Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Full exam

Esercizio Appello del 15 giugno 2021 Esercizio.(12 punti) Si consideri la funzione(1;1)f !R f(x) = (1 +x) ln(1 +x) + (1x) ln(1x)2x2 (1) 1.fè pari, dispari oppure né pari né dispari? Spiegare. Esiste una estensione continua difall'intervallo chiuso [1;1]? Spiegare. 2. Calcolare la derivata primaf0 e la derivata secondaf00 . 3. Scrivere la formula di Taylor-Maclaurin centratax 0= 0 dellafunzione derivataf0 , arrestata al primo ordine (scrivendo l'opportuno termineo-piccolo). Dimostrare che esiste un puntoc2(0;1)in cui la funzione derivata f0 si annulla. 4. Determinare gli intervalli in cuifè convessa o concava e stabilire l'esistenza di eventuali punti di esso. 5. Disegnare un graco qualitativo della funzionef. 6.Usando la denizionedi integrale generalizzato, stabilire se è convergente l'integrale Z1 0ln( x)dx(2) (Soluzioni nella pagina seguente). Soluzioni 1. La funzionefsoddisfaf(x) =f(x)per ognix2(1;1); quindifè pari. Poiché lim x!1f (x) = 2 ln 2 + 02 = 2 ln(2)2 ( 0:6137) (si ricordi chetlnt!0pert!0+ ) e quindi (fè pari) anchelim x!1+ f(x) = 2 ln(2)2, concludiamo che esiste una (unica) estensione continua difa[1;1]. 2.f0 (x) = ln(1 +x)ln(1x)4x.f00 (x) =11+ x+11 x 4 =4 x2 21 x2 3.f0 (x) =2x+o(x), perx!0. Ovviamente, non ha senso applicare il teorema degli zeri af0 sull'intervallo [0;1], sia perchéf0 non è continua su[0;1], sia perché non assume valori di segno discorde negli estremi0e 1: infatti,f0 non è denita inx 0= 1 ef0 (0) = 0.Figura 1: Graco di f0 Osserviamo però che: (a)f0 (x)!+1perx!1 , quindi vicino a1esisteb(b 0; (b) daf0 (x) =2x+o(x), perx!0, segue che vicino a0esiste un puntoa(a >0) in cuif0 (a)0(fconvessa) perx2(1;1p 2 ) [(1p 2 ; 1)ef00 (x)