Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Full exam

Docente:Politecnico di Milano Prima prova in itinere.Ingegneria Industriale 16 novembre 2009 Compito A Gianluca Mola Siaf(x) =arctan(3 p ln(1 + tan3 p Calcolare il seguente limite: lim x!0f(x). Risposta: 0 (b) Esistono un numeroK6 = 0 e un numero® >0 per i quali si abbiaf(x)»K x® , perx!0? In caso a®ermativo, determinare una tale funzioneK x® . Risposta: 2x1 3 Studiare la funzione f(x) =1 + lnxex Limiti agli estremi: lim x!0+f(x) =¡1, lim x!+1f(x) = 0 Eventuali asintoti:x= 0 (asintoto verticale);y= 0 (asintoto orizzontale). Derivata prima:f0 (x) =e¡x¡ 1 Qual µe il piµu grande intervallo sul qualefµe decrescente? [1;+1) Eventuali punti di massimo locale: Eventuali punti di minimo locale: L'unico punto di massimo locale µex 0= 1, non ci sono punti di minimo locali. Derivata seconda:f00 (x) =e¡x¡ 1 + lnx¡2 Esistono punti in cui la funzionejf(x)jnonµe derivabile? La funzionejf(x)jnon µe derivabile inx 2=1 . Sia f(x) =( jsinxja sin1 Determinare per quali eventualia2Rla funzionefµe continua inx 0= 0. Risposta: (b) Usando la de¯nizione di derivata, determinare gli eventualia2Rper i quali la funzionefµe derivabile inx 0= 0. Risposta: Si consideri l'equazione (z¡1)4 = (1¡i)4 Scrivere tutte le soluzioni, nella forma algebricaa+ib: 2 +i; i;¡i;2¡i Docente:Politecnico di Milano Prima prova in itinere.Ingegneria Industriale 16 novembre 2009 Compito B Gianluca Mola Siaf(x) =¡tan(3 p ln(1 + arctan3 p Calcolare il seguente limite: lim x!0f(x). Risposta: 0 (b) Esistono un numeroK6 = 0 e un numero® >0 per i quali si abbiaf(x)»K x® , perx!0? In caso a®ermativo, determinare una tale funzioneK x® . Risposta: 2x1 3 Studiare la funzione f(x) =¡1 + lnxex Limiti agli estremi: lim x!0+f(x) = +1, lim x!+1f(x) = 0 Eventuali asintoti:x= 0 (asintoto verticale);y= 0 (asintoto orizzontale). Derivata prima:f0 (x) =e¡x¡ ¡1 Qual µe il piµu grande intervallo sul qualefµe decrescente? (0;1] Eventuali punti di massimo locale: Eventuali punti di minimo locale: L'unico punto di minimo locale µex 0= 1, non ci sono punti di massimo locali. Derivata seconda:f00 (x) =e¡x¡ ¡1¡lnx+2 Esistono punti in cui la funzionejf(x)jnonµe derivabile? La funzionejf(x)jnon µe derivabile inx 2=1 . Sia f(x) =( jsinxja cos1 Determinare per quali eventualia2Rla funzionefµe continua inx 0= 0. Risposta: (b) Usando la de¯nizione di derivata, determinare gli eventualia2Rper i quali la funzionefµe derivabile inx 0= 0. Risposta: Si consideri l'equazione (z+ 1)4 = (1 +i)4 Scrivere tutte le soluzioni, nella forma algebricaa+ib: Docente:Politecnico di Milano Prima prova in itinere.Ingegneria Industriale 16 novembre 2009 Compito C Gianluca Mola Siaf(x) =arctan(5 p ln(1 + tan5 p Calcolare il seguente limite: lim x!0f(x). Risposta: 0 (b) Esistono un numeroK6 = 0 e un numero® >0 per i quali si abbiaf(x)»K x® , perx!0? In caso a®ermativo, determinare una tale funzioneK x® . Risposta: 2x1 5 Studiare la funzione f(x) =1 + lnx Insieme di de¯nizione dif: (0;+1) Limiti agli estremi: lim x!0+f(x) =¡1, lim x!+1f(x) = 0 Eventuali asintoti:x= 0 (asintoto verticale);y= 0 (asintoto orizzontale). Derivata prima:f0 (x) =1 2e¡x¡ 1 Qual µe il piµu grande intervallo sul qualefµe decrescente? [1;+1) Eventuali punti di massimo locale: Eventuali punti di minimo locale: L'unico punto di massimo locale µex 0= 1, non ci sono punti di minimo locali. Derivata seconda:f00 (x) =1 2e¡x¡ 1 + lnx¡2 Esistono punti in cui la funzionejf(x)jnonµe derivabile? La funzionejf(x)jnon µe derivabile inx 2=1 . Sia f(x) =( jtanxja sin1 Determinare per quali eventualia2Rla funzionefµe continua inx 0= 0. Risposta: (b) Usando la de¯nizione di derivata, determinare gli eventualia2Rper i quali la funzionefµe derivabile inx 0= 0. Risposta: Si consideri l'equazione (z¡i)4 = (1¡i)4 Scrivere tutte le soluzioni, nella forma algebricaa+ib: 1 + 2i;¡1 + 2i;¡1;1 Docente:Politecnico di Milano Prima prova in itinere.Ingegneria Industriale 16 novembre 2009 Compito D Gianluca Mola Siaf(x) =tan(5 p ln(1¡arctan5 p Calcolare il seguente limite: lim x!0f(x). Risposta: 0 (b) Esistono un numeroK6 = 0 e un numero® >0 per i quali si abbiaf(x)»K x® , perx!0? In caso a®ermativo, determinare una tale funzioneK x® . Risposta: 2x1 5 Studiare la funzione f(x) =¡1 + lnx Insieme di de¯nizione dif: (0;+1) Limiti agli estremi: lim x!0+f(x) = +1, lim x!+1f(x) = 0 Eventuali asintoti:x= 0 (asintoto verticale);y= 0 (asintoto orizzontale). Derivata prima:f0 (x) =1 2e¡x¡ ¡1 Qual µe il piµu grande intervallo sul qualefµe decrescente? (0;1] Eventuali punti di massimo locale: Eventuali punti di minimo locale: L'unico punto di minimo locale µex 0= 1, non ci sono punti di massimo locali. Derivata seconda:f00 (x) =1 2e¡x¡ ¡1¡lnx+2 Esistono punti in cui la funzionejf(x)jnonµe derivabile? La funzionejf(x)jnon µe derivabile inx 2=1 . Sia f(x) =( jtanxja cos1 Determinare per quali eventualia2Rla funzionefµe continua inx 0= 0. Risposta: (b) Usando la de¯nizione di derivata, determinare gli eventualia2Rper i quali la funzionefµe derivabile inx 0= 0. Risposta: Si consideri l'equazione (z+ 1)4 = (1 +i)4 Scrivere tutte le soluzioni, nella forma algebricaa+ib: