Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Full exam

Dom. 1Dom 2Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Analisi e Geometria 1 Secondo appello 05 luglio 2017Docente:Numero di iscrizione all'appello: Cognome:Nome:Matricola: Prima parte a.Dimostrare:Se una funzioneRf !Re derivabile inx 0, al lora e dierenziabile in x 0. (3 punti)b. Enunciare e dimostrare il teorema sulla derivata della funzione reciproca 1=f(x). (3 punti) Es. 1Es. 2Es. 3Es. 4Totale Analisi e Geometria 1 Secondo appello 05 luglio 2017Docente:Numero di iscrizione all'appello: Cognome:Nome:Matricola: Seconda parte Punteggi degli esercizi: Es. 1: 5=2+3; Es. 2: 6=3+3; Es.3: 6=4+2; Es.4: 7=1+1+2+1+2. Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. (a) Scrivere la formula di Taylor, centrata inx 0= 0, arrestata al quarto ordine, con il resto nella forma di Peano, della funzioneg(x) =e x2 =2 cosx.(b) Stabilire per quali valori del parametro inRla funzione f(x) =8 > > < > > :e x2 =2 cosxx se x6 = 0 0 sex= 0 e continua inx 0= 0.Soluzione. (a) Ricordando gli sviluppi dell'esponenziale e del coseno, si ha: e x2 =2 cosx= (1x 22 + x 48 + o(x5 ))(1x 22 + x 424 + o(x5 )) =112 x 4 +o(x5 ) Dunque, la formula di Taylor cercata e e x2 =2 cosx=112 x 4 +o(x5 ) (Se si scrivesseo(x4 ), invece dio(x5 ), la formula sarebbe ancora corretta; ma scrivendoo(x5 ) si da un'informazione piu precisa). (b) La funzionefe continua inx 0= 0 se, e solo se, lim x!0f (x) = 0. Ora: lim x!0e x2 =2 cosxx = lim x!01 x 22 +x 48 1 +x 22 x 424 + o(x5 )x  = limx!0112 x 4  = 0 se, e solo se, 4 >0. (Infatti, se= 4 il limite vale 1=12, mentre se >4 i limiti perx!0 e per x!0+ non sono niti). Quindi la funzione e continua se, e solo se,