Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4TotaleTeoria Analisi e Geometria 1Docente:Politecnico di Milano Ingegneria Industriale 12 Luglio 2010 Compito A Cognome:Nome:Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 punti; Es.2: 12 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni:Riportare le soluzioni nel le casel le. Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Calcolare, al variare del parametro reale, il valore del seguente limite: lim x!0+sin xarctanx( e x 1 +x) : SOLUZIONE Si noti che, utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, possiamo dedurre le relazioni di asintoticita sinxarctanxxx 36  xx 33  =x 36 ee x 1 +x 1x+x 22  1 +x=x 22 perx!0. Di conseguenza, tornando al limite, abbiamo lim x!0+sin xarctanx( e x 1 +x) =2 6 lim x!0+x 3 2 =8 > > < > > :0 + ;se 32 : 2. Studiare la funzione f(x) =12 xp4 x2 Riportare in tabella i risultati e il graco. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio.Dominio di f:D (f) = [2;2]. Si osservi che la funzione e dispari, restringiamo quindi lo studio all'intervallo [0;2].Limiti agli estremi: f (0) =f(2) = 0Eventuali asintoti: Nessun asintoto. Derivata prima: f 0 (x) =12 p4 x2 x 22 p4 x2=2 x2p 4 x2Discutere la derivabilita di f:D (f0 ) = [0;2). Inoltre, lim x!2 f0 (x) =1.Studio del segno di f:f > 0 in (0;2),f(0) =f(2) = 0.Si dica se fammette punti di massimo o minimo ASSOLUTI:f ha un punto di massimo assoluto inx=p2. Derivata seconda: f 00 (x) =x (x2 6)(4 x2 )p4 x2x 2[0;2) .Studio della convessita e della concavita: f 00 (x)14 .