Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4TotaleTeoria Analisi e Geometria 1 Terzo appello 8 Settembre 2014 Compito B Docente:Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome:Nome:Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti. Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. SiaFla funzione integrale definita ponendo F(x) =x ∫ 0e t √ jt+ 1jdt : a) Determinare il dominio diF. b) Stabilire se il i limiti diF(x) perx! 1sono finiti o infiniti, indicandone il segno. c) Scrivere il polinomio di Maclaurin di secondo grado della funzioneFe disegnarne il grafico diFnell’intorno del puntox= 0. d) Determinare la natura del puntox=1, e disegnare il grafico diFnell’intorno del punto indicato. SOLUZIONE Poniamof(t) =e t √ jt+ 1je notiamo che la funzione f`e continua e positiva nell’insieme dei reali diversi da1. a) Pert! 1 risultaf(t)e − 1 jt+ 1j1 =2, per cui f`e integrabile in un intorno di1. Segue che la funzione integraleF`e ben definita in tuttoR. Notiamo che, per la definizione di integrale e per il fatto chef`e positiva, risultaF(x)>0 perx >0,F(x)