Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Second partial exam

Es. 2Es. 3Es. 4T.Totale Docente: Gianluca Mola 27/1/2009 Ing. Industriale Cognome: Nome: Matr. Dire per quali valori del parametro realeal'integrale I=Z 1 0(ex ¡1¡x)(1¡x)2=3 21 Dato il problema di Cauchy 8 < :xp mostrare che esso ammette esattamente una soluzione; (b) determinare tale soluzione. L'equazione di®erenziale data µe del primo ordine a variabili separabili e in forma normale diventa y0 =a(x)b(y) =¡x Separando le variabili si ha y Nello spazio euclideo tridimensionaleR3 , si considerino il puntoP= (1;0;2), e il piano ¦ ® di equazione x¡®y+z+ 2 = 0; Scrivere l'equazione della rettar ®passante perPe ortogonale a ¦ ®; (b) calcolare le coordinate diQ ®, punto di intersezione tra ¦ ®er ®; (c) calcolare per quali®la distanza traPeQ ®risulta massima. Poichµe il vettore ortogonale a ¦ ®risulta essere [1;¡®;1]T , una possibile equazione parametrica dir ®µe 8 < :x=t+ 1; y=¡®t; z=t+ 2; t2R: (b) Sostituendo le espressioni della rappresentazione parametrica calcolata al punto prece- dente nell'equazione di ¦ ®, otteniamo t+ 1¡®(¡®t) +t+ 2 + 2 = 0; ®2 + 2;¡5 Calcoliamo la distanza traPeQ ®, usando la de¯nizione: d(Q ®; P) =s µ ¡5 ®2 + 2¶ 2 +µ ¡5 µ 5 Calcolare la massa totale e le coordinate del baricentro dell'elica cilindrica di equazioni parametriche 8 > < > :x=rcosµ y=rsinµ z=h µµ2[0;2¼] (r; h¸0) munita della densitµa di massa½(µ) = 1 + cosµ. Es. 2Es. 3Es. 4T.Totale Docente: Gianluca Mola 27/1/2009 Ing. Industriale Cognome: Nome: Matr. Dire per quali valori del parametro realeal'integrale I=Z 1 0(1 +x¡ex )p Dato il problema di Cauchy 8 < :xp mostrare che esso ammette esattamente una soluzione; (b) determinare tale soluzione. Nello spazio euclideo tridimensionaleR3 , si considerino il puntoP= (2;0;1), e il piano ¦ ® di equazione x+®y+z+ 2 = 0; Scrivere l'equazione della rettar ®passante perPe ortogonale a ¦ ®; (b) calcolare le coordinate diQ ®, punto di intersezione tra ¦ ®er ®; (c) calcolare per quali®la distanza traPeQ ®risulta massima. Equazione parametrica dir ® 8 < :x=t+ 2; y=®t; z=t+ 1; t2R: (b) Coordinate diQ ® Q ®=µ ¡5 ®2 + 2;¡5 Distanza traPeQ ® d(Q ®; P) =5 Calcolare la massa totale e le coordinate del baricentro dell'elica cilindrica di equazioni parametriche 8 > < > :x=rcosµ y=rsinµ z=h µµ2[0;2¼] (r; h¸0) munita della densitµa di massa½(µ) = 1¡cosµ.