Energy Engineering - Analisi e geometria 1

First partial exam

Teoria Es. 1 Es. 2 Totale Analisi e Geometria 1 Prima prova in itinere 13 Novembre 2017 Compito E Docente: Numero di iscri- zione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Punteggi : Teoria: 8=4+4; Esercizio 1: 8 = 2+2+2+2; Esercizio 2: 14 = 4 + 4 + 2 + 4. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo o sul retro del foglio. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Teoria A) Scrivere con precisione la definizione di: funzione derivabile (o di↵erenziabile ) in un punto. B) Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla convergenza delle successioni monot`one. (Scrivere qui sotto e sul retro di questo foglio). Esercizi (Le risposte devono essere motivate e poi riportate nel le casel le) 1. (a) Disegnare nel piano di Gauss gli insiemi A = n z2C :1 | z| 2,⇡ 6 arg z ⇡ 3 o B = ( w 2C :w = p3 2 +i1 2 ! z con z2A ) . Risposta. Insieme A Risposta. Insieme B (b) Scrivere in forma algebrica ( z= a+ib,a, b 2R) tutti i numeri complessi zche soddisfano l’equazione ⇣ z i 2 ⌘3= ⇣1+ i 1i ⌘3 (1) Risposta. Le soluzioni, in forma algebrica, dell’equazione (1) sono: (c) Determinare la forma esponenziale rei# di 1 /¯z(¯zdenota il coniugato di z), dove z=3 ei⇡6. Forma esponenziale rei# di 1 ¯z: r= #= Soluzione (a) Insieme A: A = n z2C :1 | z| 2,⇡ 6 arg z ⇡ 3 o P Q R S 1 2 L’insieme A `e tutta la regione delimitata dai due segmenti PQ eRS e dai due archi QR eSP ,incluso il bordo. Poich´e w0= p32+i12 `e un numero complesso di modulo 1 e di argomento ✓= ⇡6,l’insieme B = w0A si ottiene ruotando l’insieme A attorno all’origine di un angolo ✓= ⇡6, in senso antiorario. Pertanto, si ha B = n z2C :1 | z| 2,⇡ 3 arg z ⇡ 2 o P0 Q0 R0 S0 1 2 (b) Poich´e ✓1+ i 1i ◆3 = ✓(1 + i)2 2 ◆3 =( i)3= i si tratta di risolvere l’equazione ⇣ z i 2 ⌘3= i. Poich´e le radici cubiche di i sono i,p32 12i, p32 12ile soluzioni dell’equazione precedente sono z i 2= i ossia z= i 2+i= 3 2i z i 2= p3 2 1 2i ossia z= p3 2 z i 2= p3 2 1 2i ossia z= p3 2 . Pertanto, si ha C = ( 3 2i, p3 2 , p3 2 ) . (c) Se z=3 ei⇡6, la forma esponenziale di 1 /¯z`e13ei⇡6. 2. Si consideri la funzione R f! R: f(x)= ex3 r 1 x2 4 x2R (a) Determinare i limiti di fa1 e+ 1. lim x!1 f(x)= lim x!+1 f(x)= (b) Determinare i punti di massimo e di minimo locali (Si intende: le ascisse dei punti di massimo e di minimo locali sull’asse delle x, non le corrispondenti ordinate). Punti di minimo locali: Punti di massimo locali: (c) Disegnare un grafico qualitativo di fsulla base delle informazioni sopra ottenute. (Non `e richiesto lo studio della derivata seconda). (d) Determinare lo sviluppo di Maclaurin (centrato in x0= 0) di fal 2 ordine e quindi dedurne il valore di f00(0). Sviluppo di Maclaurin: f(x)= f00(0) = Soluzione (a) lim x!1 f(x) = 0, lim +1 f(x)= 1 . Il segno di f(x) coincide con il segno del radicando ⇣ 1 x2 4 ⌘ . Quindi f(x) 0per x2(2,2), e f(x) 0per x2(1 ,2) [(2,+1). (b) La funzione ex`e derivabile su R e la funzione 3q 1 x24 `e derivabile per ogni x 6= ±2. Quindi f `e sicuramente derivabile in ogni punto diverso da ±2, con derivata uguale a ex 4 x2 23x+4 3q1 x24 2 Nei punti 2,2, invece, fnon `e derivabile. (Per x! 2,2, i limiti di f0(x) non sono finiti). La derivata f0(x), per x6= 2,2`e: f0(x)= ex(x2 23x+ 4) 9 ⇣ 1 x29 ⌘23 La derivata f0(x) si annulla quando x2 23x+ 4 = 0, ossia nei punti: x= 1 3 p37 3 x+= 1 3+ p37 3 Quindi fha un punto di minimo locale in x e un punto di massimo locale in x+. Allo scopo di disegnare un grafico qualitativo, si noti che x< 2e x+< 2. (c) Grafico di f(x)= ex3q 1 x24 y x 2 2 x+ x 1 (d) Gli sviluppi locali in x0=0 di exedi ⇣ 1 x2 4 ⌘13sono: ex=1+ x+ 1 2!x2+o(x2), ⇣ 1 x2 4 ⌘13=1 1 3 x2 4 +o(x2) Quindi: f(x)= ⇣ 1+ x+ 1 2x2+o(x2) ⌘⇣ 1 1 12 x2+o(x2) ⌘ =1+ x+ 5 12 x2+o(x2) Ne segue che f00(0) 2! = 5 12 ,f 00(0) = 2! 5 12 = 5 6 Teoria Es. 1 Es. 2 Totale Analisi e Geometria 1 Prima prova in itinere 13 Novembre 2017 Compito F Docente: Numero di iscri- zione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Punteggi : Teoria: 8=4+4; Esercizio 1: 8 = 2+2+2+2; Esercizio 2: 14 = 4 + 4 + 2 + 4. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo o sul retro del foglio. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Teoria A) Scrivere con precisione la definizione di: funzione co n t i n u a in un punto. B) Enunciare con precisione e dimostrare il teorema che a↵erma che la derivabilit`a implica la continuit`a. (Scrivere qui sotto e sul retro di questo foglio). Esercizi (Le risposte devono essere motivate e poi riportate nel le casel le) 1. (a) Disegnare nel piano di Gauss gli insiemi A = ⇢ z2C :1 | z| 2,⇡ 2 arg z 2⇡ 3 B = ( w 2C :w = 1 2+i p3 2 ! z con z2A ) . Risposta. Insieme A Risposta. Insieme B (b) Scrivere in forma algebrica ( z= a+ib,a, b 2R) tutti i numeri complessi zche soddisfano l’equazione ⇣ z+ i 2 ⌘3= ⇣1i 1+ i ⌘3 (1) Risposta. Le soluzioni, in forma algebrica, dell’equazione (1) sono: (c) Determinare la forma esponenziale rei# di 1 /¯z(¯zdenota il coniugato di z), dove z=2 ei⇡3. Forma esponenziale rei# di 1 ¯z: r= #= Soluzione (a) Insieme A: A = ⇢ z2C :1 | z| 2,⇡ 2 arg z 2⇡ 3 1 2 P Q R S L’insieme A `e tutta la regione delimitata dai due segmenti PQ eRS e dai due archi QR eSP ,incluso il bordo. Poich´e w0= 12+ip32 `e un numero complesso di modulo 1 e di argomento ✓= ⇡3,l’insieme B = w0A si ottiene ruotando l’insieme A attorno all’origine di un angolo ✓= ⇡3, in senso antiorario. Pertanto, si ha B = ⇢ z2C :1 | z| 2,5⇡ 6  arg z ⇡ 1 2 P’ Q’ R’ S’ (b) Poich´e ✓1i 1+ i ◆3 = ✓(1 i)2 2 ◆3 =( i)3= i si tratta di risolvere l’equazione ⇣ z+ i 2 ⌘3= i. Poich´e le radici cubiche di i sono i, p32 + 12i,p32 + 12ile soluzioni dell’equazione precedente sono z+ i 2= i ossia z= i 2i= 3 2i z+ i 2= p3 2 + 1 2i ossia z= p3 2 z+ i 2= p3 2 +1 2i ossia z= p3 2 . Pertanto, si ha C = ( 3 2i, p3 2 , p3 2 ) . (c) Se z=2 ei⇡3, la forma esponenziale di 1 /¯z`e12ei⇡3. 2. Si consideri la funzione R f! R: f(x)= ex3 r 1 x2 9 x2R (a) Determinare i limiti di fa1 e+ 1. lim x!1 f(x)= lim x!+1 f(x)= (b) Determinare i punti di massimo e di minimo locali (Si intende: le ascisse dei punti di massimo e di minimo locali sull’asse delle x, non le corrispondenti ordinate). Punti di minimo locali: Punti di massimo locali: (c) Disegnare un grafico qualitativo di fsulla base delle informazioni sopra ottenute. (Non `e richiesto lo studio della derivata seconda). (d) Determinare lo sviluppo di Maclaurin (centrato in x0= 0) di fal 2 ordine e quindi dedurne il valore di f00(0). Sviluppo di Maclaurin: f(x)= f00(0) = Soluzione (a) lim x!1 f(x) = 0, lim +1 f(x)= 1 . Il segno di f(x) coincide con il segno del radicando ⇣ 1 x2 9 ⌘ . Quindi f(x)> 0per x2(3,3), e f(x)< 0per x2(1 ,3) [(3,+1). (b) La funzione ex`e derivabile su R e la funzione 3q 1 x29 `e derivabile per ogni x 6= ±3. Quindi f `e sicuramente derivabile in ogni punto diverso da ±3, con derivata uguale a ex 9 x2 23x+9 3q1 x29 2 Nei punti 3,3, invece, fnon `e derivabile. (Per x! 3,3, i limiti di f0(x) non sono finiti). La derivata f0(x), per x6= 3,3`e: f0(x)= ex(x2 23x+ 9) 9 ⇣ 1 x29 ⌘23 La derivata f0(x) si annulla quando x2 23x+ 9 = 0, ossia nei punti: x= 1 3 p82 3 x+= 1 3+ p82 3 Quindi fha un punto di minimo locale in x e un punto di massimo locale in x+. Allo scopo di disegnare un grafico qualitativo, si noti che x< 3e x+< 3. (c) Grafico di f(x)= ex3q 1 x29 y x 3 3 x+ x 1 (d) Gli sviluppi locali in x0=0 di exedi ⇣ 1 x2 9 ⌘13sono: ex=1+ x+ 1 2!x2+o(x2), ⇣ 1 x2 9 ⌘13=1 1 27 x2+o(x2) Quindi: f(x)= ⇣ 1+ x+ 1 2x2+o(x2) ⌘⇣ 1 1 27 x2+o(x2) ⌘ =1+ x+ 25 54 x2+o(x2) Ne segue che f00(0) 2! = 25 54 ,f 00(0) = 2! 25 54 = 25 27