Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Politecnico di Milano { Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Terzo appello { 9 Settembre 2013 Cognome:Compito A Nome: Matricola: Es. 1 : 6 puntiEs. 2 : 8 puntiEs. 3 : 6 puntiEs. 4 : 10 puntiTotale 1. Rappresentare sul piano di Gauss il luogo dei numeri complessi z2Ctali che jei z2 +1 j < > :x = sint y= cost z= lntt 2[3;8]: Vericare che la curva e regolare e calcolare la sua lunghezza. (Nel calcolo della lunghezza della curva, si consiglia di eettuare la sostituzioneu=p1 + t2 ). 3. Risolvere il problema di Cauchy8 < :( x2 + 1)y0 =xy y(0) =1 e stabilire il piu ampio intervallo in cui e denita la soluzione. 4. Si consideri la funzione denita daf(x) =x lnxln x3: (a) Determinare il dominioDdif. (b) Calcolare i limiti ai bordi diDe determinare gli eventuali asintoti dif. (c) Calcolare la derivata primaf. (d) Determinare gli eventuali punti di massimo o minimo dif, specicando se assoluti o relativi. Soluzioni 1. Postoz=x+iy, conx; y2R, si ha jei z2 +1 j=jei (x+iy)2 +1 j=jei (x2 y2 )2xy+1 j= e 2xy+1 cos(x2 y2 ) +isin(x2 y2 )
 = e 2xy+1 : Pertanto, si hajei z2 +1 j0; x6 = e3 g= (0;e3 )[(e3 ;+1) . (b) Si hanno i limiti lim x!0+f (x) = lim x!0+x lnxln x3= lim x!0+x = 0 lim x!(e3 )+f (x) = lim x!(e3 )+x lnxln x3= lim t!3+t ett 3= + 1(t= lnx) lim x!(e3 )f (x) = lim x!(e3 )x lnxln x3= lim t!3t ett 3= 1(t= lnx) lim x!+1f (x) = lim x!+1x lnxln x3= lim x!+1x = +1: Non ci sono asintoti obliqui, perche lim x!+1f (x)x = lim x!+1ln xln x3= 1 lim x!+1( f(x)x) = lim x!+13 xln x3= + 1: (c) La derivata prima ef0 (x) =ln 2 x3 lnx3(ln x3)2: (d) Si ha f0 (x)0()lnx3 p21 2 oppure ln x3 +p21 2 ()xe3 p21 2 oppurexe3+ p21 2 : Pertanto, in corrispondenza dix= e3 p21 2 si ha un punto di massimo relativo, mentre in corrispondenza dix= e3+ p21 2 si ha un punto di minimo relativo.