Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Second partial exam

Politecnico di Milano, Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Analisi e Geometria 1 - Seconda Prova - 2 Febbraio 2016 Terza parte (Compito A) Sia data, per ogni valore del parametro reale, la funzione f( x) =epx 1(sin x)1 ; x 2(0;1]: a.Stabilire per qualiconverge l'integraleZ 1 0f ( x)dx; b.calcolare il valore dell'integrale per= 1. Soluzioni a.Notiamo preliminarmente che la funzionef e continua su tutto l'intervallo di integrazione, e di conseguenza tale integrale e un integrale generalizzato di prima specie. Inoltre,f e positiva su (0;1]. E' pertanto possibile applicare il criterio del confronto asintotico. Poiche, perx!0+ , vale la relazione f( x)x 1 =2x 1 = x 1=2+ ; si ha quindi cheZ1 0f ( x)dx8 < :converge () 1=2 + >1() >1=2 diverge() 1=2 + 1() 1=2: b.Sia= 1. Poiche Z  epx 1 dx= 2epx px 1
x+cost abbiamoZ1 0f 1( x)dx= lim "!0+Z 1 " epx 1 dx= lim "!0+h 2epx px 1
xi 1 "= = lim"!0+h 12ep" p" 1
+"i = = 1: Calcolare il limite seguente: limx!0f (x)g (x) con:f(x) =ex +ln(1 +x)12x g(x) = 1 +32  sin(2x) + 2x2  (1 +x)3 Disegnare un andamento qualitativo diy=f(x) ey=g(x) nell'intorno dix= 0. Soluzioni Il numeratore e' asintotico a:f(x) 1 +x+x 22! + x 33!  + xx 22 + x 33  12x f(x)12 x 3 Il denominatore e' asintotico a:g(x)1 +32  2x(2 x)33! + 2 x2  1 + 3x+ 3x2 +x3  g(x) 3x3 Quindi:limx!0f (x)g (x)= lim x!012 x3 3x3= 16 Per i graci si disegnano gli andamenti di12 x3 perf(x) e di3x3 perg(x) nell'intorno dell'origine. Sia la curva rappresentata parametricamente dalle equazioni 8 > < > :x =t3 t y=t2 + 1 z=2t3 +t2 + 2t+ 2: i) Vericare che e una curva piana, determinando una equazione del pianoche la contiene. ii) Dopo aver vericato che il puntoP 0 (0;2;3) e un punto doppio di , determinare il coseno di uno dei due angoli (supplementari) formati dalle due tangenti a inP 0. iii) Scrivere l'equazione della sfera di centroC(0;1;1) tangente al piano. Soluzioni i) Consideriamo l'equazione di un generico pianoax+by+cz+d= 0. Il piano contiene la curva se e solo se risultaa(t3 t) +b(t2 + 1) +c(2t3 +t2 + 2t+ 2) +d= 0 per ogni valore del parametrot. Cio equivale a dire che il polinomio (a2c)t3 + (b+c)t2 + (2ca)t+b+ 2c+de il polinomio nullo. Risolvendo il sistema a2c= 0b+c= 02ca= 0b+ 2c+d= 0; si ottengono | oltre alla soluzione banalea=b=c=d= 0 | le innite soluzioni proporzionali a=2kb=kc=kd=k conk6 = 0, che corrispondono a un unico piano che contiene la curva. Posto ad esempiok=1, si vede che il pianopuo essere rappresentato dall'equazione 2xy+z1 = 0. ii) Il puntoP 0ha la seconda coordinata uguale a 2. La seconda coordinata del generico punto di e uguale a 2 se e solo set=1. Sostituendo tali valori nelle altre due coordinate, si vede che il puntoP 0corrisponde sia al valore t= 1 che al valoret=1, per cui e un punto doppio. Postor(t) = (t3 t; t2 + 1;2t3 +t2 + 2t+ 2), risultar0 (t) = (3t2 1;2t;6t2 + 2t+ 2) e quindi r0 (1) = (2;2;2),r0 (1) = (2;2;6). Un angolo formato dalle due tangenti a inP 0e uguale all'angolofra i vettorir0 (1) er0 (1), per cui risulta cos=r 0 (1)
r0 (1)j r0 (1)jjr0 (1)j= 3p 33 =p33 11 : Il coseno dell'altro angolo e ovviamente uguale ap33 =11. iii) Il raggioRdella sfera in questione e uguale alla distanza del puntoCdal piano, per cui risulta R=j 1 + 11jp 4 + 1 + 1 = 1p 6 : L'equazione della sfera cercata e quindi x2 + (y1)2 + (z1)2 =16 : Politecnico di Milano, Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Analisi e Geometria 1 - Seconda Prova - 2 Febbraio 2016 Terza parte (Compito B) Sia data, per ogni valore del parametro reale, la funzione f( x) =epx 1(arctan x); x 2(0;1]: a.Stabilire per qualiconverge l'integraleZ 1 0f ( x)dx; b.calcolare il valore dell'integrale per= 0. Soluzioni a.Notiamo preliminarmente che la funzionef e continua su tutto l'intervallo di integrazione, e di conseguenza tale integrale e un integrale generalizzato di prima specie. Inoltre,f e positiva su (0;1]. E' pertanto possibile applicare il criterio del confronto asintotico. Poiche, perx!0+ , vale la relazione f( x)x 1 =2x = x1 =2 ; si ha quindi cheZ1 0f ( x)dx8 < :converge ()1=2 >1()