Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Full exam

Es. 2Es. 3Es. 4TTotale COMPITO A Docenti: P. Antonietti, F. Cipriani, F. Colombo, F. Lastaria, G. Mola, E. Munarini, P.Terenzi, C. Visigalli Ingegneria Industriale Prova del 1/9/2009 Cognome Nome Matricola Veri¯care la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore Z +1 21 Per calcolare il valore esatto dell'integrale, procediamo al calcolo di una primitiva dif. Operando la sostituzionet=p 2: 1 Sia data la seguente equazione di®erenziale y0 (t) = 2t£ y(x)2 + 1¤ : i) Esibire una formula di rappresentazione per la generica soluzione; ii) calcolare la soluzione del problema di Cauchy avente come dato inizialey(0) = 1; iii) in questo caso, speci¯care l'intervallo massimale di de¯nizione della soluzione. Poichµe l'equazione µe a variabili separabili, allora abbiamo che Z y0 (t) Imponendo nella formula trovata sopra il datoy(0) = 1, si vede che tanc= 1()c=¼ E' necessario imporre la limitazione t2 +¼ Si consideri la curva tridimensionale di equazione r(t) =t2 i+p 8Z 2¼ 08tp 12h ¡ 4t2 + 2¢ 3=2i 2¼ 0=1 12h ¡ 16¼2 + 2¢ 3=2 ¡23=2i : 3 Studiare la funzione f(x) =3 p Dominio dif: La funzione µe de¯nitita su tuttoR. Limiti agli estremi del dominio: lim x¡!¡1f(x) =¡1 lim x¡!+1f(x) = +1 Segno dif0 : f0 (x)>0 per ognix2Rn f0g. Punti di massimo e minimo: fnon ha punti di massimo e minimo. 9e2xe2x ¡3 (e2x ¡1)5=3: 4 Es. 2Es. 3Es. 4TTotale COMPITO B Docenti: P. Antonietti, F. Cipriani, F. Colombo, F. Lastaria, G. Mola, E. Munarini, P.Terenzi, C. Visigalli Ingegneria Industriale Prova del 1/9/2009 Cognome Nome Matricola Veri¯care la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore Z +1 51 Per calcolare il valore esatto dell'integrale, procediamo al calcolo di una primitiva dif. Operando la sostituzionet=p Sia data la seguente equazione di®erenziale y0 (t) =y(x)2 + 1: i) Esibire una formula di rappresentazione per la generica soluzione; ii) calcolare la soluzione del problema di Cauchy avente come dato inizialey(0) =¡1; iii) in questo caso, speci¯care l'intervallo massimale di de¯nizione della soluzione. Poichµe l'equazione µe a variabili separabili, allora abbiamo che Z y0 (t) Imponendo nella formula trovata sopra il datoy(0) =¡1, si vede che tanc=¡1()c=¡¼ E' necessario imporre la limitazione ¡¼ 4¼¶ : 7 Si consideri la curva tridimensionale di equazione r(t) =t2 i+ 2 costj+ 2 sintk; t2[0; ¼]: 3h ¡ t2 + 1¢ 3=2i ¼ 0=1 3h ¡ ¼2 + 2¢ 3=2 ¡23=2i : 8 Studiare la funzione f(x) =5 p Dominio dif: La funzione µe de¯nitita su tuttoR. Limiti agli estremi del dominio: lim x¡!¡1f(x) =¡1 lim x¡!+1f(x) = +1 Segno dif0 : f0 (x)>0 per ognix2Rn f0g. Punti di massimo e minimo: fnon ha punti di massimo e minimo. 25e4xe4x ¡5 (e4x ¡1)9=5: 9