Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Analisi e Geometria 1 Terzo appello 10 Settembre 2012 Compito ADocente:Politecnico di Milano Ingegneria IndustrialeCognome:Nome:Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 punti; Es.2: 10 punti; Es.3: 7 punti; Es.4: 7 punti. Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita , sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. (a) Calcolare nel campo complesso le soluzioni dell'equazione (z33i)3 =8 e rappresentarle nel piano di Gauss. (b) DettoEl'insieme di tali soluzioni, rappresentare nel piano di Gauss (senza calcolarne esplici- tamente gli elementi) l'insieme A=f!2C:!=1i z; z 2Eg: Poniamow=z33ie risolviamo l'equazionew3 =8. Poiche8 = 8(cos+isin), risultaw3 =8 se e solo sejwj3 = 8 e 3 arg(w) =+ 2k(conkintero). Segue jwj= 2earg(w) =3 + k2 3 ( k= 0;1;2): Si ottengono quindi le soluzioni w0= 2(cos3 + isin3 ) = 1+ ip3 ; w 1= 2(cos +isin) =2 ;w 2= 2(cos53  +isin53  ) = 1ip3 ; da cui si ricavano le soluzioni dell'equazione originaria: z0= 3+3 i+w 0= 4+ i(3+p3) ; z 1= 3+3 i+w 1= 1+3 i;z 2= 3+3 i+w 2= 4+ i(3p3) : Gli elementiz kdell'insieme E(conk= 0;1;2) si disegnano facilmente sia direttamente che traslando i rispettivi elementiw k. Si trovano sulla circonferenza di centro (3; 3) e raggio 2.0 w 1 w 2 w 0 z 1 z 2 z Gli elementi dell'insieme Asi ottengono dividendo perigli elementi dell'insiemeE. Geometri- camente, cio equivale a ruotare gli elementi dell'insiemeEdi novanta gradiin senso orario (perche la moltiplicazione perie la rotazione di novanta gradi in senso antiorario).0z 1 z 2z 0  2  1  2. Sia f:R!Rla funzione denita ponendof(x) =3 px (x1)2 . Segno. Poiche si tratta di una radice cubica,f(x) ha il segno dix(x1)2 , per cui e negativa per x