Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Raccolta di integrali immediati, logaritmi e formule di trigonometria

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Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 Dott.ssa Sandra Lucente 1 Tabelle per l’integrazione Integrali elementari L’integrale indefinito rappresenta l’insieme delle primitive di una funzione, la tabella successiva d`a solo una delle primitive. Nella tabella viene sottointeso il dominio delle funzioni. La tabella ha validit`a su ogni INTERVALLO contenuto nell’intersezione del dominio della funzione con il dominio della primitiva. In particolare su questi INTERVALLI due primitive diÆeriscono di una costante. funzione primitiva xÆ xÆ+1 Æ+1 Æ 6=1 1x lg |x| 1x2+1 arctg x 1 p1°x2 arcsen x sen x ° cos x cos x sen x 1cos 2x tgx 1sen 2x cotg x ex ex ax ax lga senh x cosh x cosh x senh x 1 p1+ x2 settsenh x=lg( x+ p1+ x2) 1 px2°1 settcosh x=lg( x+ px2° 1) Integrali immediati Dalla regola di derivazione delle funzioni composte D(f(')) = f0(')'0 si deduce la prima regola di sostituzione (ovvero quella usata per gli integrali immediati) Z f0(')(x)'0(x)dx = f('(x)) + C. 1Questi appunti potrebbero contenere sviste ed errori, vi prego di segnalarmeli, ad esempio via email. Versione del 20-05-08 1 2 Integrazione per parti Dalla regola di derivazione del prodotto D(fg )= f0g+ fg 0 si deduce la regola di integrazione per parti Z f(x)g0(x)dx = f(x)g(x)° Z f0(x)g(x)dx. La funzione g (che viene sempre integrata) si chiama fattore diÆerenziale, la funzione f (che viene derivata nell’integrale a secondo membro) si chiama fattore integrale. Nella successiva tabella vediamo ALCUNI casi notevoli di integrazione per parti integrale fattore diÆerenziale RxneÆx dx n 2 N,Æ 2 R eÆx RxÆlg xdxÆ 2 R xn Rxnarctg( x)dx n 2 N xn Rxncos xdx n 2 N cos x Rxnsen xdx n 2 N sen x Rarcsen xdx 1 Rpax 2+ bx + cdx 1 ReÆx sen Øx d xÆ,Ø 2 R eÆx oppure sen Øx ReÆx cos Øx d xÆ,Ø 2 R eÆx oppure cos Øx Rsen( Æx )sen( Øx )dxÆ,Ø 2 R sen Æx oppure sen Øx Rsen( Æx ) cos( Øx )dxÆ,Ø 2 R sen Æx oppure cos Øx Rcos( Æx ) cos( Øx )dxÆ,Ø 2 R cos Æx oppure cos Øx La formula di integrazione per parti si applica in generale ripetutamente e molto spesso ci si trova in una situazione del genere: Z (f(x))mg0(x)dx = h(x)+ K Z (f(x))kg0(x)dx con k∑ m,K 2 R ed huna opportuna funzione. Vi sono allora varie possibilit`a • Ripartire con l’integrazione per parti fino a ridursi a k 0 a(x° x1)(x° x2) R 1 a(x°x1)(x°x2)dx integrale elementare di tipo lg dopo identit`a dei polinomi ¢=0 a(x+ b2a)2 R 1a(x+ b2a)°2dx integrale elementare di tipo potenza ¢ < 0 a(x+ b2a)2+ °¢4a R 4a°¢ 1 ≥2ax+b p°¢ ¥2+1 dx integrale elementare di tipo arctg Integrazione di funzioni razionali con denominatore di ordine superiore al secondo Si considerano due polinomi P, Q tali che degP < deg Q = n. Ricordiamo che un polinomio Q(x)= a0+ ··· + anxn con coe±cienti reali a0,...,a n2 R,an6= 0. si pu`o decomporre nel modo seguente: Q(x)= an(x° x1)h1··· (x° xp)hp(x2+ b1x+ c1)k1··· (x2+ bqx+ cq)kq dove x1,...,x psono le radici reali di P aventi rispettivamente molteplicit`a h1,...,h p,e k1,...,k q sono le molteplicit`a delle radici complesse coniugate dei termini x2+ b1x+ c1,...,x 2+ bqx+ cqcon ¢1= b21° 4c1< 0,..., ¢q= b2q° 4cq< 0.Inoltre h1+ ··· + hp+ 2( k1+ ··· + kq)= n. Riduzione in fratti semplici. Si possono trovare n numeri reali A1,1,...,A 1,h1...,A p,1,...,A p,h pB1,1,C 1,1,...,B 1,k1,C 1,k1,...,B l,1,C l,1,...,B l,kq,C l,kq tali che P(x) Q(x)= A1,1 x° x1+ A1,2 (x° x1)2+ ··· + A1,h1 (x° x1)h1+ ··· + Ap,1 x° xp+ Ap,2 (x° xp)2+ ··· + Ap,h p (x° xp)hp+ + B1,1x+ C1,1 x2+ b1x+ c1+ B1,2x+ C1,2 (x2+ b1x+ c1)2+ ··· + B1,k1x+ C1,k1 (x2+ b1x+ c1)k1+ + ··· + Bq,1x+ Cq,1 x2+ bqx+ cq+ Bq,2x+ Cq,2 (x2+ bqx+ cq)2+ ··· + Bq,k qx+ Cq,k q (x2+ bqx+ cq)kq Formula di Hermite. Esistono delle costanti A1,...,A p,B 1,C 1,...,B q,C q e un polinomio P1tale che degP 1= n° p° 2q° 1 tali che: P(x) Q(x)= A1 x° x1+ A2 x° x2+ ··· + Ah x° xh+ + B1x+ C1 x2+ b1x+ c1+ B2x+ C2 x2+ b2x+ c2+ ··· + Bqx+ Cq x2+ bqx+ cq + d dx µ P1(x) (x° x1)h1°1··· (x° xh)hp°1(x2+ b1x+ a1)k1°1··· (x2+ bqx+ cq)kq°1 ∂ 4 Integrazione per sostituzione per funzioni composte con funzioni razionali Dalla regola di derivazione delle funzioni composte otteniamo che Z f('(x))'0(x)dx = Z f(t)dt. essendo '(x)= t. Indichiamo con R(f1,...,f k) una funzione razionale, cio`e il rapporto di due polinomi nelle variabili f1,...,f k. Nella successiva tabella riportiamo ALCUNE sostituzioni che riconducono un integrale in cui com- paiono funzioni trascendenti o irrazionali ad integrale di quoziente di polinomi integrale assegnato sostituzione consigliata integrale ottenuto R R(lg x) x dx t=lg x RR(t)dt RR(xÆ)xÆ°1dx t= xÆ 1Æ°1 RR(t)dt RR(cos( x))sen xdx t= cos x ° RR(t)dt RR(sen( x)) cos xdx t=sen x RR(t)dt RR(ax)dx ax= t 1lga RR(t)1tdt RR(sen x, cos x)dx t=tg x/ 2 RR ≥ 2tt2+1 ,1°t2 1+ t2 ¥ 21+ t2dt RR(sen 2x, cos 2x, sen xcos x, tgx)dx t=tg x ... Funzioni razionali con argomento irrazionale. Regola generale Siano Æ,Ø,∞,± 2 R con Ʊ ° ∞Ø 6= 0 (oppure Æ = ∞=1 e Ø= ±= 0). Siano m1,...,m k,n 1,...,n k2 N§con mi/n iridotto ai minimi termini. Per l’integrale Z R √ x, µÆx + Ø ∞x + ± ∂m1/n1 ,..., µÆx + Ø ∞x + ± ∂mk/nk! dx `e opportuna la sostituzione tµ= µÆx + Ø ∞x + ± ∂ ,µ = m.c.m {n1,...,n k}. In tabella riportiamo particolari casi della precedente formula integrale sostituzione RR °x, mpax + b¢dx ax + b= tm RR °x, x m1/n1,...,x mk/nk¢dx tµ= xµ = m.c.m {n1,...,n k} RR ≥ x, mq ax+b cx+d ¥ dx tm = ax+b cx+d 5 Notiamo che altre sostituzioni solo altrettanto convenienti. Ad esempio per Z R ≥ x, p a2° x2¥ dx si pu`o usare x= asen t Inoltre possiamo trattare casi in cui l’argomento della radice non sia sempre lo stesso. Ad esempio per Z R(x, pax + b,pcx + d)dx usare la sostituzione pax + b= t che riporta ad irrazionali di trinomi di secondo grado che ora discutiamo. integrale a> 0,¢ 6=0 segno di¢ sostituzione RR ≥ x, pax 2+ bx + c ¥ dx ¢ 6=0 pa(t° x)= pax 2+ bx + c RR ≥ x, p°ax 2+ bx + c ¥ dx ¢ > 0,radici x1,x 2 t= q ax2°x x°x1 DiÆerenziali Binomi Z xm(ax p+ b)qd x, m, p, q 2 Q. Tale integrale `e razionalizzabile nei seguenti casi ponendo t= xp: • q2 Z • m+1p 2 Z • m+1p + q2 Z OSSERVAZIONE Per quanto dettagliate possano essere le tavole degli integrali... la maggiorparte delle funzioni NON ammettono una primitiva che abbia una espressione analitica esplicita come quella cercata in queste tavole! Analisi Matematica e Geometria Emanuele MunariniLogaritmi Definizione 1 Siano b, x 2 R , b> 0, b6=1 , x> 0.Il logaritmo in base a di x, indicato con log ax, `e il numero reale y tale che x= by. In altre parole log bx= y () x= by Il logaritmo naturale , o neperiano, di x, indicato con ln x, `e il logaritmo in base e di x, ossia ln x:= log ex. Definizione 2 La funzione logaritmo di base b `e la funzione log b(): (0 ,+1 )! R che ad ogni numero reale positivo x associa log ax. log a1=0 , log aa=1 ,a log ab= b log ab= 1 log ba log a(xy ) = log ax+ log ay (x, y > 0) log a x y = log ax log ay (x, y > 0) log ax↵= ↵log ax (x> 0,↵ 2 R) log a np x= 1 n log ax (x> 0,n 2 N \{ 0}) log a↵x= 1 ↵ log ax (x> 0,↵ 2 R) log 1 ax= log ax log ab x= 1 1log ax + 1 log bx , log a bx= 1 1log ax 1 log bx log ab= log cb log cb= log cb·log ac d dxlog bx= 1 ln b·1 x, d dxln x= 1 xLogaritmi 1 Formule di trigonometria Funzioni circolari sin x= X n0 (1) n x2n+1 (2 n+ 1)! cos x= X n0 (1) n x2n (2 n)! tan x= sin x cos x ctg x= cos x sin x Relazione fondamentale sin 2x+ cos 2x=1 Formule di addizione e sottrazione sin( x± y) = sin x·cos y± cos x·sin y cos( x± y) = cos x·cos y⌥ sin x·sin y tan( x± y)= tan x± tan y 1⌥ tan x·tan y ctg ( x± y)= ctg x·ctg y⌥ 1 ctg y± ctg x Formule di duplicazione sin 2 x= 2 sin x·cos x cos 2 x=cos 2x sin 2x=2 cos 2x 1=1 2 sin 2x tan 2 x= 2 tan x 1 tan 2x ctg 2 x= ctg 2x 1 2ctg x Formule di bisezione 1 sin x 2 = ± r 1 cos x 2 cos x 2 = ± r 1 + cos x 2 tan x 2 = ± r 1 cos x 1 + cos x ctg x 2 = ± r 1 + cos x 1 cos x Formule di prostaferesi sin x+ sin y= 2 sin x+ y 2 ·cos x y 2 sin x sin y=2 cos x+ y 2 ·sin x y 2 cos x+ cos y=2 cos x+ y 2 ·cos x y 2 cos x cos y= 2 sin x+ y 2 ·sin x y 2 tan x+ tan y= sin( x+ y) cos x·cos y tan x tan y= sin( x y) cos x·cos y ctg x+ ctg y= sin( x+ y) sin x·sin y ctg x ctg y= sin( x y) sin x·sin y Formule di Werner sin x·sin y= 1 2 [cos( x y) cos( x+ y)] sin x·cos y= 1 2 [sin( x+ y) + sin( x y)] cos x·sin y= 1 2 [cos( x+ y) + cos( x y)] 2 Espressioni razionali del seno e del coseno in funzione di t= tan x 2 (per x6= (2 n+1) ⇡, n 2 Z) sin x= 2t 1+ t2, cos x= 1+ t2 1+ t2 3