Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Politecnico di Milano  Ingegneria Aerospaziale/Energetica/Meccanica Analisi e Geometria 1, A.A. 2021-2022, Scaglione RA-STR Terzo appel lo  15 giugno 2022  Durata: 2 ore e 15 minuti Cognome e Nome:Codice Persona: Questionario (20 punti, soglia sucienza 10) Quesito 1. (1 risposta corretta, 1 punto) Si consideri la successionea n= n2 +7n 2 +n , conn >0, e l'insiemeAdei suoi termini: A=fa nj n2N; n >0gA( a n) n1è strettamente crescente.Blim n!1a n< 0.Clim n!1a n= + 1.DL'insieme Anon ha massimo.ENessuna delle altre aermazioni è corretta. X Quesito 2.(1 risposta corretta, 1 punto) SianoA=fz2C: 1 jzj 2;0arg(z)3 g eB=fz2C: Re(z)0Im(z)g. Allora:ASe z2A, alloraz 2B.BSe z2A, alloraiz2B. XCL'intersezione A\ fiz:z2Bgnon è vuota.DL'intersezione A\ fz :z2Bgnon è vuota.ENessuna delle altre aermazioni è corretta. Quesito 3.(1 risposta corretta, 2 punti) Si consideri l'equazionez4 =z
 p3 2 +12 i inC. Allora:ASe z 0è una soluzione, allora anche z 0
iè una soluzione.BSe z 0è una soluzione, allora anche z 0
e2 3 i è una soluzione. XCTutte le soluzioni giacciono su una circonferenza centrata nell'origine. De  i3 è una soluzione.ENessuna delle altre aermazioni è corretta. 1 Quesito 4. (1 risposta corretta, 1 punto) Si consideri il limite lim x!0ln(1 + x5 )3 x2 sin(x3 ): Allora:AIl limite vale 1.BIl limite vale 12 .CIl limite vale 13 . XDIl limite non esiste in R.ENessuna delle altre aermazioni è corretta. Quesito 5.(2 risposte corrette, 2 punti) Si consideri la funzionef:R!R,f(x) = 2 + arctg(x). Allora:Af è sempre positiva. XBf ammette uno e un solo zero.Cf ammette almeno due zeri.Df non ammette alcun asintoto (orizzontale, obliquo o verticale).Ef ammette almeno un asintoto (orizzontale, obliquo o verticale). X Quesito 6.(1 risposta corretta, 2 punti) Siaf: (a; b)!Rderivabile conlim x!a+ f (x) = lim x!b f (x)2R. Allora:AEsiste al massimo un c2(a; b)tale chef0 (c) = 0.BEsiste almeno un c2(a; b)tale chef0 (c) = 0. XCNon esiste alcun c2(a; b)tale chef0 (c) = 0.Df non può essere costante.ENessuna delle altre aermazioni è corretta. Quesito 7.(2 risposte corrette, 2 punti) Si consideri la funzionef:R!Rcosì denita f(x) =( arctg(x2 ) cos 1x 3
sex6 = 0, 0sex= 0. Allora:Af non è continua inx= 0.Bf è continua ma non derivabile inx= 0.Cf è derivabile inx= 0. XDPer x6 = 0,f0 (x) =cos 1x 3
x 4 + 1sin 1x 3
arctg(x)3 x2.EPer x6 = 0,f0 (x) =3 sin 1x 3
arctg(x2 )x 4+2 xcos 1x 3
x 4 + 1. X 2 Quesito 8. (1 risposta corretta, 1 punto) La funzionef:R!Rcosì denita f(x) = cos(p2 x) + ex 2 2 è tale che, perx!0,Af (x) =o(x4 ).Bf (x)x2 .Cf (x)x4 .Df (x)x6 .ENessuna delle altre aermazioni è corretta. X Quesito 9.(1 risposta corretta, 1 punto) Si consideri l'integrale improprioZ1 0sin(1 x)x  (1x2 )dx: con2(0;+1):AL'integrale converge se e solo se  0(3)Studiare i limiti di fal bordo diDe determinare gli eventuali asintoti. limx!1+ f (x) =1.lim x!1 f (x) = 0. Un unico asintoto (verticale):x=1.(4)Calcolare la derivata f0 (x)(nei puntixin cuifè derivabile). Perx 0,f0 (x) =5 x3 6x2 12 p1 x(1 +x3 )2.(5)Trovare gli eventuali punti in cui fnon è derivabile. fnon è derivabile inx= 0, perché inx 0= 0 la derivata sinistra difvale1=2e la derivata destra vale 1=2.(6)Calcolare: lim x!1+f 0 (x) lim x!0f 0 (x) Cosa si può dedurre circa l'esistenza di un punto estremante perf? Perx