmediante una traslazione. Conviene allora studiareg e dedurne informazioni suf. Ad esempio: la funzionege pari, e quindi il graco difsara simmetrico rispetto alla rettax=1. La derivabilita difinx 0= 1 equivale alla derivabilita digin 0. Calcoliamo allora il limite del rapporto incrementale digrelativo al punto 0, perx!0: lim x!0g (x)g(0)x 0= lim x!0x 2 ln(x2 )x = lim x!0x lnx2 = lim x!02 xlnjxj= 0 Concludiamo chege derivabile in 0 eg0 (0) = 0. Quindife derivabile inx 0= 1 ef0 (1) = 0. Poichege derivabile su tuttoR, i punti di massimo locale e di minimo locale digvanno ricercati fra i punti in cui la derivata primag0 si annulla. Sappiamo gia cheg0 (0) = 0; studiando direttamente il segno digvicino a 0, si vede chet 0= 0 e un punto di massimo locale per g. In (0;+1) la derivatag0 (x) = 2x(1 + 2 lnx) si annulla solo int 1= e 1=2 , che e un punto di minimo locale perg. Per simmetria, anchet 2= e 1=2 e un punto di minimo locale perg. Ne segue chex 0= t 0 1 =1 e l'unico punto di massimo locale dif, mentrex 1= t 1 1 = e 1=2 1 ex 2= t 2 1 =e 1=2 1 sono i punti di minimo locale dif.(a) g(x) =x2 ln(x2 ).(b) f(x) =g(x+ 1) = (x+ 1)2 ln[(x+ 1)2 ]. Es. 1Es. 2Es. 3Totale Analisi e Geometria 1 Prima Prova 24 Novembre 2014 Compito DDocente:Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'InformazioneCognome:Nome:Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 10=4+4+2; Es.2: 8=2+2+4; Es.3: 12=2+4+4+2 Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Si consideri la funzionef:Cn f1g !C, f(z) = 1 +iziz +i (a) Scrivere in forma algebrica le controimmagini diw= 3 +i(ossia i numeriz2Cper i quali f(z) =w). 65 + 35 i(b) Scrivere i punti ssi di f(cioe i puntiz2Cper i qualif(z) =z) in forma algebrica. p2 2 (1 + i)(c) Scrivere i punti ssi di fin forma trigonometrica.  cos 14 
+isin 14 
Soluzione: (a) Le controimmagini di 3 +isono gliz2Ctali chef(z) = 3 +i, cioe 1 +iziz +i= 3 + i() 1 +iz= 3iz+ 3iz1()z=3 i1 2i() z=65 + 35 i : (b) e (c)f(z) =z() 1 +iziz +i= z() 1 +iz=iz2 +iz() 1 =iz2 ()z2 =i()z=pi : In forma trigonometrica, le radici quadrate dii= cos(12  ) +isin(12  ) sono z1;2=  cos 14 
+isin 14 
 =p2 2 (1 + i): 2. Siano fegle funzioni denite su (1;+1) nel modo seguente: f(x) =( x+px ) e5 xx (e3 x 4) lnxg (x) =x (x3 lnx) e6 xx 3 +px ex (a) Calcolare: limx!+1f (x).+ 1(b) Calcolare: lim x!+1g (x).+ 1(c) Stabilire se f(x) eo(g(x)), perx!+1.f (x) eo(g(x)), perx!+1.Soluzione. (a) Perx!+1, valgono le seguenti equivalenze asintotiche: f(x) =( x+px ) e5 xx (e3 x 4) lnx x e5 xx e3 x lnx e 2 xln xper x!+1 Poiche limx!+1e 2 xln x= + 1, si ha lim x!+1f (x) = +1. (b) Perx!+1, valgono le seguenti equivalenze asintotiche: g(x) =x (x3 lnx) e6 xx 3 +px exx x e6 xp x ex xpx e5 x perx!+1 Poiche limx!+1xpx e5 x = +1, si ha lim x!+1g (x) = +1. (c) Poiche, perx!+1,f(x)e 2 xln xe g(x)xpx e5 x , si ha: lim x!+1f (x)g (x)= lim x!+1e 2 xln x1x px e5 x=1ln x1x px e3 x= 0 (4) Siccome limx!+1f (x)g (x)= 0, f(x) eo(g(x)), perx!+1. 3. Si consideri la funzione f:R!R, f(x) = (x+ 1)2 ln[(x+ 1)2 ] sex6 =1 0 sex=1 (a) Stabilire sefe derivabile inx 0= 1.f e derivabile inx 0= 1 ef0 (1) = 0(b) Trovare i punti di massimo locale di f.x 1= 1 +e 1=2 ,x 2= 1e 1=2(c) Trovare i punti di minimo locale di f.x 0= 1(d) Disegnare il graco di f. Soluzione.Per ognixinR,f(x) =g(x+ 1), doveg:R!Re la funzione denita nel modo seguente: g(x) = x2 ln(x2 ) sex6 = 0 0 sex= 0 Il graco difsi ottiene da quello digmediante una traslazione. Conviene allora studiareg e dedurne informazioni suf. Ad esempio: la funzionege pari, e quindi il graco difsara simmetrico rispetto alla rettax=1. La derivabilita difinx 0= 1 equivale alla derivabilita digin 0. Calcoliamo allora il limite del rapporto incrementale digrelativo al punto 0, perx!0: lim x!0g (x)g(0)x 0= lim x!0 x2 ln(x2 )x = lim x!0 xlnx2 = lim x!0 2xlnjxj= 0 Concludiamo chege derivabile in 0 eg0 (0) = 0. Quindife derivabile inx 0= 1 ef0 (1) = 0. Poichege derivabile su tuttoR, i punti di massimo locale e di minimo locale digvanno ricercati fra i punti in cui la derivata primag0 si annulla. Sappiamo gia cheg0 (0) = 0; studiando direttamente il segno digvicino a 0, si vede chet 0= 0 e un punto di massimo locale per g. In (0;+1) la derivatag0 (x) =2x(1 + 2 lnx) si annulla solo int 1= e 1=2 , che e un punto di massimo locale perg. Per simmetria, anchet 2= e 1=2 e un punto di massimo locale perg. Ne segue chex 0= t 0 1 =1 e l'unico punto di minimo locale dif, mentrex 1= t 1 1 =e 1=2 1 ex 2= t 2 1 =e 1=2 1 sono i punti di massimo locale dif.(a) g(x) =x2 ln(x2 ).(b) f(x) =g(x+ 1) =(x+ 1)2 ln[(x+ 1)2 ].