Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Full exam

Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Analisi e Geometria 1 Secondo Appello 9 Luglio 2014 Docente:Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome:Nome:Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.1: 10 punti; Es.2: 6 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti. Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita , sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Data la funzionef(x) =    x 2 x+ 1se x≤0; x̸ =−1 x3 ln 2xsex >0 a) stabilire se la funzione `e continua in tutto il suo dominio; b) stabilire se la funzione `e derivabile in tutto il suo dominio; c) calcolare i limiti alla frontiera del dominio e scrivere l’equazione di eventuali asintoti; d) determinare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo e di flesso; e) disegnare il grafico della funzione indicando il numero minimo di flessi compatibile con le informazioni raccolte precedentemente. Soluzione: a) La funzione `e continua nel suo dominio, infatti `e continua sex̸ = 0, e poich´e lim x→0+x 3 ln 2x= 0 = f(0),frisulta continua anche inx= 0. b) La funzione `e derivabile in tutto il suo dominio;f′ (x) =      x 2 + 2x (x+ 1)2se x 0 Inx= 0 la derivata vale 0, infatti lim x→0+3 x2 ln 2x+x2 = lim x→0x 2 + 2x (x+ 1)2= 0. c) La funzione ha un asintoto obliquo perx→ −∞avente equazioney=x−1, infatti si ha che f(x)∼xperx→ −∞e lim x→−∞( x2 x+ 1− x) =−1; e un asintoto verticale di equazionex=−1. d) Studiando il segno della derivata prima: 3x2 ln 2x+x2 ≥0 sex≥1 23 √ e; x 2 + 2x (x+ 1)2≥ 0 se x≤ −2; si trova un punto di massimo relativo inx=−2 e un punto di minimo relativo in1 23 √ e. Inx= 0 c’`e un punto di flesso a tangente orizzontale. 2.Stabilire per quali valori del parametro realeconverge il seguente integrale improprio ∫+∞ 0( ex −1)x 3 √ x(x3 +x2 )1 − Soluzione: Se= 0 la funzione integrandaf(x) `e nulla quindi integrabile. Se̸ = 0 ex→0+ , si ha che f(x)∼x 2 3 √ x(x2 )1 −= x1 3− 2. Quindi f(x) `e integrabile in un intorno dell’origine se >−1 3. Sex→+∞, si ha che: se >0f(x) `e un infinito, quindi non integrabile, mentre se 1 `e integrabile. Allora l’integrale converge se−1 3<  ≤0. 3.Data l’equazione differenzialey′ + 2ycosx−cosx= 0, a) trovare l’integrale generale; b) trovare la soluzione che passa per il punto(  4; 1) ; c) scrivere il polinomio di Taylor di secondo grado centrato inx= 4della soluzione trovata al punto b) e disegnare un grafico locale di tale soluzione in un intorno dix= 4. Soluzione: a) L’integrale generale `ey(x) =e− 2 sinx( 1 2e 2 sin x +c) b) La soluzione richiesta `ey(x) =e− 2 sinx( 1 2e 2 sin x +1 2e√ 2) . c) Si ha che:y(  4) = 1;y′(  4) =−2 cos 4y ( 4) + cos  4= −1 2√ 2;y′′ (x) + 2y′ (x) cosx+ 2y(−sinx) + sinx= 0 da cuiy′′(  4) = 1 +1 2√ 2. Quindi il polinomio di Taylor `eP(x) = 1−1 2√ 2( x− 4) +1 2( 1 +1 2√ 2) ( x− 4) 2 : 4.Data la curva parametrica di equazioner (t) =t 2 2i +tj +2√ 2 3√ t3 k , cont≥0; a) determinare i versori della terna intrinseca nel puntoP= (1 2; 1;2√ 2 3); b) scrivere le equazioni della retta tangente alla curva inPe della retta appartenente al piano osculatore normale alla curva inP; c) trovare un puntoAappartenente alla curva in modo che l’arco di curva di estremiOeAabbia lunghezza 4. Soluzione: a)r ′(t) =ti +j +√ 2√ tk; r′(1) =i +j +√ 2k ; T(1) =1 2i +1 2j +√ 2 2k . r′′(1) =i +1 2√ 2k ; B(1) =r ′(1)×r ′′(1) |r ′(1)×r ′′(1)|= 1 2i +1 2j −√ 2 2k . N(1) =B (1)×T (1) =1 2√ 2i −1 2√ 2j . b) L’equazione della retta tangente `ex=1 2+ t; y= 1 +t; z=2 3√ 2 +√ 2t; l’equazione della retta normale `ex=1 2+ t; y= 1−t; z=2 3√ 2. c) La lunghezza dell’arco di estremiOeA`e∫ a 0√ t2 + 1 + 2tdt=∫ a 0( t+ 1)dt=1 2a 2 +a. L’equazione1 2a 2 +a= 4 ha soluzionia= 2; a=−4. Il valore diacercato `ea= 2 a cui corrisponde il puntoA= (2;2;8 3).