Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Raccolta teoremi

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Contents 1 Teoremi primo parziale 31.1 Teoremi senza dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Irrazionalita di radice due . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Prima formula di De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Seconda formula di De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Teorema dell'esistenza dei punti di accumulazione . . . . . . . . . 7 1.6 Unicita del limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Convergenza delle successioni monotone limitate . . . . . . . . . 9 1.8 Permanenza del segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.9 Teorema del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.10 Continuita della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.11 Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.12 Teorema degli zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.13 Teorema dei valori intermedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.14 Continuita della funzione derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.15 Somma di derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.16 Prodotto di derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.17 Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.18 Lemma di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.19 Teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.20 Test di monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.21 Teorema di Taylor con resto di Peano . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Teoremi secondo parziale 212.1 De L'Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Teorema di Taylor con resto di Peano . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Primo teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . 24 2.4 Media integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.7 Continuita della funzione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8 Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . 27 2.9 Esiste una soluzione unica al problema di Cauchy . . . . . . . . . 28 2.10 Unicita della soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 2 CONTENTS 2.11 Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.12 Distanza punto-piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.13 Indipendenza dell'integrale di linea dalla parametrizzazione . . . 32 Chapter 1 Teoremi primo parziale 1.1 Teoremi senza dimostrazione Funzione iniettiva Una funzione e iniettiva se, datix 1e x 2appartenenti al dominio della funzione, sef(x 1) = f(x 2) allora x 1= x 2. Ovvero non ci siano piu di una xche abbia lo stesso valore diy. Funzione suriettiva Una funzione e suriettiva se8y2Y9x2Xtale chey=f(x), ovvvero non ci devono essere valori dixper cui non esistano valori diy. Limiti lim x!+1f (x) =l8 >09N()0=8x2D; xN() =) jf(x)lj<  lim x!1f (x) =l8 >09N()0=8x2D; xN() =) jf(x)lj<  lim x!+1f (x) = +1 8M >09N(M)>0=8x2D; xN(M) =)f(x)> M lim x!+1f (x) =1 8M >09N(M)>0=8x2D; xN(M) =)f(x)09N(M)>0=8x2D; x N(M) =)f(x)> M lim x!1f (x) =1 8M >09N(M)>0=8x2D; x N(M) =)f(x)09()0=8x2D;jxx 0j < () =) jf(x)lj<  lim x!x 0f (x) = +1 8M >09(M)0=8x2D;jxx 0j < (M) =)f(x)> M lim x!x 0f (x) =1 8M >09(M)0=8x2D;jxx 0j < (M) =)f(x)09N()= n; mN() =) ja n a mj <  La condizione di Cauchy e necessaria e suciente per la convergenza di succes- sioni inR. Teorema secondo di completezza Dato un insiemeAR, l'estremo superiore diAe supA, ed e il minimo dei maggioranti. SeAe superiormente limitato allora esiste supA2R. Teorema fondamentale dell'algebra Dati i coecientic 0; c 1; c 2; : : : ; c n2 C, l'equazione algebrica c0+ c 1z +c 2z2 +c 3z3 +: : :+c nzn ha esattamentensoluzioniz 0; z 1; z 2; : : : ; z n2 Cnon necessariamente distinte. Punti di accumulazione Punti di accumulazione di un insiemeE2Rex 02 RperEse: 8# ((x 0 ; x 0+ )\E) = +1 e:8 >09x2(x 0 ; x 0+ )\(En fx 0g ) e:9 fx ng  (En fx 0g )=lim x!x 0x n= x 0 Si dice chex 0e punto di accumulazione per l'insieme Ase in ogni intornoI(x 0) dix 0esiste almeno un elemento xdiverso dax 0ed appartenente ad A. 1.2. IRRAZIONALIT  A DI RADICE DUE5 Teorema di Bolzano-Weierstrass Se un insiemeE2Re limitato ed innito allora l'insieme dei punti di accumu- lazioneE0 6 =; Limite della derivata destra e sinistra Data una funzionef2C([a; b]), conf0 2C((a; b)n fx 0g ), se lim x!x+ 0f 0 (x) = lim x!x 0f 0 (x) =l9f0 (x 0) = l 1.2 Irrazionalita di radice due Il teorema di Pitagora dice che la lunghezza della diagonale di un quadrato ha la seguente proprieta:x2 = 12 + 12 = 2 ossia che il quadrato costruito sulla diagonale e uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Questo porta ad una equazione che non ha soluzioni nell'insieme dei numeri razionali. Dimostrazione Si supponga che esiste una soluzionexuguale al rapporto tra due numeri primi fra loro (con nessun fattore in comune): 9x=mn 2 Q Questa e l'ipotesi da dimostrare falsa, e possiamo dedurre che sex2 = 2, allora: m2n 2= 2 che puo essere riscritta nel seguente modo:m2 = 2n2 Il numero sulla destra dell'uguale e sicuramente positivo, dato che qualsiasi numero sian, verra moltiplicato per due rendendompositivo. Quindi si puo dire chem= 2kdovek2N, ossiake un qualsiasi numero inN. Si puo quindi sostituire di nuovo e dire che: 2n2 =m2 = 4k2 e di conseguenza ottenere:n2 = 2k2 Qualsiasi numeroksia,n2 sara pari anch'esso e quindi anchendeve essere pari. Questa e una contraddizione, l'assurdo che si cercava, dato che siamchensono 6 CHAPTER 1. TEOREMI PRIMO PARZIALE risultati pari, il che signica che hanno sicuramente almeno un fattore in co- mune, e di conseguenzam; nnon possono essere primi, contraddicendo l'ipotesi iniziale. Di conseguenza serve l'insieme dei numeri reali per poter risolvere questo problema. 1.3 Prima formula di De Moivre Dato un numero complessoz=(cos+isin), una potenza dizpuo essere trovata con la seguente formula: zn =n (cos (n) +isin (n)) Dimostrazione Dati due numeri complessi,z 1e z 2tali che: z1=  1(cos  1+ isin 1) z2=  2(cos  2+ isin 2) Se si svolge il prodotto, si ottiene:z1z 2=  1 2[cos  1cos  2 sin 1sin  2+ i(sin 1cos  2+ cos  1sin  2)] Semplicando, si ottiene che: z1z 2=  1 2[cos (  1+  2) + isin ( 1+  2)] Iterando pernnumeri complessi uguali fra loro e moltiplicati, si otterra quindi che: z1z 2z 3z 4: : : = 1 2 3 4: : : [cos ( 1+  2+  3+  4+ : : :) +isin ( 1+  2+  3+  4+ : : :)] ovvero:zn =n [cos (n) +isin (n)] 1.4 Seconda formula di De Moivre Dato un numero complessow=(cos+isin), l'equazionezn =wconn 12Nha esattamentendistinte soluzioniz 0; z 1; z 2; : : : ; z n12 Cdate da: zk=  k(cos  k+ isin k) dove:8 < : k= 1n k= + 2kn per k= 0;1;2; : : : ; n1 Le radicin-esime diwsono i vertici di un poligono regolare dinlati inscritto nella circonferenza di raggio1n e centro l'origine. 1.5. TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI PUNTI DI ACCUMULAZIONE 7 Dimostrazione Si verica con la prima formula di De Moivre. Siaz=(cos+isin) la rappresentazione trigonometrica di una radice dell'equazionezn =w, dove= jzje=Arg(z), si ha che: [(cos+isin)]n =(cos+isin) quindi espandendo la parentesi usando la prima formula di De Moivre:n (cos(n) +isin(n)) =(cos+isin) Da questa uguaglianza si puo intuire che:n ==)=1n come aermato dal teorema. Inoltre, si ha che:n=+ 2k con l'aggiunta del 2kper non perdere soluzioni, poiche ogni due pi greco i coseni e i seni si ripetono, si ha quindi che: = + 2kn per k= 0;1;2; : : : ; n1 doveke limitato, poiche se non lo fosse, i risultati si ripeterebbero all'innito. Si ha quindi che:zk=  k(cos  k+ isin k) 1.5 Teorema dell'esistenza dei punti di accumu-lazione Se un insiemeEe innito e limitato, alloraE0 6 =;. Dimostrazione EssendoElimitato, ragionando per dicotomia, si puo scrivere che: E2[a 0; b 0] e si puo stabilire un puntoccome punto medio, ovvero: c=a 0+ b 02 Si divide quindi l'intervallo in due intervalli piu piccoli: [a 0; c ] [c; b 0] 8 CHAPTER 1. TEOREMI PRIMO PARZIALE Si sceglie la meta d'intervallo tra i due con inniti punti diEe la si chiama [a 1; b 1]. Iterando questo processo si ottiene: [a k+1; b k+1] [a k; b k] 


[a 0; b 0] dove in ogni semi-intervallo ci sono sempre inniti punti diE, quindi si puo dire che:9lim k!+1a k= lim k!+1b k=: x o poichea ke crescente e limitata e b ke decrescente e inferiormente limitata. Si puo dire inoltre che: 8k09x k2 [a k; b k] \En fx og che signica che esiste sempre un punto nell'intervallo diverso dax 0per qualsiasi k. Questo valorex ke tale che: ak x k b k8 k0 e per la proprieta del confronto dei limiti, si ha che:lim k!+1a k lim k!+1x k lim k!+1b k ma siaa ksia b khanno il limite che tende a x 0, come stabilito prima, quindi: lim k!+1x k= x 0 quindix 0e punto di accumulazione di Ee quindiE0 6 = 0. 1.6 Unicita del limite Se una funzionef:D!Rammette limitel 1:= lim x!x 0f (x) in un punto di accumulazionex 02 D0 del dominio, allora il limite e unico. Se9lim x!x 0f (x) =l 1\ 9 lim x!x 0f (x) =l 2= )l 1= l 2 Dimostrazione Supponiamo che la funzione ammetta anche un valorel 2come limite in x 0. Dalla denizione si ha che: 8 >09 1> 0= x2Dn fx 0g ; x2(x 0  1; x 0+  1) = ) jl 1 f(x)j<  8 >09 2> 0= x2Dn fx 0g ; x2(x 0  2; x 0+  2) = ) jl 1 f(x)j<  Per un >0 e per i corrispondendi 1e  2si denisca delta=minf 1;  2g . Se si somma e si sottraef(x) dalla dierenza dei due limiti, si ottiene che: jl 1 l 2j =jl 1 f(x) +f(x)l 2j 1.7. CONVERGENZA DELLE SUCCESSIONI MONOTONE LIMITATE 9 Usando la disuguaglianza triangolare si ha che:jl 1 f(x) +f(x)l 2j  j l 1 f(x)j+jf(x)l 2j Questi due termini sono ciascuno minori di un valorearbitrariamente piccolo per la denizione di limite: jl 1 f(x)j+jf(x)l 2j