Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Full exam

Analisi e Geometria 1 Primo appello { 3 Febbraio 2020 Compito BDocente: LANZARONECognome:Nome:Matricola: Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessita, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Domanda di teoria 1 (5 punti) Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale. Fornire un esempio di funzione per la quale il teorema della media integrale non vale. 1 Domanda di teoria 2 (3 punti) Scrivere l'equazione di un pianoche passa per un puntoP 0= ( x 0; y 0; z 0) ed e ortogonale al vettore v=ai+bj+ck. Dimostrare la formula che fornisce la distanza di un puntoP 1= ( x 1; y 1; z 1) da . 2 Analisi e Geometria 1 Primo appello { 3 Febbraio 2020 Compito BDocente: LANZARONECognome:Nome:Matricola: Esercizio 1 (6 punti) Trovare l'integrale generale dell'equazione dierenziale ordinaria y0 =x 25 e 4 x5y : Determinare la soluzione dell'equazione che soddisfa la condizione y(1) =45 : 3 Esercizio 2 (6 punti) Si consideri la seguente equazione nel campo complesso (z5 + 20i)4 = (5p3 + 5 i)8 : Scrivere le soluzioni dell'equazione e rappresentarle nel piano di Gauss. DettoAl'insieme di tali soluzioni, rappresentare nel piano di Gauss l'insiemeBcos denito B=fz=1 + 2i !:!2Ag: 4 Esercizio 3 (4 punti) Determinare la rettarperpendicolare alle rette di equazioni 8 > < > :x = 1 + 4t y=t z= 2 + 5t e8 > < > :x = 12t y= 24t z= 2t e passante per il puntoA= 2;43 ; 4
. Determinare quindi la distanza tra la rettartrovata e il puntoB= 3;13 ; 3
: 5 Esercizio 4 (8 punti) SiaFla funzione cos denita F(x) =Z x 1( t2 1) (et e t )3 p( et 1)5dt dove l'integrale e da intendersi eventualmente in senso improprio. Svolgere uno studio qualitativo diFspecicando l'insieme di denizione, i limiti agli estremi del do- minio, la monotonia, gli eventuali estremi locali, gli eventuali punti di non derivabilita e gli eventuali asintoti. Disegnare inne un graco qualitativo diF. NB: non sono richieste le intersezioni con gli assi e lo studio della convessita. 6 SOLUZIONI Esercizio 1 L'equazione e a variabili separabili. Avremo quindi Z 5e5 y dy=Z x2 e4 x dx: La primitiva del primo membro e immediata, quella del secondo si ricava integrando per parti due volte. Si ottiene cos e5 y =e 4 x (8x2 4x+ 1)32 + C: Pertanto l'integrale generale e: y=15 log e4 x (8x2 4x+ 1)32 + C : Imponendo la condizioney(1) =45 ricaviamo: 45 = 15 log 5e432 + C cioeC=2732 e4 . Quindi la soluzione particolare e: y=15 log e4 x (8x2 4x+ 1) + 27e432  : 7 Esercizio 2 Ponendot=z5 + 20ila prima delle 4 soluzioni rispetto ate h5p3 + 5 ii 2 =h 10 cos6 + isin6 i 2 mentre le altre si ottengono ruotando di2 . Quindi: t1= 100 cos3 + isin3  = 50 + 50p3 i t2= 100 cos5 6 + isin5 6  =50p3 + 50 i t3= 100 cos4 3 + isin4 3  =5050p3 i t4= 100 cos11 6 + isin11 6  = 50p3 50i: Osserviamo ora chet=z5 + 20i. Pertanto le soluzioni saranno z1= 50 + 50p3 i+ 520i= 55 +i(20 + 50p3) z2= 50p3 + 50 i+ 520i=50p3 + 5 + 30 i z3= 5050p3 i+ 520i=45 +i(2050p3) z4= 50p3 50i+ 520i= 50p3 + 5 70i: Esse si trovano su una circonferenza di centro 520i, raggio 100 e angoli pari a quelli riportati per t1, t 2, t 3e t 4. Per passare daAaBbasta ruotare le 4 soluzioni di un angolo pari ae traslarle a sinistra di 1. 8 Esercizio 3 I parametri direttoria,becdella rettardevono essere soluzioni del sistema (4a+b+ 5c= 0 2a4b+ 2c= 0: Una delle innite soluzioni ea=11,b= 9 ec= 7. Imponendo anche il passaggio perAotteniamo l'equazione dir: 8 > < > :x = 211t y=43 + 9 t z= 4 + 7t: Osserviamo ora che il pianoperpendicolare alla retta e passante perBha equazione 11x+ 9y+ 7z18 = 0: Determiniamo quindi il puntoCintersezione trare. Avremo 11(211t) + 9 43 + 9 t + 7(4 + 7t)18 = 0)t= 0: PertantoC= 2;43 ; 4
coincide conAe la distanza richiesta e s(2 3)2 + 43 13  2 + (43)2 =p3 : 9 Esercizio 4 La funzione integranda f(t) =( t2 1) (et e t )3 p( et 1)5 e denita e continua inRn f0g. Quindife integrabile secondo Riemann su ogni intervallo inRn f0g che non contienet= 0. Abbiamo allora (0;+1)dom(F) eF(1) = 0: In un intorno dit= 0 avremo f(t) 2 tt 53 = 2t 23 per t!0: Quindife integrabile in senso improprio in un intorno dit= 0. Percio dom(F) = (1;+1). Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, la funzioneFe derivabile in ogni punto di continuita difcon derivataF0 (x) =f(x). Quindi F0 (x) =f(x) perx6 = 0 Analizzando gli zeri ed il segno difperx6 = 0 si trova che: F0 (1) = 0; F0 (x)>0 se e solo sex 1; F0 (x)