Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Analisi e Geometria 1 Primo Appello 4 Febbraio 2019 Compito ADocente:# iscrizione: Cognome:Nome:Matricola: Esercizio 1. Calcolare, al variare del parametro reale, il valore del seguente limite lim x!0+( ex 1x)sin xarctanx: Soluzione Utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, possiamo dedurre le relazioni di asintoticit~ A ex 1x 1 +x+x 22  1x=x 22 esinxarctanxxx 36  xx 33  =x 36 perx!0. Di conseguenza, tornando al limite, abbiamo lim x!0+( ex 1x)sin xarctanx= 62 lim x!0+x 3+2 =8 > > < > > :+ 1;se 32 : Esercizio 2. Studiare la funzionef(x) = ln (ex x). (Riportare in tabel la i risultati e il graco. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio)Dominio di f:D (f) =R. Si osservi che cio e conseguenza della diseguaglianzaex > x, che puo essere dedotta per ogni x2Rda un semplice confronto graco.Studio del segno di f:f (x)>0 perx6 = 0 ef(x) = 0 perx= 0. Anche in questo caso, questo si puo dedurre per confronto graco tra le funzioniex ex+ 1.Limiti agli estremi :lim x!1f (x) = +1e lim x!+1f (x) = +1Eventuali asintoti :y =xe asintoto obliquo perx!+1, mentre perx! 1la funzione non ammette asintoti.Derivata prima :f 0 (x) =e x 1e x x; x 2RStudio del segno di f0 :f 0 (x)>0 in (0;+1),f0 (x)2x, si deduce l'esistenza di  0 tali chef00 (x)>0 in (; ),f00 (x) < > :x = 2t y=3t+ 1 z=t+ 2t 2Res:( x+y+ 3z5 = 0 xy+z+ 5 = 0: a.Dimostrare cheressono incidenti e calcolare il loro punto di intersezioneP; b.calcolare l'angolo formato dalle direzioni dires. c.scrivere un'equazione cartesiana del piano  che contieneres, e calcolarne la distanza dall'origine. Soluzioni a.Per stabilire la mutua posizione trares, sostituiamo le cooridinate parametrizzate dirnelle equazioni che denisconos. Deduciamo quindi il sistema di due equazioni nell'incognitat (2t3t+ 1 + 3(t+ 2)5 = 0 2t(3t+ 1) +t+ 2 + 5 = 0()( 2t+ 2 = 0 6t+ 6 = 0() t=1: Questo dimostra che le rette sono incidenti, e per calcolarne il punto di intersezione, sostituiamo il valore del parametrot=1 nelle equazioni parametriche dir. Il punto di intersezione~ A pertanto P= (2;4;1): b.Per calcolare tale angolo, deduciamo preliminarmente una equazione parametrica dis. Sommando le due equazioni e sostituedole alla prima riga, abbiamo s:( 2x+ 4z= 0 xy+z+ 5 = 0()( x=2z y=x+z+ 5 =z+ 5()8 > < > :x =2s y=s+ 5 z=ss 2R: Nominandou= [2;3;1]T il vettore direttore direv= [2;1;1]T il vettore direttore dis, possiamo calcolare l'angolo tra le due rette utilizzando la formula b rs= arccos u
vk ukkvk 2[0; ]: Poich~ Au
v= 0, le due rette risultano ortogonali, i.e.b rs=2 . c.Per esibire un'equazione cartesiana del piano , calcoliamo una direzione ortogonale ad entrambe le retter esutilizzando il prodotto vettoriale u^v=2 42 3 13 5^2 4 2 1 13 5= det2 4i j k 23 1 21 13 5=2 4 2 4 83 5= (2)2 41 2 43 5: Pertanto, imponendo il passaggio perP, una possibile equazione cartesiana di ~ A (x+ 2) + 2(y4) + 4(z1) = 0: La distanza di tale piano dall'origine0sar~ A pertanto calcolata dalla formula d(;0) =j 284jp 1 + 2 2 + 42=10p 21 :