Energy Engineering - Analisi e geometria 1

First partial exam

Es. 1Es. 2Es. 3Teoria:Totale Numero di iscrizione alla prova scritta:Docente:Analisi e Geometria 1 Prima Prova 22 Novembre 2016 Compito FCognome:Nome:Matricola: Punteggi : Es.1: 7; Es.2: 7; Es.3: 10 Teoria: 8, Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli: nel lo spazio sotto il testo e sul retro del foglio. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Esercizio 1. a)Si consideri la seguente equazione nella variabile complessaz: ()z 2 = 2z: Scrivere le soluzioni di () in forma algebrica e rappresentarle sul piano complesso. Soluzioni in forma algebrica:Rappresentazione sul piano :b) Poniamo S=n w2Cjw2 =1 +ip3 o Trovare i numeri complessi che appartengono all'insiemeS, scrivendoli sia in forma algebrica, sia in forma esponenziale. Forma algebrica:Forma esponenziale :Calcoli e motivazioni delle risposte (Si puo scrivere anche sul retro di questo foglio): Soluzioni a.Notiamo subito chez= 0 soluzione di (). Cerchiamo quindi soluzioni non nulle nella forma polare z=(cos#+isin#) ove2(0;+1) e#2[0;2) sono incogniti: Utilizzando la formula di de Moivre, abbiamoz 2 =2 [cos(2#) +isin(2#)]; da cui, tornando all'equazione () 2 [cos(2#) +isin(2#)] = 2[cos(#) +isin(#)]: Possiamo quindi scorporare tale equazione in una equazione per i moduli ed una per gli argomenti8 < : 2 = 2; 2#=#+ 2k; k2Z;()8 > < > : = 2; #k=2 k3 ; k = 0;1;2: Pertanto, le soluzioni non nulle dell'equazione () sono z0= 2 [cos 0 + isin 0] = 2; z1= 2 cos 23  +isin 23  =1 +ip3 ; z2= 2 cos 43  +isin 43  =1ip3 : b.Gli elementi dell'insiemeSsono le due radicis 1, s 2di 1 +ip3: s1=p2 h cos 3  +isin 3 i =p2 2 + ip6 2 =p2 ei 3 s2=p2  cos 43  +isin 43  =p2 2 ip6 2 =p2 ei 4 3 Esercizio 2. a)Calcolare il seguente limite: L= lim x!0 15 p1 + x3 ln 1 +x3
3 artg [sin( x4 )](1) Valore del limiteL:b) Estendiamo il dominio della funzionef, denendof(0) =L, doveLe il limite (1) trovato nel puntoa). Dimostrare chefe derivabile in 0 ef0 (0) = 0. c)Disegnare un graco qualitativo difvicino ax 0= 0. Graco qualitativo difvicino ax 0= 0:Calcoli e motivazioni delle risposte (Si puo scrivere anche sul retro di questo foglio): Soluzioni Si puo calcolare il limite con il metodo degli asintotici:L= lim x!0ln 1 +x3
 15 p1 + x33 artg sin( x4 )= = limx!0x 3 15 x3
3 x4= = limx!0 15 x63 x4= = limx!0115 x 2 = 0 Dunque, se estendiamofdenendof(0) =L= 0,fe continua in 0. Dal calcolo del limite, vediamo che vale l'equivalenza asintotica: f(x) 115 x 2 x!0 cioef(x) =115 x2 +o(x2 ). Dunque f(x) =f(0) +f0 (0)x115 x 2 +o(x2 ) |{z} o(x)= 0 + 0
x+o(x); x!0 Ne segue chefe dierenziabile (derivabile) in 0 ef0 (0) = 0. Per dimostrare chefe derivabile in 0 e chef0 (0) = 0, si puo anche notare che il rapporto incrementale difin 0 e dato daf(x)f(0)x 0= f (x)x = 15 p1 + x3 ln 1 +x3
3 xartg [sin(x4 )] Dal calcolo precedente del limiteL, risulta che, perx!0, f(x)x  115 x e quindif0 (0) = lim x!0f (x)x = 0 Il graco qualitativo difvicino ax 0= 0 e quello della parabola y=115 x2 , la cui retta tangente nel punto di ascissa 0 e la rettay= 0. Esercizio 3. Siafla funzione f(x) =xexp x + 7x 1 denita su (1;1)[(1;+1). a.Determinare il limiti difperx! 1e perx!1 . Limiti:b. Determinare gli eventuali asintoti (orizzontali o obliqui). Equazioni degli asintoti:c. Calcolare la derivata primaf0 . Derivata:f0 (x) =:d. Trovare i massimi e i minimi locali dif. Massimi e i minimi locali:e. Disegnare il graco dif. Graco dif:Calcoli e motivazioni delle risposte (Si puo scrivere anche sul retro di questo foglio): Soluzioni limx!1f (x) =1, limx!1 f(x) = +1asintoto verticale sinistro, limx!1+ f(x) = 0+ . Cerchiamo gli asintoti obliqui:m:= lim x!1f (x)x = e 1 ; q: = lim x!1f (x)e 1 x= lim x!1xe x +7x 1 e 1 x= lim x!1e 1 x e x +7x 1+1 1 = limx!1e 1 x e 8x 1 1 = limx!1e 1 x 8x 1 =8e Dunque, la rettay=x 8e e asintoto obliquo sia per x! 1, sia perx!+1. La funzionefe derivabile sul dominioD:=Rn f1g(perche composta di funzioni derivabili) e si ha: f0 (x) =e x +7x 1 +xe x +7x 1 ( x1)(x+ 7)( x1)2 =e x +7x 1 1 +8( x1)2 =x 2 + 6x+ 1( x1)2e x +7x 1 f0 (x) = 0 se e solo sex2 + 6x+ 1 = 0, le cui soluzioni sonox := 32p2. La funzione e crescente in (1; x ) [(x +; 1)[(1;+1) e decrescente in (x ; x +). Dunquex e un punto di massimo locale, e x +e un punto di minimo locale.