Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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T.(a)T.(b)Es.1Es.2Es.3Es.4Totale Analisi e Geometria 1 Quarto Appello Settembre 2018Docente:Numero di iscri- zione:Cognome:Nome:Matricola: Prima parte: Teoria (punti 4+4). T.(a)Enunciare e dimostrare il teorema di unicita del limite di successioni inR. T.(b)Dimostrare il seguente teorema: Se la lunghezza di un vettorev(t)inR3 (oppure inR2 ) e costante al variare ditin un interval loIdiR, al lora il vettore derivatov0 (t)e ortogonale av(t). Seconda parte: Esercizi. Punteggi degli esercizi: Es.1: 2+2 Es.2: 2+2+2+2+2 Es.3: 2+2 Es.4: 2+2 Istruzioni:Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nel lo spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Esercizio 1(a)Scrivere in forma esponenziale e riportare sul piano di Gauss le soluzioni inCdel l'equazione: z4 =ei (23  ) (b)Trovare i punti ssi del la trasformazioneCf !Cche mandaz2Cin f(z) =1i z +i (I punti ssi difsono le soluzioni dif(z) =z.) Di quale trasformazione geometrica si tratta? Motivare la risposta.Risposte (a)Soluzioni e loro rappresentazione sul piano di Gauss:(b) Punti ssi:Di quale trasformazione geometrica si tratta? Spiegare. Risposte (a) L'equazionez4 =ei (23  ) ha le quattro soluzioni complesse ei 2 3 +2 h4  ; h= 0;1;2;3: Facendo i conti, tali soluzioni si scrivono nel modo seguente: ei (6 ) ; ei (3 ) ; ei (5 6 ) ; ei (2 3 ) =ei (4 3 ) Questi quattro punti sono i vertici di un quadrato inscritto nella circonferenza unitaria. (b) L'equazione (algebrica di primo grado)1i z +i=zha una e una sola soluzione: z=12 + 12 i Siccome il coeciente 1=ie unitario (ha modulo 1), la trasformazionez7!f(z) =1i z +ie la composi- zione di una rotazione di centro l'origine (z7!1i z ) e di una traslazione. Quindi e una isometria, perche composizione di isometrie. E siccomefe una isometria con un unico punto sso, e una rotazione, il cui centro e il punto sso12 +12 i . Esercizio 2 Si studi la funzione f(x) = lnxarctan (x1); x2(0;+1) seguendo lo schema del la tabel la sottostante. (Riportare concisamente calcoli e spiegazioni sotto la tabel la e sul retro del foglio).Asintoti :La retta x= 0 e asintoto verticale perx!0+ .Espressione semplicata della derivata prima :f 0 (x) =( x1)(x2)x [1 + (x1)2 ]Punti di massimo locale e punti di minimo locale :x = 1 e punto di massimo locale perf;x= 2 e punto di minimo locale perfPolinomio di Taylor di ordine 2 di fnel puntox= 1:Per x!1, lnxarctan(x1) = ln(1+(x1))arctan(x1) = (x1)( x1)22 + o((x1)2 )(x1)+o((x1)2 )Quindi, il Polinomio di Taylor di ordine 2 di fnel puntox= 1 e 12 ( x1)2 :Graco qualitativo :Figura 1: Graco di f(x) = lnxarctan(x1) Esercizio 3 (a) Facendo uso dei criteri di convergenza, stabilire se l'integrale Z+1 0x 2 e (x4 ) dx(1) e convergente.(b) Calcolare il valore numerico del l'integrale generalizzato Z+1 0xe (x2 ) dxRisposte (a)L'integrale (1) converge? Spiegare.(b) Valore numerico dell'integrale generalizzato. Spiegare.Risposte (a) Perx!+1, la funzionee( x4 ) tende a +1piu velocemente di qualunque potenza dix. In particolare, x4e ( x4 )! 0 sex!+1.Quindi vale denitivamente la disuguaglianza x4e ( x4 )< 1 a sua volta equivalente ax2e ( x4 )