Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Second partial exam

Analisi e Geometria 1 Seconda prova in itinere 01 Febbraio 2010 Compito A Docente: G. MOLA Politecnico di Milano Ingegneria Industriale 1.(a) Calcolare il seguente integrale denito:1 ∫ 0(2 x+ 2) arctanx dx PRIMITIVA: (x2 + 2x+ 1) arctanxln(x2 + 1)x+c INTEGRALE:ln 2 +1 (b) Stabilire se il seguente integrale generalizzato e convergente:+∞ ∫ 0ln(1 + x) sin2 x (1 +x)x7 =2dx Indicata confla funzione integranda, perx!0+ risultaf(x)1 √ x e perx!+1risultajf(x)j=o(1 x7 =2), per cui L'INTEGRALE E CONVERGENTE. 2.Siarla retta intersezione dei piani di equazionixy+ 2z1 = 0 e 2x+y+z= 0. (a) Determinare una rappresentazione parametrica della rettar. {x=1 3 t y=2 3+ t z=t (b) Scrivere l'equazione del piano ortogonale arche passa per il puntoP(0;1;2). x+y+z3 = 0 (c) Calcolare la distanza del puntoPdalla rettar. PUNTO DI INTERSEZIONE RETTA-PIANO:H( 1;2 3; 4 3) DISTANZA PUNTO-RETTA: P H=p 14 3 3.Sia l'arco di curva di equazioni parametriche {x= cost y= sint z=tcon 0 t2 : (a) Calcolare il versoreTtangente a nel puntoPdella curva corrispondente al valoret=. T=p 2 2j +p 2 2k (b) Scrivere l'equazione del piano che passa perPparallelo aTe al vettorev=i+ 2j+k. 3(x+ 1) +y+ (z) = 0 (c) Calcolare∫ p 2xyz ds. 2 ∫ 0t sin 2t dt= 4.Risolvere il seguente problema di Cauchy:     y ′ =y t2 t y(2) =1 2 ∫1 ydy =∫ 1 t2 tdt y=kt 1 t y(2) =1 2() k= 1 Analisi e Geometria 1 Seconda prova in itinere 01 Febbraio 2010 Compito B Docente: G. MOLA Politecnico di Milano Ingegneria Industriale 1.(a) Calcolare il seguente integrale denito:1 ∫ 0(2 2x) arctanx dx PRIMITIVA: (x2 + 2x1) arctanxln(x2 + 1) +x+c INTEGRALE: 1ln 2 (b) Stabilire se il seguente integrale generalizzato e convergente:+∞ ∫ 0ln(1 + x2 ) sinx (1 +x)x7 =2dx Indicata confla funzione integranda, perx!0+ risultaf(x)1 √ x e perx!+1risultajf(x)j=o(1 x7 =2), per cui L'INTEGRALE E CONVERGENTE. 2.Siarla retta intersezione dei piani di equazioniyx+ 2z1 = 0 e 2y+x+z= 0. (a) Determinare una rappresentazione parametrica della rettar. {x=2 3+ t y=1 3 t z=t (b) Scrivere l'equazione del piano ortogonale arche passa per il puntoP(1;0;2). xy+z3 = 0 (c) Calcolare la distanza del puntoPdalla rettar. PUNTO DI INTERSEZIONE RETTA-PIANO:H( 2 3; 1;4 3) DISTANZA PUNTO-RETTA: P H=p 14 3 3.Sia l'arco di curva di equazioni parametriche {x= sint y= cost z=tcon 0 t2 : (a) Calcolare il versoreTtangente a nel puntoPdella curva corrispondente al valoret=. T=p 2 2j +p 2 2k (b) Scrivere l'equazione del piano che passa perPparallelo aTe al vettorev=2i+j+k. x+ (y+ 1) + (z) = 0 (c) Calcolare∫ p 2xyz ds. 2 ∫ 0t sin 2t dt= 4.Risolvere il seguente problema di Cauchy:     y ′ =y tt2 y(2) =1 2 ∫1 ydy =∫ 1 tt2dt y=kt t1 y(2) =1 2() k=1 4