Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Dispensa numeri complessi

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Argomento 14 Numeri Complessi È ben noto che l’insiemeRdei numeri reali (che include tutti gli altri insiemi numericifinora incontrati in questo corso) non è sufficientemente “ampio” da permettere la risoluzione di equazioni, anche semplici, a coefficienti reali, come ad esempiox 2+1 = 0.Per risolvere questo problema costruiamo l’insieme dei numeri complessi. Numeri complessi. Loro rappresentazione geometrica. L’equazionex 2+1 = 0hasoluzioneinuncertoinsiemenumericosoloseessocontieneunnumeroil cui quadrato vale−1.Chiamiamo questo “numero”unità immaginariaelodenotiamoconi.Per definizione si ha quindi i 2=−1. A partire dall’unità immaginaria si costruiscono i numeri complessi nel modo seguente. Definizione 14.1Si dicenumero complessoogni scrittura della formaa+ib,cona, bnumeri reali eiunità immaginaria. L’insieme dei numeri complessi si denota conCesiha: C=© a+ibtali chea, b∈Rei 2=−1ª . Di solito, i numeri complessi si indicano con le ultime lettere dell’alfabeto:z,w,... Dato il numero complessoz=a+ib,inumerirealiaebsi dicono rispettivamenteparte realee parte immaginariadizesiscrive:a=Re(z),b=Im(z). Esempi 14.2 •z=1−2iè un numero complesso con parte reale1e parte immaginaria−2. •z=−√ 2+0i=−√ 2è un numero complesso con parte reale−√ 2e parte immaginaria0. •z=0+4i=4iè un numero complesso con parte reale0e parte immaginaria4. Due numeri complessiz=a+ibew=c+idsi diconougualise hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria: z=w⇐⇒a=ceb=d. Nell’insiemeCdeinumericomplessisidefiniscono inoltre le seguenti operazioni: ISomma di due numeri complessiz=a+ibew=c+idè il numero complesso z+w=(a+c)+i(b+d); IProdotto di due numeri complessiz=a+ibew=c+idè il numero complesso z·w=(ac−bd)+i(ad+bc). 1 Esempio 14.3Datiz=2+iew=−1+3i, calcoliamoz+wez·w. •(2 +i)+(−1+3i)=1+4i •(2 +i)·(−1+3i)=−2+3i 2−i+6i=−2−3+5i=−5+5i Osserviamo che le due operazioni si eseguono usando le ordinarie regole del calcolo letterale e ricor- dando chei 2=−1. Per la somma e il prodotto appena definiti valgono le usuali proprietà delle operazioni (commutativa, associativa, distributiva). Inoltre: •il numero complesso0=0+i0ètalechez+0 =zper ogniz; •il numero complesso1=1+i0ètalechez·1=zper ogniz; •il numero complesso−z=−a−ibèl’oppostodiz=a+ib; •sez6 =0,il numero complesso 1 z=a a2+b 2−i·b a2+b 2 èilreciprocodiz=a+ib.(Ovviamente si haz·1 z=1per ogniz6 =0.) Esempio 14.4Datiz=2+iew=1+3i, calcoliamo:−w;1 w;z w. •−w=−1−3i •1 w=1 10−3 10i; •z w=(2+i)µ 1 10−3 10i¶ =1 2−1 2i. È noto che numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta euclidea. Analogamente, associando al numero della formaz=a+ibil punto di coordinate(a, b),sirealizza una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i punti del piano cartesiano (detto in questo contestopiano di Argand—Gauss). In tale corrispondenza:a=Re(z)è l’ascissa di(a, b)eb=Im(z)è l’ordinata di(a, b). I numeri della formaa+0i, (che sono di fatto numeri reali) corrispondono ai punti dell’asse delle ascisse che verrà perciò dettoasse reale,evidenziando che si haR⊂C. I numeri della forma0+ib=ib, (dettiimmaginari puri) corrispondono ai punti dell’asse delle ordinate che verrà perciò dettoasse immaginario. L’opposto diz,ossia il numero−z=−a−ibcorrisponde al punto(−a,−b)simmetrico di(a, b) rispetto all’origine. - 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................¦z=a+ib ¦ a ¦ b ¦ −z 2 Definizione 14.5Dato il numeroz=a+ibsi chiama IConiugatodizil numero complesso z=a−ib. Esso corrisponde al punto(a,−b)simmetrico di(a, b)rispetto all’asse reale. IModulodizil numero |z|=√ a2+b 2 che rappresenta la distanza del punto(a, b)dall’origine ed è quindi un numero reale maggiore o uguale a zero. - 6 ............................................................................................................................................................................................ |z| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .¦z=a+ib ¦ a ¦ b −b¦¦ z Osserviamo che (1) z· z=|z| 2 einoltre z+ z=(a+ib)+(a−ib)=2a=2Re(z);z− z=(a+ib)−(a−ib)=2ib=2iIm(z). Esempio 14.6Datiz=2−iew=2+3i,calcoliamo z w.Si ha: z w=2+i 2+3i=(2 +i)(2−3i) (2 + 3i)(2−3i)=7 13−4 13i. È facile vedere che la somma di due numeri complessiz=a+ibew=c+id,cioèilnumero (a+c)+i(b+d)corrisponde al punto che si ottiene con la “regola del parallelogramma” dai punti di coordinate(a, b)e(c, d). 1)La relazione che esprime il reciproco di un numero complesso non nullo si può anche esprimere mediante la formula: 1 z= z |z| 2. Inoltre, per calcolare il rapporto di due numeri complessi può essere utile tenere presente che z w=z· w |w| 2. 3 - 6 ............................................................................................................................................................................. ....................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................. ....................................................................................................................... ¦z w¦¦z+w Non è altrettanto facile dare l’interpretazione geometrica del prodotto. Anche a questo scopo può essere utile introdurre la forma trigonometrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi Osserviamo che ogni puntoP=(a, b),diverso dall’origine, nel piano di Argand—Gauss può essere individuato anche assegnando la sua distanzardall’origineOel’angoloθcompreso tra il semiasse positivo delle ascisse e la semirettaOP. - 6 O.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ¦ θ .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................... ..... ...... ...... ...... ...... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r P=(a, b) Per definizione di coseno e seno (vedi MiniMat Lezione7) si ha: a=rcosθ;b=rsinθ.(1) Si ottiene quindi:z=a+ib=(rcosθ)+i(rsinθ). Definizione 14.7 r(cosθ+isinθ) si chiamaforma trigonometricadel numero complessoz=a+ib. Per distinguere le due rappresentazioni, la scritturaa+ibsi chiamaforma algebricadel numero complessoz. Osserviamo che il numero reale positivorèilmodulodiz. 4 Inoltre, poiché le funzionisinecossono periodiche di periodo2π,nelle formule (1) nulla cambia se a θsi sostituisceθ+2kπ: uno qualunque di questi numeri si diceargomentodiz.Quindi l’argomento èdefinitoamenodimultipliinteridi2π (2) . Assegnare un numero complesso in forma trigonometrica significa evidenziarne il modulo e un ar- gomento. Dunque,due numeri complessi(espressiin forma trigonometrica)sono ugualiseesolosehanno moduli uguali e argomenti uguali, a meno di un multiplo intero qualsiasi di2π. Notiamo chenumeri complessi con ugual modulostanno sulla stessa circonferenza con centro nell’ori- gineOdel piano di Argand-Gauss, mentrenumeri complessi con argomento uguale(a meno di multipli interi di2π) stanno sulla stessa semiretta avente origine inO. Dato un numero complesso in forma trigonometrica (ossia notireθ), la sua forma algebrica si ricava mediante le formule (1); viceversa dato un numero complesso in forma algebrica si ricavano reθosservando che: r=|z|=√ a2+b 2 cosθ=a √a2+b 2 sinθ=b √a2+b 2. Per convenzione, al numero complesso zero si attribuisce modulo zero e argomento qualsiasi. Esempio 14.8Determiniamo il modulo ed un argomento dei seguenti numeri complessi:−2; 5i; 1+i;−√ 3+i. •−2è un numero reale negativo e quindi ha argomentoπ; inoltre il suo modulo è2. •5iè un numero immaginario puro (sul semiasse positivo) e quindi ha argomentoπ 2; inoltre il suo modulo è5. •|1+i|=√ 1+1 =√ 2;inoltrecosθ=sinθ=1 √2e quindi un argomento di1+ièπ 4. •¯ ¯ −√ 3+i¯ ¯ =√ 3+1 =2;inoltrecosθ=−√ 3 2esinθ=1 2: quindi un argomento di−√ 3+iè5π 6. La forma trigonometrica permette di calcolare più agevolmente il prodotto di numeri complessi e di capire il significato geometrico del prodotto. Datiz=r(cosθ+isinθ)ew=ρ(cosϕ+isinϕ)si ha r(cosθ+isinθ)·ρ(cosϕ+isinϕ)=rρ[(cosθcosϕ−sinθsinϕ)+i(sinθcosϕ+cosθsinϕ)] e quindi z·w=rρ[cos(θ+ϕ)+isin(θ+ϕ)] Il risultato mostra che il modulo del prodotto è dato dal prodotto dei moduli:rρ,eunargomento del prodotto è la somma degli argomenti:(θ+ϕ). Esempio 14.9Il prodotto diz=2h cos³ π 12´ +isin³ π 12´i ew=3· cosµ 3π 4¶ +isinµ 3π 4¶¸ va l e z·w=6· cosµ π 12+3π 4¶ +isinµ π 12+3π 4¶¸ =6· cosµ 5π 6¶ +isinµ 5π 6¶¸ =−3√ 3+3i. 2) Tra questi, si usa indicare l’argomento appartenente all’intervallo(−π,π]con il nome di argomento principale. 5 - 6 O¦ 12 3 6.................................................................................... ¦ z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¦ w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¦ z·w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56π 34π argz= π12 Osservazione 14.10Per comprendere il significato geometrico del prodotto cominciamo da due semplici esempi. •Il prodotto dizconunnumerowdi modulo uno ha lo stesso modulo diz.Quindila moltiplicazione pe run numerowdi modulo uno equivale ad una rotazione di angolo pari all’argomento diw.Ad esempio, il numeroizè il ruotato (in senso antiorario) dizdiπ/2. •Il prodotto dizconunnumerowreale positivo (e quindi di argomento zero) ha lo stesso argo- mento diz.Quindila moltiplicazione perun numerowdi argomento zero equivale ad una omotetia (dilatazione o contrazione)con fattore uguale aw.Ad esempio il numero3zsi trova sulla stessa semiretta uscente dall’origine dizad una distanza dall’origine pari a 3 volte quella diz. •In generale, moltiplicare il numerozper il numerowequivale a ruotarezdi un angolo pari all’argomento diwe contemporaneamente dilatare o contrarrezdi un fattore uguale al modulo di w.Quindi la moltiplicazione equivale ad una roto—omotetia. Con ragionamenti analoghi si dimostra che il quoziente di due numeri complessi ha come modulo il quoziente dei moduli, e come argomento la differenza degli argomenti. Ossia sez=r(cosθ+isinθ) ew=ρ(cosϕ+isinϕ)6 =0,allora si ha z w=r ρ[cos (θ−ϕ)+isin (θ−ϕ)]. Potenzeeradicin−esime di un numero complesso. Applicando ripetutamente la regola del prodotto si ottiene la: Regola di De MoivreLa potenzan−esima del numero complessoz=r(cosθ+isinθ)ha modulo uguale alla potenzan−esima del modulo dize argomento pari all’argomento dizmoltiplicato per n. Dunque zn=r n(cosnθ+isinnθ) Esempio 14.11Calcoliamo in forma algebrica(−1+i) 13. Poiché−1+i=√ 2£ cos¡ 3π4 ¢ +isin¡ 3π4 ¢¤ si ha:(−1+i) 13 =¡√ 2¢ 13 £ cos¡ 39π4 ¢ +isin¡ 39π4 ¢¤ . Tenendo conto che 39π4 =10π− π4,possiamoscrivere (−1+i) 13 =64√ 2£ cos¡ − π4 ¢ +isin¡ − π4 ¢¤ =64−64i. 6 Le considerazioni precedenti ci permettono di affrontare il problema di trovare le radicin−esime di un numero complessozcioè di trovare eventuali numeriwtali chew n=z. Teorema 14.12 (Radicin−esime di un numero complesso)Ogni numero complesso non nulloz=r(cosϕ+isinϕ)ha esattamentenradicin−esime complesse:w 0,w 1,...,w n−1 .Se w k=ρ k(cosθ k+isinθ k)si ha ρk= n√rk=0,1,...,n−1 θ k=ϕ+2kπ nk=0,1,...,n−1 Dunque nel piano di Argand-Gauss le radicin−esime di un numero complessozsi trovano ai vertici di un poligono regolare dinlati inscritto in una circonferenza centrata nell’origine e di raggio uguale alla radicen−esima (aritmetica) del modulo diz. Dimostrazione. Sew=ρ(cosθ+isinθ)è una radicen−esima dizdeve essere: ρn(cosnθ+isinnθ)=r(cosϕ+isinϕ) In questa equazionere ϕ sono noti, mentre ρeθsono le incognite. Per risolvere l’equazione applichiamo il seguente principio: due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno moduli uguali e argomenti uguali a meno di un multiplo intero qualsiasikdi 2 π.Dunque: ρ n=r⇒ρ= n√r(radice aritmetica di un numero reale positivo!) e nθ=ϕ+2π⇒θ= ϕn+k 2πn k∈Z È quindi univocamente determinato il modulo ρ, mentre l’argomento può avere diversi valori (che danno luogo a diverseradici)chesiottengonocomesegue. Unprimovaloreèdatoda ϕn. Gli altri valori si ottengono aggiungendo ad esso multipli successivi di 2πn. È chiaro che doponpassi si ottiene ϕn+ 2πe quindi si torna alla prima radice. Esempio 14.13Calcoliamo le radici seste di−1. Tale numero ha argomentoπe modulo ovvia- mente uguale a1: −1=1(cosπ+isinπ)=1(−1+i0). Le radici seste hanno tutte modulo uguale a1perché la radice sesta aritmetica di 1 è 1. L’argomento della prima radice èπ 6; gli argomenti delle successive radici si otterranno aggiungendo via via2π 6=π 3 all’argomento della prima. - 6 O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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π 6+π´ =cos7π 6+isin7π 6=−√ 3 2−1 2i w 4=cosµ π 6+4π 3¶ +isinµ π 6+4π 3¶ =cos3π 2+isin3π 2=−i w 5=cosµ π 6+5π 3¶ +isinµ π 6+5π 3¶ =cos11π 6+isin11π 6=√ 3 2−1 2i Osserviamo che nessuna delle sei radici sta sull’asse reale, come c’era da aspettarsi dal momento che sono le radici di indice pari (6) di un numero negativo (−1). Notiamo inoltre che, avendo già rappresentato le sei radici nel piano di Argand-Gauss, dopo aver trovato la prima radice si sarebbe potuta trovare la forma algebrica delle altre con semplici considerazioni geometriche. Esempio 14.14È facile convincersi che le radici seste (complesse) di 1 si trovano nei vertici di un esagono regolare ottenuto ruotando il precedente di−π 6in modo che la prima radicew 0si trovi sull’asse reale nel punto 1 (e la quarta nel punto−1). Abbiamo appena risolto le equazioniw 6±1=0, trovando in entrambi i casi sei soluzioni. Questo è un caso particolare dell’equazionew n−z=0che, sez6 =0,ha esattamentensoluzioni distinte nel campo complesso. Più in generale vale il Teorema fondamentale dell’algebraOgni polinomio (a coefficienti complessi) di gradonha nel campo complesso, esattamentenradici (pur di contarle con la loro molteplicità). Da questo teorema si deduce che: •Ogni polinomioacoefficienti complessidi gradonsi può scrivere come prodotto dinpolinomia coefficienti complessidi primo grado. •Ogni polinomioacoefficienti reali di grado dispariha almeno una radicereal e. •Le eventuali radici complesse di un polinomioacoefficienti realisono a due a due complesse coniugate e quindi un polinomioacoefficienti realisi può scrivere come prodotto di un opportuno numero di polinomiacoefficienti realidi grado non superiore a 2. In generale non è però facile trovare lenradici complesse di un polinomio di gradon. Si troveranno alcuni semplici esempi negli esercizi 14.10 e 14.11. NotaAnche i numeri complessi hanno un “lato oscuro”: non è possibile definire inCun ordina- mento che sia compatibile con le operazioni di somma e prodotto, cioè non è possibile suddividere i numeri complessi non nulli in positivi e negativi in modo tale che il prodotto di due positivi comunque scelti sia positivo, come succede invece nei numeri reali. 8