Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Numeri complessi

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Capitolo 3 Numeri complessi L’introduzione dei numeri complessi avvenne storicamente per la necessit`a di dare un senso ad alcune operazioni algebriche impossibili nell’insieme dei numeri reali, come ad esempio la radice quadrata di un numero negativo. In particolare svolsero un ruolo importante nella loro genesi i tentativi di risolvere le equazioni algebriche. Consideriamo ad esempio l’equazione x2+ px + q=0 con p, q 2 R.Semplicimanipolazionialgebrichepermettonodiscrivere ⇣ x+ p 2 ⌘2 = p2 4 q da cui x+ p 2 = ± r p2 4 q. ed infine x= p 2± r p2 4 q. Quanto scritto ha senso se il numero p2 4 qrisulta non negativo, poich´e in tal caso `e lecito estrarne la radice quadrata. Per dare un senso formale alla formula anche nel caso in cui p2 4 qsia negativo, diremo che la sua radice quadrata `e un numero immaginario elaindicheremoconunsimbolo prettamente algebrico (senza dargli nessun significato vero e proprio di numero). Poich´e p2 4 q=( 1) ✓ q p2 4 ◆ , indicando p1conilsimbolo i,scriveremo r p2 4 q= i r q p2 4, 43 3.1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIET `A A.A. 2013-2014 cos`ı che le soluzioni dell’equazione assumono la forma x= a± ib con a, b 2 R.Ilsimbolo i`e detto unit`a immaginaria e soddisfa formalmente alla relazione i2= 1. La scrittura a+ ib viene detta numero complesso :a`e detta la sua parte reale, bla sua parte immaginaria, essendo il coeciente del numero immaginario i.Se b=0siottiene un numero reale. Se a=0,siottieneinveceunnumeroimmaginariopuro. Considerando a+ ib come “espressione polinomiale” nella variabile i,siottienelaseguenteregolaformale per la somma di due numeri complessi (a+ ib)+( c+ id )=( a+ c)+ i(b+ d). Con la precauzione di sostituire i2con 1, si ottiene invece la seguente regola formale per il prodotto di due numeri complessi (a+ ib)(c+ id )= ac + iad + ibc + i2bd =( ac bd )+ i(ad + bc ). 3.1 Definizione e prime propriet`a La teoria moderna dei numeri complessi `e basata sull’identificazione di a+ ib con la coppia ordinata ( a, b )appartenentea R2. 1. Consideriamo l’insieme R2= R ⇥ R delle coppie ordinate di numeri reali. Definizione 3.1. Diremo insieme dei numeri complessi C l’insieme R2dotato delle se- guenti operazioni di somma e prodotto: (a, b )+( c, d )=( a+ c, b + d) e (a, b )·(c, d )=( ac bd, ad + bc ). Notiamo che si ha ( a, 0) + ( c, 0) = ( a+ c, 0) e ( a, 0) ·(c, 0) = ( ac, 0). Inoltre si ha (a, 0)( c, d )=( ac, ad ). Indichiamo allora ( a, 0) semplicemente con a e(0 ,1) con i: si ha (a, b )=( a, 0) + (0 ,b )=( a, 0) + ( b, 0)(0 ,1) = a+ ib e ritorniamo cos`ı alla scrittura vista nella sezione precedente. Notiamo che i2= i·i=(0 ,1)(0 ,1) = ( 1,0) = 1, cos`ı che il numero i`e una radice quadrata del numero negativo 1. 44 A.A. 2013-2014 3.1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIET `A Definizione 3.2. Se z= a+ ib 2 C, diremo che a`e la parte reale ,bla parte immagi- naria di z e scriveremo a= Re (z) b= Im (z). Chiaramente due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno la stessa parte reale elastessaparteimmaginaria. 2. Si pu`o verificare che le propriet`a algebriche di somma e prodotto viste per i numeri reali va l g o n o a n ch e n e l c a s o d e i nu m e r i c o m p l e s s i . R pu`o essere visto come sottoinsieme di C considerando i numeri del tipo ( a, 0), e le operazioni di somma e prodotto sopra introdotte si riducono su di essi a quelle usuali. Estenderemo dunque tutte le nozioni algebriche di R aC usando le medesime notazioni. In particolare ha che 0 e 1 sono gli elementi neutri di somma e prodotto. Indicheremo con zl’opposto di zecon z1il suo inverso se z6=0. Leloroespressioni possono ottenersi manipolando l’espressione polinomiale z= a+ ib. Per quanto riguarda l’opposto si ha z= (a+ ib)= a ib. Se z= a+ ib 6=0(quindicon a obnon nulli) l’inverso `e dato da z1=( a+ ib)1= 1 a+ ib = 1 a+ ib a ib a ib = a ib a2+ b2. Cos`ı se z=1 2isi ha z= 1+2 i e z1= 1+2 i 5 . 3. Introduciamo ora i concetti di modulo e di coniugato di un numero complesso. Definizione 3.3. Sia z = a+ ib 2 C. Diremo modulo o norma di z il numero non negativo |z|= p a2+ b2. Diremo coniugato di z il numero complesso ¯z= a ib. Notiamo che se z`e reale, allora il suo modulo coincide con la nozione ordinaria di modulo ovaloreassolutodiunnumeroreale;inoltre z coincide con il suo coniugato. Valgono le seguenti propriet`a . Proposizione 3.4. Valgono i seguenti fatti per ogni z, w 2 C: (a) z=0 se solo se |z|=0 ; 45 3.1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIET `A A.A. 2013-2014 (b) |zw |= |z|·| w|; (c) |z+ w|| z|+ |w|; (d) z+ w =¯ z+¯ w ezw =¯ z¯w; (e) ¯¯z= z; (f ) Re (z)= z+¯ z 2 eIm (z)= z ¯z 2i ; (g) z=¯ z se e solo se z2 R; (h) z¯z= |z|2e dunque se z6=0 z1= ¯z |z|2. Dimostrazione. Si tratta di propriet`a di facile verifica. Quelle pi`u complicate sono ( b)e (c). Vediamo la ( b): i conti per ( c)sonosimili. Siano z= a+ ib ew = c+ id :allora |z||w|= p a2+ b2p c2+ d2= p (a2+ b2)(c2+ d2)= p a2c2+ b2d2+ a2d2+ b2c2 = p (ac bd )2+( ad + bc )2= |zw | da cui si ha ( b). 4. Diamo un’interpretazione geometrica alle nozioni sopra introdotte. Sappiamo che un nume- ro complesso `e una coppia ordinata di R2.Pertantose z= x+ iy ,possiamopensare zcome il punto del piano di coordinate ( x, y ). I numeri reali sono dunque i punti dell’asse delle x (perch´e y=0),mentregliimmaginaripurisonoipuntidell’assedelle y (perch´e x=0). x y z= x+iy ¯z= xiy z= xiy 46 A.A. 2013-2014 3.1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIET `A L’opposto z = x iy `e i l p u n t o d e l p i a n o s i m m e t r i c o d i z rispetto all’origine. Il coniugato ¯ z= x iy `e i l p u n t o d e l p i a n o s i m m e t r i c o d i zrispetto all’asse delle x.Risulta dunque chiaro geometricamente che gli unici numeri complessi che coincidono con il loro coniugato sono i numeri reali. Infine la norma |z|= p x2+ y2rappresenta la distanza del punto z dall’origine. Dunque essa `e nulla se e solo se z coincide con l’origine, cio`e con il numero 0. x y w = c+id z= a+ib z+w =( a+c)+ i(b+d) c a b d Per capire l’op erazione di somma tra numeri complessi conviene vedere z come il vet- tore orientato di estremi 0 e z.Grazieaquestainterpretazione,inumericomplessisi sommano con la usuale regola della diagonale principale dei vettori della fisica. Similmente la di↵erenza segue la regola della diagonale minore . x y w = c+id z= a+ib zw =( ac)+ i(bd) Un’interpretazione geometrica completa del prodotto di numeri complessi sar`a data nella prossima sezione. Limitiamoci al caso del prodotto tra un numero reale a ed un 47 3.2. RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA A.A. 2013-2014 numero complesso z= x+ iy .Siha az = ax + iay. Notiamo che |az |= |a||z|eche az appartiene alla retta passante per z el’origine. Siha dunque che il vettore az ha la stessa direzione di z, il suo modulo risulta modificato di un fattore |a|(dunque si allunga se |a|> 1esiaccorciase |a|< 1, rimane uguale se |a|=1), ed il verso risulta concorde a quello di zse a> 0, discorde se a< 0. x y z= x+iy az = ax +iay se a> 0 az = ax +iay se a< 0 3.2 Rappresentazione trigonometrica ed esponenziale di un numero complesso In questa sezione introdurremo la rappresentazione trigonometrica e quella esponenziale di un numero complesso: esse saranno utili per la risoluzione del problema dell’estrazione della radice n-esima di un numero complesso. 1. Consideriamo il numero z= x+ iy e pensiamolo (secondo definizione) come il punto P = (x, y )delpiano R2.Possiamorappresentare P in termini della sua distanza ⇢ dall’origine edell’inclinazione # della retta OP . Essendo ( x= ⇢cos # y= ⇢sin #. si ha z= ⇢(cos #+ isin #). Ta l e s c r i t t u r a `e d e t t a l a forma trigonometrica del numero z. Chiaramente si ha ⇢= |z| 48 A.A. 2013-2014 3.2. RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA x y O z= x+iy # cio`e ⇢`e i l m o d u l o d i z.L’angolo # `e d e t t o u n argomento di z: esso non `e univocamente determinato, poich´e ogni #+2 k⇡ con k2 Z svolge il medesimo ruolo. Poniamo Arg (z):= {#+2 k⇡ :k2 Z} ediciamo Arg (z)l’insiemedegliargomentidi z.L’argomentoappartenenteall’intervallo ] ⇡,⇡ ] viene detto argomento principale del numero zed indicato con arg (z). Notiamo che il numero z=0ammetteogninumerocomeargomento,cio`e Arg (0) = R. Esempio 3.5. Se z=1+ i,allorasiha |z|= p2e z= p 2 ✓ 1p2+ i 1p2 ◆ = p 2 ⇣ cos ⇡ 4 + isin ⇡ 4 ⌘ . Dunque ⇡4`e l’argomento principale di z. Altri argomenti sono ad esempio 94⇡ o 74⇡. Esempio 3.6. Inumerirealipositivihannoargomentoprincipalenullo,quellinegativi hanno argomento principale pari a ⇡.Inumeriimmaginaripuri ib con b> 0hanno argomento principale ⇡/ 2, quelli con b< 0hannoargomentoprincipale ⇡2. Ad esempio si ha i=cos ⇡ 2 + isin ⇡ 2. L’uguaglianza tra numeri complessi pu`o essere riformulata in termini di modulo ed argomento principale: due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno lo stesso modulo e lo stesso argomento principale . 2. Vediamo come si scrive il prodotto di due numeri complessi usando la forma trigonometrica. Siano z= ⇢1(cos #1+ isin #1)e w = ⇢2(cos #2+ isin #2). 49 3.2. RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA A.A. 2013-2014 Allora si ha zw = ⇢1(cos #1+ isin #1)⇢2(cos #2+ isin #2)= ⇢1⇢2(cos #1+ isin #1)(cos #2+ isin #2) = ⇢1⇢2(cos #1cos #2+ icos #1sin #2+ isin #1cos #2 sin #1sin #2) = ⇢1⇢2[cos #1cos #2 sin #1sin #2+ i(cos #1sin #2+sin #1cos #2)] = ⇢1⇢2(cos( #1+ #2)+ isin( #1+ #2)) . Possiamo dunque enunciare il seguente risultato. Proposizione 3.7. Il prodotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli dei fattori e per argomento la somma dei loro argomenti. 3. Grazie alla forma trigonometrica, possiamo fornire un’interpretazione geometrica del pro- dotto di due numeri complessi z, w . Abbiamo visto che |zw |= |z||w| e arg (z)+ arg (w)2 Arg (zw ). x y z w zw arg (w) arg (w) Dunque per ottenere zw `e s uc i e n t e r u o t a r e z di un angolo arg (w)edilatarlodiun coeciente |w|.Se |w|=1,l’operazionesiriduceadunasemplicerotazione: inparticolare il prodotto per igenera una rotazione di ⇡/ 2. 4. Vediamo come si comportano l’opposto, il coniugato e l’inverso di un numero complesso rispetto alla forma trigonometrica. Dato A ⇢ R, poniamo A := { a:a2 A} e A + ⇡ := {a+ ⇡ :a2 A}. Grazie alle interpretazioni geometriche della sezione precedente valgono le seguenti rela- zioni: 50 A.A. 2013-2014 3.2. RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA (a) | z|= |z|eArg (z)= Arg (z)+ ⇡; (b) |¯z|= |z|eArg (¯z)= Arg (z); (c) |z1|= |z|1eArg (z1)= Arg (z). 5. Come conseguenza della formula del prodotto, la forma trigonometrica della potenza zn con n 2 N `e d a t a d a zn= ⇢n[cos( n# )+ isin( n# )]. Notiamo che la formula della potenza `e corretta, nel caso z6=0,anchese n 2 Z:infattisi ha per n = m con m 0, viste le propriet`a dell’inverso, zm =( z1)m = ⇢1[cos( #)+ isin( #)]m = ⇢m[cos( m# )+ isin( m# )] Dunque vale la seguente propriet`a . Proposizione 3.8. Per calcolare la potenza m -esima ( m 2 Z) di un numero complesso (non nullo se m< 0) basta prendere la potenza m -esima del suo modulo e moltiplicarne per m l’argomento. Esempio 3.9. Calcoliamo (1 + i)8:poich´eilmodulodi(1+ i)`e p2edilsuoargomento principale `e ⇡/ 4, si ha (1 + i)8=16(cos(2 ⇡)+ isin(2 ⇡)) = 16 . Invece si ha (1 + i)3= 1 2p2  cos ✓3 4 ⇡ ◆ + isin ✓3 4 ⇡ ◆ = 1 2p2 p2 2 p2 2 i ! . 6. Le considerazioni precedenti mostrano che il prodotto di numeri complessi `e associato alla somma dei loro argomenti: questo ricorda la propriet`a delle potenze dei numeri reali ax·ay= ax+y. Per sfruttare questa analogia, p oniamo formalmente per ogni # 2 R ei# =cos #+ isin #. Il numero complesso z= ⇢(cos #+ isin #)vienecos`ıadassumerel’espressione z= ⇢e i# 51 3.3. LA RADICE N -ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO A.A. 2013-2014 che `e detta la forma esponenziale di z.Tramitequestarappresentazione,vengono naturali le formule ⇢1ei#1⇢2ei#2= ⇢1⇢2ei(#1+#2) ⇢e i#n= ⇢nein# che non sono altro che i risultati precedenti riguardanti prodotti e potenze di numeri complessi. Notiamo che ei⇡ = 1. Questa formula venne denominata da Eulero la formula fondamentale dell’analisi mate- matica poich´e contiene i simboli fondamentali dell’analisi 1, e,⇡ ei. Esempio 3.10. Si ha ei⇡3=cos ⇡ 3 + isin ⇡ 3 = 1 2+ i p3 2 . La formula esponenziale del numero 5i`e invece 5i=5 e3⇡2i. 3.3 La radice n -esima di un numero complesso In questa sezione ci occupiamo del problema dell’estrazione della radice n-esima di un numero complesso. Siano z 2 C e n 2 N con n 1: in analogia con il caso reale, un numero w 2 C `e u n a r a d i c e n-esima di zse wn= z. Se z = 0, allora esiste una sola radice n-esima w = 0. Nel seguito consideriamo dunque z6=0. 1. Cerchiamo tutte le possibili radici di zusando la forma trigonometrica. Siano z= ⇢(cos #+ isin #)e w = ⌘(cos + isin ) con ⇢6= 0. Allora l’uguaglianza wn= zporta a ⌘n[cos( n )+ isin( n )] = ⇢(cos #+ isin #) da cui ( ⌘n= ⇢ n = #+2 k⇡, k 2 Z. La prima uguaglianza coinvolge numeri reali ⌘,⇢> 0: possiamo dunque estrarre la radice n-esima usuale dei numeri reali ottenendo ⌘= np⇢. 52 A.A. 2013-2014 3.3. LA RADICE N -ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO Passando agli argomenti si ha = #+2 k⇡ n ,k 2 Z. Si ottengono dunque i numeri complessi della forma w = np⇢  cos ✓#+2 k⇡ n ◆ + isin ✓#+2 k⇡ n ◆ ,k 2 Z. Per contare quanti numeri complessi e↵ettivamente diversi sono dati dalla formula prece- dente, dobbiamo evitare per gli argomenti i multipli di 2 ⇡:possiamosceglieresemplice- mente k=0 ,1,...,n 1 ottenendo come argomenti 1= # n, 1= # n + 2⇡ n ,......, n= # n + 2( n 1) ⇡ n . Abbiamo dimostrato dunque il seguente risultato dovuto a De Moivre. Proposizione 3.11. Siano z 2 C e n 2 N con n 1. Se z 6=0 , allora z ammette esattamente n radici n-esime distinte. Detto z= ⇢(cos #+ isin #), esse sono pari a 8 >>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>: w1= np⇢  cos ✓ # n ◆ + isin ✓ # n ◆ = np⇢e i#n w2= np⇢  cos ✓ # n + 2⇡ n ◆ + isin ✓ # n + 2⇡ n ◆ = np⇢e i#+2⇡n ... wn= np⇢  cos ✓ # n + 2( n 1) ⇡ n ◆ + isin ✓ # n + 2( n 1) ⇡ n ◆ = np⇢e i#+2( n1)⇡ n . Tali radici hanno come modulo la radice n-esima del modulo di z e il loro argomento si ottiene dividendo per n quello di zed aggiungendo la quantit`a 2k⇡/n per k=0 ,1,...,n 1. Esempio 3.12. Le radici quadrate di 1= ei⇡ sono date da w1= ei⇡2= i e w2= ei32⇡= i. Le radici quadrate (in senso complesso) di 1 = ei0sono date da w1= ei0=1 e w2= ei⇡ = 1. Le radici cubiche di 1 sono date da 8 >< >: w1=1 w2= ei23⇡= 12+ i p32 w3= ei43⇡= 12 i p32. 53 3.3. LA RADICE N -ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO A.A. 2013-2014 2. Nel caso della radice quadrata, otteniamo che le soluzioni di w2= zsono date da w1= p⇢ ✓ cos # 2 + isin # 2 ◆ e w2= p⇢  cos ✓# 2 + ⇡ ◆ + isin ✓# 2 + ⇡ ◆ = p⇢ ✓ cos # 2 + isin # 2 ◆ = w1. Si ottengono allora i numeri ±w1,comec’eradaaspettarsiessendo( w1)2= w21= z. Se z = x `e u n n u m e r o r e a l e p o s i t i v o , l e r a d i c i q u a d r a t e c o m p l e s s e s o n o a l l o r a ±px, dove px `e l a r a d i c e q u a d r a t a d e i n u m e r i r e a l i . S e x< 0, si hanno invece da x = |x|ei⇡ le radici ±i p |x|. 3. Sia npz= {w1,...,w n} l’insieme delle radici n-esime di z6= 0 date dalla Proposizione 3.11. Notiamo che w2= w1ei2⇡n,w 3= w2ei2⇡n,...,w n= wn1ei2⇡n. Dunque, da un punto di vista geometrico, tutte le radici n-esime di ottengono a partire da w1operando rotazioni di angolo 2⇡n.Concludiamodunquecheleradici n-esime di z si appartengono tutte alla circonferenza di centro l’origine e raggio np |z|esitrovanonei vertici di un poligono regolare di n lati . x y w1 w2 w3 w4 w5 w6 6p|z| 54 A.A. 2013-2014 3.3. LA RADICE N -ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO 4. Come si `e detto all’inizio del capitolo, l’introduzione di C fu motivata dalla necessit`a di dare un senso alle operazioni algebriche anche laddove la teoria dei numeri reali si arresta (ad esempio l’estrazione della radice quadrata di un numero negativo). Gran parte delle motivazioni venivano dallo studio delle equazioni algebriche, cio`e dalla ricerca degli zeri di polinomi. La teoria dei polinomi di variabile reale si estende senza dicolt`a al caso complesso. Possiamo parlare di p olinomi p(z)acoecienticomplessidigrado n:essisonoespressioni della forma p(z)= c0zn+ c1zn1+ ··· + cn1z+ cn con ci2 C,c06= 0. Ad esempio il polinomio p(z)= iz2+(2+3 i)z+6 `e un polinomio di secondo grado. I polinomi reali sono particolari polinomi a coecienti complessi: i loro coecienti sono tutti reali e zva r i a s o l o s u i nu m e r i r e a l i . La nozione di radice o zero di p(z)`eanalogaaquelladelcasoreale: z0si dice una radice di p(z)se p(z0)=0,cio`eselafunzionepolinomialeassociataa p(z)siannullaper z= z0. Nel caso reale, alcuni polinomi non ammettono radici, ad esempio p(x)= x2+1. Nel caso complesso ci`o non accade, poich´e vale il seguente risultato. Te o r e m a 3 . 1 3 (Teorema fondamentale dell’algebra). Ogni polinomio p(z)a coe- cienti complessi di grado n 1 ammette almeno una radice in C. La dimostrazione del Teorema fondamentale dell’algebra richiede strumenti avanza- ti, ed `e pertanto omessa: la sua validit`a mostra per`o che l’insieme dei numeri complessi `e l’estensione “corretta” di quello dei numeri reali avendo come obiettivo quello di poter risolvere i problemi algebrici. 55 3.3. LA RADICE N -ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO A.A. 2013-2014 Esercizi 1. Dare un’interpretazione geometrica dell’inverso di un numero complesso non nullo. 2. Sia p(z) un polinomio di grado na coecienti complessi. Dimostrare che p(z)pu`oscriversi nella forma p(z)= c0(z z1)n1··· (z zk)nk con c02 C en1+ n2+ ··· + nk= n. 3. Sfruttando la Proposizione 3.8, scrivere cos(4 ↵) in termini di cos ↵ esin ↵. 4. Sia p(z) un polinomio a coecienti reali. Dimostrare che se z0`e radice di p(z), anche ¯ z0lo `e . 5. Dimostrare che un polinomio p(x) a coecienti reali pu`o scriversi nella forma p(x)= c0(x 1)n1(x 2)n2··· (x h)nh[(x ↵1)2+ 21]m1··· [(x ↵k)2 + 2k]mk dove c0,↵ i, i, i2 R,ni,m i2 N. 6. Dato z= x+ iy 2 C, definiamo l’esponenziale complesso di ztramite la formula ez= ex(cos y+ isin y). Dimostrare che per ogni z, w 2 C si ha ez+w= ezew. 7. Dato z2 C con z6= 0, poniamo Log (z):= {w 2 C :ew= z}. Log (z) `e l’insieme dei logaritmi di zin C. Mostrare che w = a+ ib 2L og (z) se e solo se a=ln |z| e b2 Arg (z). 8. Calcolare Log (i)e Log (x) con x2 R. 9. Mostrare che Log (zw )= Log (z)+ Log (w)e Log (zn)= nLog (z),n 2 N,n 1 dove A + B = {a+ b:a2 A, b 2 B}enA = {na :a2 A}. 10. Sfruttando l’analogia con la formula xy= eylnxper x> 0e y2 R, poniamo per z, w 2 C, z6=0 Pot z(w):= {e⌘:⌘2 wLog (z)} dove wLog (z) indica l’insieme dei numeri ottenuti facendo il prodotto di w per i logaritmi di z. Mostrare che Pot z(w1+ w2)= Pot z(w1)Pot z(w2)e Pot z1(w)Pot z2(w)= Pot z1z2(w) con z1,z2,w 1,w 22 C. 56 A.A. 2013-2014 3.3. LA RADICE N -ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO 11. Calcolare Pot i(i)e Pot e(z). 12. Mostrare che per z, w 1,w 22 C con z6=0 si ha Pot z(w1w2)✓ Pot Pot z(w1)(w2) e che l’inclusione pu`o essere stretta. 57 3.3. LA RADICE N -ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO A.A. 2013-2014 58