Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Limiti

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Riepiogo sull’algebra dei limiti di successioni ( i ) Se l i m n → ∞ a n = α e l i m n → ∞ b n = β allora l i m n → ∞ a n + b n ( ) = α + β ( ii ) Se l i m n → ∞ a n = α e l i m n → ∞ b n = β allora l i m n → ∞ a n b n ( ) = α β ( iii ) Se l i m n → ∞ a n = α e l i m n → ∞ b n = ± ∞ allora l i m n → ∞ a n + b n ( ) = ± ∞ ( iv ) Se l i m n → ∞ a n = α ≠ 0 allora l i m n → ∞ 1 a n = 1 α ( v ) Se l i m n → ∞ a n = α allora l i m n → ∞ λ a n = λ α (ove λ ∈ R ) ( v i ) Se l i m n → ∞ a n = α ≠ 0 e l i m n → ∞ b n = β allora l i m n → ∞ b n a n = β α Alcuni limiti fondamentali di successioni ( i ) Se a > 1 allora l i m n → + ∞ a n = + ∞ ( ii ) Se a < 1 allora l i m n → + ∞ a n = 0 ( iii ) Se a = 1 allora l i m n → + ∞ a n = 1 ( iv ) Se a > 1 e l i m n → ∞ α n = + ∞ allora l i m n → + ∞ a α n = + ∞ ( v ) Se a > 1 e l i m n → ∞ α n = + ∞ allora l i m n → + ∞ a − α n = 0 ( v i ) Se a > 0 allora l i m n → + ∞ a 1 n = 1 ( v ii ) Se a > 0 e l i m n → ∞ α n = 0 allora l i m n → + ∞ a α n = 1 ( v iii ) Se a > 0 e l i m n → ∞ α n = α allora l i m n → + ∞ a α n = a α ( ix ) Se l i m n → ∞ a n = α e k ∈ N + allora l i m n → ∞ a n k = α k ( x ) Se a n > 0 e 0 < a n + 1 a n < λ < 1 definitivamente per n ≥ ν allora l i m n → + ∞ a n = 0 ( x i ) Se α > 0 allora l i m n → + ∞ n α = + ∞ ( x ii ) Se α > 0 allora l i m n → + ∞ n − α = 0 ( x iii ) l i m n → ∞ n n = 1 Limiti notevoli e “gerarchie” degli infiniti Nella tabella che segue: x n { } è una successione tale che l i m n → ∞ x n = ± ∞ (solo + ∞ in è e é ); a n { } è una successione tale che l i m n → ∞ a n = 0 con a n ≠ 0 definitivamente per n → ∞ ; a > 1 , α > 0 e β > 0 ; λ ∈ R ; t n { } è una successione tale che l i m n → ∞ t n = 0 con t n ≠ 0 definitivamente per n → ∞ ; s n { } è una successione tale che l i m n → ∞ s n = 0 con s n ≠ 0 definitivamente per n → ∞ . 2 Ý ∃ l i m n → ∞ 1 + 1 n ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ n = e Þ l i m n → ∞ 1 + 1 x n ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x n = e ß l i m n → ∞ 1 + α a n ( ) 1 a n = e α à l i m n → ∞ l g ( 1 + α a n ) a n = α á l i m n → ∞ α a n − 1 a n = l g α â l i m n → ∞ ( 1 + a n ) α − 1 a n = α ã l i m n → ∞ s i n a n a n = 1 ä l i m n → ∞ t g a n a n = 1 å l i m n → ∞ ar c s i n s n s n = 1 æ l i m n → ∞ ar c t g t n t n = 1 ç l i m n → ∞ 1 − c os a n a n 2 = 1 2 è l i m n → ∞ x n β a x n = 0 é l i m n → ∞ l og a x n ( ) α x n β = 0 TEOREMA: Data f : I → R con I ⊆ R * e il punto d’accumulazione a di I abbiamo: f ( x ) →  per x → a se e solo se ∀ { x n } ⊂ I − { a } convergente ad a f ( x n ) →  per n → ∞ . Per I aperto possiamo anche dire : se e solo se ∀ { x n } ⊂ ( I − { a }) ∩ Q convergente ad a f ( x n ) →  per n → ∞ . Ciò consente di importare i limiti precedenti alle funzioni reali di variabile reale (per a > 1 , α > 0 e β > 0 ): Ý l i m x → + ∞ 1 + 1 x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x = e Þ l i m x → − ∞ 1 + 1 x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x = e ß l i m x → 0 1 + α x ( ) 1 x = e α à l i m x → 0 l g ( 1 + α x ) x = α á l i m x → 0 α x − 1 x = l g α â l i m x → 0 ( 1 + x ) α − 1 x = α ã l i m x → 0 s i n x x = 1 ä l i m x → 0 t g x x = 1 å l i m x → 0 ar c s i n x x = 1 æ l i m x → 0 ar t g x x = 1 ç l i m x → 0 1 − c os x x 2 = 1 2 è l i m x → + ∞ x β a x = 0 é l i m x → + ∞ ( l og a x ) α x β = 0 In termini di asintoticità possiamo anche scrivere: 1 + 1 x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x  e per x → ± ∞ 1 + α x ( ) 1 x  e α per x → 0 l g ( 1 + α x )  α x per x → 0 α x − 1  x l g α per x → 0 ( 1 + x ) α − 1  α x per x → 0 s i n x  x per x → 0 ar c s i n x  x per x → 0 ar c t g x  x per x → 0 1 − c os x  1 2 x 2 per x → 0 Calcolare i seguenti limiti (sempre che esistano) ( i ) l i m x → 0 A x − B x x = l g A B Traccia A x − B x x = A x − 1 x − B x − 1 x etc. (vedi limite notevole 5) 3 ( ii ) l i m x → 0 s i n ( π + 4 x ) x = − 4 Traccia s i n ( π + 4 x ) x = − s i n ( 4 x ) 4 x 4 etc (vedi limite notevole 7) ( iii ) l i m x → 0 c os π ( 1 − x ) 2 x = π 2 Traccia c os π ( 1 − x ) 2 = c os π 2 c os π x 2 + s i n π 2 s i n π x 2 = s i n π x 2 etc (vedi limite notevole 7) ( iv ) l i m x → 0 l g( 2 − c os x ) s i n 2 x = 1 2 Traccia l g( 2 − c os x ) = l g[ 1 + ( 1 − c os x ) ]  1 − c os x etc (vedi limite notevole 4) ( v ) l i m x → + ∞ x − s i n 2 x ⋅ l g x = + ∞ Traccia x − s i n 2 x ⋅ l g x = x 1 − s i n 2 x l g x x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟  x (vedi limite notevole 13) , etc. ( v i ) l i m x → 0 1 x t g x − 1 x s i n x ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = − 1 2 Traccia 1 x t g x − 1 x s i n x = c os x − 1 x s i n x = c os x − 1 x 2 x s i n x etc. (vedi limiti notevoli 11 e 7) ( v ii ) l i m x → + ∞ 5 + c os x x 2 + 1 = 0 Traccia 5 + c os x ≤ 6 , il resto è banale… ( v iii ) l i m x → + ∞ x + c os x 4 x − s i n x = 1 4 Traccia Dividere numeratore e denominatore per x , etc. ( ix ) l i m x → 0 2 ar c t g 3 x − 1 t g 3 x = l g 2 Traccia 2 ar c t g 3 x − 1 t g 3 x  x 3 x 3 l g 2 = l g 2 ( x ) l i m x → 0 l g( t g 4 x + 1 ) e 2 s i n 4 x − 1 = 1 2 Traccia t g 4 x → 0 per x → 0 e s i n 4 x → 0 per x → 0 quindi l g( t g 4 x + 1 )  t g 4 x  x 4 e e 2 s i n 4 x − 1  2 s i n 4 x  2 x 4 donde l g( t g 4 x + 1 ) e 2 s i n 4 x − 1  x 4 2 x 4 = 1 2 . ( x i ) l i m x → + ∞ [ 1 − c os ( 1 x ) ] 2 l g[ 1 + s i n 4 ( 1 x ) ] = 1 4 Traccia [ 1 − c os ( 1 x ) ] 2  2 − 2 x − 4 e l g[ 1 + s i n 4 ( 1 x ) ]  x − 4 4 ( x ii ) l i m x → + ∞ n n n ! 2 n = 0 Traccia Conviene applicare il limite fondamentale ( x ) o criterio del rapporto osservando che ( n + 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ! 2 n + 1 n ! 2 n n n = 1 + 1 n ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ n 1 2 → e 2 < 1 . ( x iii ) l i m x → + ∞ n + 2 2 n n 4 + 1 = 0 Traccia Conviene applicare il limite fondamentale ( x i ) o criterio della radice, osservando che n + 2 2 n n 4 + 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 n  n n 2 n n 4 + 1 ( ) 1 n  1 2 n n 4 ( ) 1 n = 2 − 1 2 n 4 ( ) 1 n → 2 − 1 2 < 1 . ( x iv ) l i m x → + ∞ 3 n 3 + 1 1 + 4 n 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ n 2 = 0 Traccia Conviene applicare il limite fondamentale ( x i ) o criterio della radice, osservando che 3 n 3 + 1 1 + 4 n 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 2 → 3 4 < 1 . ( x iv ) l i m x → + ∞ n ! e n n n = 0 Traccia Conviene applicare il teorema ( x ) – o criterio del rapporto – osservando che ( n + 1 ) ! e n + 1 ( n + 1 ) n + 1 n n n ! e n = n n + 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ n e → 1 e < 1 . ( x v ) l i m x → 0 c os ( e x − e − x ) − 1 ar c t g x 2 = − 2 Traccia ar c t g x 2  x 2 inoltre e x − e − x → 0 quindi c os ( e x − e − x ) − 1  − 1 2 ( e x − e − x ) 2 . Se ne trae: c os ( e x − e − x ) − 1 ar c t g x 2  − 1 2 ( e x − e − x ) 2 x 2 = − 2 e 2 x − 1 2 e x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 2 1 x 2 e 2 x → − 2 ( x v i ) l i m x → 0 + s i n x − 1 x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = − ∞ Traccia Banale! ( x v ii )  l i m x → 0 s i n x − 1 x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ Traccia 1 x → + ∞ per x → 0 + e 1 x → − ∞ per x → 0 − . ( x v iii ) l i m n → ∞ 1 − 3 n ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ n 2 = e − 3 2 5 Traccia 1 − 3 n ( ) n 2 = 1 − 3 n ( ) n → e − 3 ( x ix ) l i m x → 0 ( 1 − 5 x ) t g 3x ( s i n x − x 3 ) 3 = 75 2 Traccia ( 1 − c os 5 x ) t g 3x ( s i n x − x 3 ) 3  1 2 25 x 2 3 x x 3 s i n x x − x 2 ( ) 3 = 75 2 1 s i n x x − x 2 → 75 2 ( x x ) l i m n → ∞ n 2 + 3 n + e n 2 n = + ∞ Traccia n 2 + 3 n + e n 2 n  e n 2 n = e 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ n → + ∞ ( x x i ) l i m n → ∞ n 2 3 n π n = 0 Traccia n 2 3 n π n = n 2 π 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ n → 0 in quanto π 3 > 1 ( x x ii ) l i m n → ∞ n l g n n + 1 = − 1 Traccia n l g n n + 1 = l g n n + 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ n = l g 1 1 + 1 n ( ) n → l g 1 e ( x x iv ) l i m n → ∞ l g n 2 − l g n ( ) 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = − ∞ Traccia l g n 2 − l g n ( ) 2 = l g n 2 − l g n [ ] ( x x v ) l i m n → ∞ n + 1 n s i n ( n ! ) = 0 Traccia n + 1 n s i n ( n ! )  1 n s i n ( n ! ) ( x x v i ) l i m x → + ∞ 2 + x 3 3 − 1 + 2 x 2 + x 3 3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = − 2 3 Traccia 2 + x 3 3 − 1 + 2 x 2 + x 3 3 = 1 − 2 x 2 2 + x 3 ( ) 2 3 + 2 + x 3 ( ) 1 + 2 x 2 + x 3 ( ) 3 + 1 + 2 x 2 + x 3 ( ) 2 3 inoltre 2 + x 3 ( ) 2 3  x 2 2 + x 3 ( ) 1 + 2 x 2 + x 3 ( ) 3  x 2 1 + 2 x 2 + x 3 ( ) 2 3  x 2 ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ 2 + x 3 ( ) 2 3 + 2 + x 3 ( ) 1 + 2 x 2 + x 3 ( ) 3 + 1 + 2 x 2 + x 3 ( ) 2 3  3 x 2 pertanto 2 + x 3 3 − 1 + 2 x 2 + x 3 3  1 − 2 x 2 3 x 2 → − 2 3 . 6 ( x x v ii ) l i m x → 0 + l g s i n x l g x = 1 Traccia l g s i n x l g x = l g s i n x x x ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ l g x = l g s i n x x + l g x l g x = l g s i n x x l g x + 1 → 1 . ( x x v iii ) l i m x → + ∞ 2 + x 3 3 − 1 + 2 x 2 + x 3 3 = − 2 3 Traccia In generale a n − b n = a − b a n − 1 n + a n − 2 b n +  + a b n − 2 n + b n − 1 n ∀ a , b ∈ R + – segue dal prodotto notevole A n − B n = A − B ( ) A n − 1 + A n − 2 B +  + A B n − 2 + B n − 1 ( ) – quindi: 2 + x 3 3 − 1 + 2 x 2 + x 3 3 = 1 − 2 x 2 2 + x 3 ( ) 2 3 + 2 + x 3 ( ) 1 + 2 x 2 + x 3 ( ) 3 + 1 + 2 x 2 + x 3 ( ) 2 3  − 2 x 2 x 2 + x 2 + x 2  − 2 3 . ( x x ix ) l i m x → 0 + l g( 1 + x ) 3 s i n 5 x + x 4 3 s i n x = 3 5 Traccia l g( 1 + x ) 3 s i n 5 x + x 4 3 s i n x  3 x 5 x s i n 5 x 5 x + x 1 + 4 3 s i n x x = 3 5 s i n 5 x 5 x + x 4 3 s i n x x → 3 5 . ( x x x ) l i m x → π 2 1 + c os 2 x ( ) t g 2 x = e Traccia 1 + c os 2 x ( ) t g 2 x = e ( t g 2 x ) l g( 1 + c os 2 x ) ] ove ( t g 2 x ) l g( 1 + c os 2 x )  ( t g 2 x ) ( c os 2 x ) = s i n 2 x → 1 . ( x x x i ) l i m x → + ∞ x s i n 1 x = 1 Traccia x s i n 1 x  x 1 x = 1 . ( x x x ii ) l i m x → + ∞ s i n 1 + x 2 − 1 ( ) x = 0 Traccia s i n 1 + x 2 − 1 ( ) ≤ 1 … ( x x x iii ) l i m x → + ∞ e s i n x − 1 s i n x = 1 Traccia e s i n x − 1 s i n x  s i n x s i n x = 1 . ( x x x iv ) l i m x → + ∞ l og 2 ( e x + 1 ) x + s i n x = 1 l g 2 Traccia l og 2 ( e x + 1 ) x + s i n x = 1 l g 2 l g( e x + 1 ) x + s i n x  1 l g 2 l g( e x + 1 ) x → 1 l g 2 .