Energy Engineering - Analisi e geometria 1

First partial exam

Analisi e Geometria 1 Primo compito in itinere 13 Novembre 2017 Compito ADocente: Fabio PunzoNumero di iscri- zione all'appello:Cognome:Nome:Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 4 = 2 + 2; Es.2: 8 = 2 + 3 + 1 + 2. 1. (a) Disegnare nel piano di Gauss gli insiemiA= z2C:jzj 3;Imz3p 2  B=n w2C:w=zi con z2Ao : (b) Determinare gli insiemi C= z2C: z+32 i 3 = 31 i1 + i  3 eB\C : Soluzione (a) Nella gura seguente e rappresentato l'insiemeAnel piano di Argand-Gauss (conx= Rez; y= Imz):Notiamo che 1i = i e un numero complesso di modulo 1 e di argomento principale=2 . Dunque, ricordando il signicato geometrico della moltiplicazione inC, deduciamo che l'insiemeBsi ottiene ruotando l'insiemeAattorno all'origine di un angolo=2 in senso antiorario (o, in altri termini, in senso orario di2 ). Pertanto, si ha B= z2C:jzj 3;Rez3p 2  ; che, nel piano di Argand-Gauss, si rappresenta come segue:y x 3 3A 4 34  y x 3 3B 3 3p 2 4 4 (b) Per determinare l'insieme Coccorre risolvere l'equazione z+32 i 3 = 31 i1 + i  3 : Osserviamo che1i1 + i = (1 i)22 = i;(3i)3 = 33 i: Poniamo=z+32 i : Si tratta dunque di risolvere l'equazione3 = 33 i: Poiche le radici cubiche di i sonop3 2 +12 i ;p3 2 +12 i ;i , le soluzioni dell'equazione sono =3p3 2 + 32 i ossia z=3p3 2 =3p3 2 + 32 i ossia z=3p3 2 =3i ossiaz=32 i 3i =92 i : Pertanto, si haC=( 3p3 2 ; 3p3 2 ; 92 i) : Inne, si ricava facilmente cheB\C=( 3p3 2 ) : 2. Si consideri la funzione denita da f(x) :=ex 5 r1 x 29 ; (a) determinarne il dominioDe i limiti agli estremi del dominio; (b) determinarne gli estremi locali;(c) disegnarne il graco qualitativo in base alle informazioni sopra determinate; (d) determinarne lo sviluppo di McLaurin al 2 ordine e poi il valore dif00 (0). Soluzione (a) La funzionefe data dalla composizione di funzioni ben denite e continue in tuttoR. DunqueD=R. Inoltre, grazie alla gerarchia degli inniti, si ricava immediatamente che lim x!1f (x) = 0; mentre, in virtu dell'algebra dei limiti estesa con l'innito, si deduce facilmente chelim x!+1f (x) =1: (b)fe senz'altro derivabile inA:= (1;3)[(3;+1), perche e una funzione composta di funzioni derivabili inA. Resta da capire sefe o meno derivabile anche inf3;3g. Grazie alle regole di derivazione, valide inA, si ottiene f0 (x) =e x (x2 25 x + 9)9  1x 29  45 8 x2A : Determiniamo i punti critici dif. Risolvendo l'equazione f0 (x) = 0 (x2A); si trovano le due soluzionix= 15 p226 5 ; x += 15 +p226 5 : Notiamo chex < 30); ponendot=19 x2 ; =15 : Quindi ricaviamo che f(x) = 1 +x+12 x 2 +o(x2 ) 1145 x 2 +o(x2 ) = 1 +x+4390 x 2 +o(x2 ) Ricordando la denizione generale di formula di McLaurin con resto di Peano e analizzando quella precedente, si puo inferire che f00 (0) =4345 :y x 3 3 x + x 1