Energy Engineering - Analisi e geometria 1

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Politecnico di Milano  Ingegneria Aerospaziale/Energetica/Meccanica Analisi e Geometria 1, A.A. 2021-2022 Appello 7 Settembre 2022 Durata: 2 ore e 15 minuti Cognome e Nome:Codice Persona: Questionario (20 punti) Quesito 1. (1 risposta corretta, 1 punto) Si consideri la funzionef:C!Cdenita daf(z) =z2 per ogniz2C. Allora:AOgni gli elementi del codominio hanno esattamente 2 controimmagini. BAlmeno un elemento del codominio ha 4 controimmagini. CAlmeno un elemento del codominio ha innite controimmagini. Df è iniettiva.Ef è suriettiva. X Quesito 2.(2 risposte corrette, 2 punti) Siaz=1 +p3 i p 3 + i . Allora:Aj zj= 1 XBz =p3 + i Cz =p3 2 +12 i XDarg z+ argz ==2Ej zj= 2 Quesito 3.(1 risposta corretta, 1 punto) Sia(a n) n2Nuna successione di numeri reali. AlloraAse (a n) n2Nè strettamente monotòna, allora è convergente.Bse (a n) n2Nè convergente, allora è strettamente monotòna.Cse (a n) n2Nè limitata, allora è convergente.Dse (a n) n2Nè convergente, allora è limitata. XENessuna delle altre aermazioni è corretta. 1 Quesito 4. (1 risposta corretta, 1 punto) Il limite lim x!01x  log(1 +x)x xlog(1 + x)Anon esiste Bvale 1 XCvale 1Dvale +1Evale 1 Quesito 5.(2 risposte corrette, 2 punti) Si consideri la funzionef:R!Rdenita daf(x) = arctg(sinx). AlloraAf è pariBf è illimitataCf possiede inniti zeri XDf possiede un asintoto orizzontale perx!+1Ef 0 (x) =cos x2 cos2 x. X Quesito 6.(2 risposte corrette, 2 punti) Siaf: [1;1]!Runa funzione derivabile tale chef(1) = 0,f(0) = 1ef(1) =1. AlloraAesiste almeno un x 02 (1;0)tale chef0 (x 0) = 0Besiste almeno un x 02 (0;1)tale chef(x 0) = 0 XCesiste almeno un x 02 (1;1)tale chef0 (x 0) = 0 XDf 0 non si annulla maiENessuna delle altre aermazioni è corretta. Quesito 7.(2 risposte corrette, 2 punti) Si consideri la funzionef:R!Rdenita da f(x) =( x2 arctg1x se x6 = 0 0sex= 0: AlloraAf è continua inx 0= 0 XBf non è derivabile inx 0= 0Cf è derivabile inx 0= 0 ef0 (0) =1Df è derivabile inx 0= 0 ef0 (0) = 1Ef è derivabile inx 0= 0 ef0 (0) = 0 X 2 Quesito 8. (2 risposte corrette, 2 punti) Siaf:R!Runa funzione derivabile quattro volte inx 0= 0 tale che f(x) = 1x 33 + x4 +o(x4 )x!0: AlloraAf possiede un punto di massimo inx 0= 0Bf possiede un punto di minimo inx 0= 0Cf 0 (0) = 0 XDf (3) (0) =2 XEf (4) (0) = 1 Quesito 9.(1 risposta corretta, 1 punto) L'integrale generalizzatoZ+1 0arctg(2 x)1 + 4 x2d xAconverge e vale 4 Bconverge e vale  24 Cconverge e vale  28 Dconverge e vale  216 XEnon converge. Quesito 10.(1 riposta corretta, 1 punto) Si consideri la funzioneF:R!Rdenita daF(x) =Z x 0e t21 + t2d t. AlloraAF è pariBF è strettamente monotòna XCF non possiede asintoti orizzontaliDF ammette inniti punti estremantiENessuna delle altre aermazioni è corretta. Quesito 11.(1 risposta corretta, 1 punto) La serieX n0( 1)npn n + 1Aconverge assolutamente. Bconverge semplicemente, ma non assolutamente. XCdiverge a +1Ddiverge a 1ENessuna delle altre aermazioni è corretta. 3 Quesito 12. (2 risposte corrette, 2 punti) Sianouevdue vettori ortogonali diR3 . AlloraAk uk=kvkBk uk=kvk= 1Ck u+vk=kuvk XDk uvk=kuk
kvk XEuna sola delle altre aermazioni è corretta. Quesito 13.(1 risposta corretta, 1 punto) Le due rette r:8 > < > :x = 1 +t y= 4t z=ted s:8 > < > :x = 1u y= 2u z= 2 +uAsono coincidenti Bsono parallele, ma non coincidenti Csono incidenti in un punto XDsono sghembe Esono ortogonali. Quesito 14.(1 risposta corretta, 1 punto) La lunghezza dell'arco di curva parametrizzata diR3 C(t) = (cost;sint; et );0t1 è data dall'integrale:AR 1 0(1 + e2 t )dtBR 1 0(sin( t) + cos(t) +e2 t )dtCR 1 0p1 + e2 t dt XDR 1 0psin( t) + cos(t) +e2 t dtENessuna delle altre aermazioni è corretta. 4 Esercizio carta e penna (6 punti) (Motivare le risposte sul retro del foglio) Si consideri la funzionef(x) =x1 + x2 arctgx; x2R (1)Determinare eventuali simmetrie e asintoti della funzionef. fè pari, dispari, né pari né dispari?Risposta:.................................................Eventuali asintoti: (2)Calcolare la derivata prima f0 determinandone l'insieme di denizione.(3)Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (locale e globale). (4)Calcolare la derivata seconda f00 determinandone l'insieme di denizione.(5)Stabilire dove fè convessa e dove è concava. Trovare gli eventuali punti di esso.(6)Tracciare un graco qualitativo della funzione f.5 Teoria (6 punti) (1)Enunciare e dimostrare il teorema sulla integrabilità (in senso genealizzato) di 1=xa (a2R) in un intorno di+1. (2)Enunciare e dimostrare il teorema di monotonia per le funzioni derivabili su un intervallo. 6 Analisi e Geometria 1, Quarto appello, 7 Settembre 2022 Esercizio carta e penna 
Esercizio Studiare la funzione f(x) =x1 + x2 arctgx: 
Soluzione 1. Il dominio difèD=R. Inoltre, essendo somma di due funzioni dispari, anchefè dispari. Poichélim x!+1f (x) =2 e lim x!1f (x) =2 ; la funzione presenta un asintoto orizzontale, di equazioney==2, perx!+1e un asintoto orizzontale, di equazioney==2, perx! 1. Non ci sono altri asintoti. 2. Si haf0 (x) =1 x2(1 + x2 )211 + x2= 2 x2(1 + x2 )2: La funzionef0 è denita su tuttoD. 3. Si haf0 (x) = 0()x= 0; f0 (x)0() 1< x 1 f00 (x)