Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Dispensa serie numeriche

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Capitolo 3 Serie 3.1 Definizione Sia{a n}una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a 1+a 2+...+a n+... di tutti i termini della successione. Questa operazione formale `e dettaserie(infinita) ditermine generalea n,e viene anche indicata con la scrittura +∞P n=1 an Nel seguito far`acomodoaverelapossibilit`a di cambiare l’indice della sommatoria, in modo da iniziare a sommare da valori diversi da 1.Se risulta pi`u utile avere a che fare con sommatorie che iniziano da 4,`esufficiente cambiareninm=n+3,per ottenere la scrittura +∞X n=1 an= +∞X m=4 am−3 . Inoltre, capiter`a di avere a che fare con successioni{a n}definite per ognin≥0,ed in quei casi tratteremo con +∞X n=0 an=a 0+a 1+a 2+... Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: i) Per ognin≥1fissato, calcoliamo la somma dei primintermini della serie s n= nX k=1 ak=a 1+a 2+...+a k. ii) Abbiamo in questo modo ottenuto la successione{s n},icuiterminisono 37 38CAPITOLO 3. SERIE s 1= 1P k=1 ak=a 1 s2= 2P k=1 ak=a 1+a 2 ..... s n= nP k=1 ak=a 1+a 2+...+a n e questa successione viene dettasuccessione delle somme parzialidella serie +∞P n=1 an. ` E utile osservare che la costruzione della{s n}apartiredalla{a n}avviene in modo iterativo, perch`es n=s n−1 +a nper ognin≥2.Questo permette di affermare che ogni successione{S n}`e la successione delle somme parziali di una ben precisa +∞P n=1 An; basta infatti utilizzareA 1=S 1,e A n=S n−S n−1 pern≥2. Definizione 3.1Una serie +∞P n=1 an`edettaco n v e rg e n t e,divergenteoirregolare,aseconda che lo sia la sua successione delle somme parziali. Determinare ilca ra t t e redi una serie significa stabilire a quale del le tre precedenti categorie appartenga. Le serie convergenti o divergenti sono dettereg o l a r i . Definizione 3.2Per le serie convergenti, il lim n→+∞ sn=s∈R `e dettosommadellaserie,edinquestocasosiscrive s= +∞P n=1 an . Esempio 1La serie di termine generale costantea n=c∈Rper og ninha ovviamente suc- cessione del le somme parzialis n =nc,equindi`e convergente con somma0nel casoc=0, divergente a+∞sec>0,e divergente a−∞sec0∃ n= n(ε):∀n≥ n,∀p≥1=⇒¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n+pP k=n+1 ak ¯ ¯ ¯ ¯ ¯0∃ n= n(ε):∀n, m≥ n=⇒|s m −s n|0fissato, esiste un indice nche garantisce che sen≥ nesep≥1,allora¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n+pP k=n+1 |ak|¯ ¯ ¯ ¯ ¯