Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Esercizio Terzo Appello (12 luglio 2021) Esercizio.(12 punti) Si consideri la funzione(1;1)[(1;+1)f !R f(x) = arctan11 x; x 6 = 1(1) 1. Si determinino eventuali simmetrie e asintoti. 2. Stabilire se esistefuna estensione continua difaR. 3. Calcolare la derivataf0 . Trovare eventuali punti di massimo o minimo difsul suo dominioRn f1g. 4. Calcolare la derivataf00 . Stabilire dovefè convessa e dove è concava. 5. Tracciare un graco qualitativo dif. 6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 difinx 0= 0 . (Soluzioni nella pagina seguente). Soluzioni 1. La funzionefnon è né pari né dispari. Il graco difè però simmetrico rispetto al punto(1;0). (Cioè, se il puntoPappartiene al graco dif, allora anche il simmetricoP0 diPrispetto a(1;0)vi appartiene). Inoltre, lim x!1f (x) = 0; lim x!1f (x) =2 ; lim x!1+f (x) =2 ; lim x!+1f (x) = 0: Pertanto, la funzionefha l'asintoto orizzontaley= 0sia perx! 1, sia perx!+1, e non ha asintoti verticali o obliqui. 2. Dalim x!1f (x) =2 lim x!1+f (x) =2 segue chefha inx 0= 1 una discontinuità non eliminabile. Pertanto, non esiste una estensione continua di faR. 3. La funzionefè derivabile in ogni punto del suo dominio(1;1)[(1;+1)e f0 (x) =11 + 1(1 x)21(1 x)2=11 + (1 x)2(=1x 2 2x+ 2) (2) Per ognixnel dominio dif, si haf0 (x)>0. Non ci sono punti di massimo o minimo (né locali, né globali). 4.f00 (x) =2(1 x)(1 + (1 x)2 )2. La funzione fè convessa (concavità verso l'alto) su(1;1)e concava (concavità verso il basso) su(1;+1). 5. Il graco qualitativo difè il seguente:Figura 1: Graco dif(x) = arctan11 x. Per x!1 ,f(x)! =2. Quindi, non esiste un'estensione continua difaR. 6. Il polinomio di Taylor di ordine 2 difinx 0= 0 è dato daf(0) +f0 (0)x+f 00 (0)2! x2 , ossia 4 + 12 x +14 x 2 (3) Infatti,f(0) =4 , f0 (0) =12 , f00 (0) =12 .