Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Introduzione al calcolo vettoriale con esempi applicativi 1

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NOTE INTRODUTTIVE AL CALCOLO VETTORIALE CON ESEMPI APPLICATIVI Essendo oggetto di revisione critica e correzione il presente documento , riguardante il calcolo vettoriale e la geometria analitica attinentei ai corsi di Analisi Matematica e Geometria del primo semestre, ha carattere provvisorio , non si esclude quindi la presenza di refusi . Alcune identità – in particolare quelle dei problemi 9 ÷ 16, particolarmente utili in Fisica – hanno carattere complementare e non rientrano nel programma ufficiale . §1 DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ Un vettore applicato (o geometrico) è un qualunque segmento orientato. È caratterizzato da: una d i r e z i o n e (data dalla retta che lo contiene), una l u n g h e z z a (misurata rispetto a una prefissata unità di misura), un v e r s o (evidenziato dal grafema “ ➤ ”) e un p u n t o d i a p p l i c a z i o n e . Viene solitamente denotato con un complesso simbolico del tipo A B     , P Q     etc. ( A , B etc. sono i punti di applicazione). I vettori si prestano a rappresentare in modo sintetico ed estremamente espressivo l’idea di forza ma anche, come vedremo, le posizioni di punti nello spazio eventualmente considerati come unità elementari di materia, nonché le loro velocità, accelerazioni, quantità di moto, momenti vari, etc. Il loro ruolo in geometria e fisica è pertanto imprescindibile. Un altro concetto a cui si legano è quello di s p o s a m e n t o r e t t i l i n e o f i n i t o (da A a B , da P a Q etc.). Due successivi spostamenti, per esempio da O ad A e poi da A a B , si sostanziano in un unico spostamento da O a B . Da qui l’idea di somma vettoriale che, sulle orme di Galileo, possiamo definire tramite la regola del parallelogramma illustrata nella figura 2: O A    + A B     : = O B     . Il vettore applicato C D     si dice equipollente ad A B     (vedi l’es. di fig. 1) se è possibile sovrapporlo a quest’ultimo mediante un movimento rigido di traslazione parallela in modo tale che C coincida con A e D con B . NB: è esclusa la rotazione! K H     non è pertanto equipollente ad A B     . Si verifica banalmente che l a e q u i p o l l e n z a è u n a r e l a z i o n e d i e q u i v a l e n z a nell’insieme V 3 di tutti i vettori applicati. Essa partisce V 3 in c l a s s i d i e q u i v a l e n z a del tipo  a : = A B     ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = C D     ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ =  , dette semplicemente vettori . O g n i v e t t o r e  a c o m p e n d i a l ' i d e a d i s p o s t a m e n t o r e t t i l i n e o i n i n s é e d i p e r s é , p r e s c i n d e n d o d a l p u n t o d i p a r t e n z a . 1 Sebbene privo di direzione e verso, chiameremo vettore nullo – in simboli  0 – la classe di equivalenza di un qualunque segmento di lunghezza 0 (in pratica un punto). Fisicamente esso può essere interpretato come una forza di intensità zero e dunque priva di effetti, ovvero (in senso cinematico) come spostamento nullo. Se  a = O A    ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ e  b = O B     ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ definiamo somma  a +  b il vettore O A    + O B     ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ . Tale legge di composizione interna è b e n d e f i n i t a , non dipende cioè dai particolari vettori applicati che denotano le due classi di equivalenza (la dimostrazione è lasciata al lettore). 1 Si rammenti che dato un insieme Ω , una qualunque relazione binaria  tra suoi elementi è detta di equivalenza se sono soddisfatte le seguenti tre proprietà: 1) x  x ∀ x ∈ Ω (riflessiva) ; 2) x  y ⇒ y  x (simmetrica) ; 3) x  y e y  z ⇒ x  z (transitiva). Posto [ x ] = { y ∈ Ω : x  y } (detta classe di equivalenza di x ) ∪ x ∈ Ω [ x ] = Ω inoltre: [ x ] = [ z ] ovvero [ x ] ∩ [ z ] = ∅ . K A B H Q P C D 1  a  b  a +  b 2  c •  b  c A B O (  a +  b ) +  c 2 L ' a d d i z i o n e v e t t o r i a l e è u n a l e g g e d i c o m p o s i z i o n e i n t e r n a n e l l ' i n s i e m e d e i v e t t o r i ; e s s a c o n f i g u r a l a s t r u t t u r a a l g e b r i c a d i “ g r u p p o a b e l i a n o ” come facilmente si verifica sulla base di noti teoremi di geometria euclidea. Più specificatamente: ( i )  a + (  b +  c ) = (  a +  b ) +  c ∀  a ,  b ,  c (proprietà associativa) ( i i )  a +  0 =  a =  0 +  a ∀  a (  0 è detto elemento neutro) ( i i i ) per ogni  a esiste un vettore che convenzionalmente denoteremo −  a per il quale  a + ( −  a ) = ( −  a ) +  a =  0 ; −  a è detto inverso di  a ( i v )  a +  b =  b +  a ∀  a ,  b (proprietà commutativa). OSSERVAZIONE 1 Sommando due o più vettori torna utile la cosiddetta regola della poligonale illustrata nella sottostante figura, nella quale viene tracciato un solo lato dei due d’ogni parallelogramma sì da ottenere  R =  a 1 +  a 2 +  a 2 +  a 4 +  a 5 +  a 6 . Per la proprietà ( i ) e ( i v )  R è indipendente dall’ordine e dalle parentesi. Con | |  a | | indicheremo la lunghezza o norma di  a . Si dice versore un vettore di norma unitaria. Una seconda operazione che concorre a caratterizzare i vettori è quella di prodotto di un vettore per un numero reale o, come si dice in fisica, per uno scalare . Se λ ∈ R porremo λ  a = v e t t or e d i d i r e z i on e i d e n t i c a a q u e l l a d i  a , v e r s o c on c or d e e l u n gh e z z a p ar i a λ | |  a | | s e λ ≥ 0 v e t t or e d i d i r e z i on e i d e n t i c a a q u e l l a d i  a , v e r s o d i s c or d e e l u n gh e z z a p ar i a − λ | |  a | | s e λ < 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ È evidente che t a l e p r o d o t t o n o n è u n a l e g g e d i c o m p o s i z i o n e i n t e r n a . La dimostrazione delle seguenti ulteriori quattro proprietà costituisce un facile ed utile esercizio. ( v ) λ (  a +  b ) = λ  a + λ  b ∀  a ,  b e ∀ λ ∈ R ( v i ) ( λ + µ )  a = λ  a + µ  a ∀  a e ∀ λ , µ ∈ R (è sottintesa la precedenza della moltiplicazione rispetto alla addizione) ( v i i ) ( λ µ )  a = λ ( µ  a ) ∀  a e ∀ λ , µ ∈ R ( v i i i ) 1  a =  a ∀  a Le proprietà ( i ) ÷ ( v i i i ) caratterizzano quelli che in seguito definiremo spazi vettoriali astratti – in questo caso “reali” – indipendentemente dal sostrato geometrico degli enti qui considerati. Dati i vettori  a e  b esiste un unico vettore  x detto sottrazione di  a da  b tale che  a +  x =  b . La sua costruzione geometrica è quella indicata in figura. •  a  b  x 4  a 1  a 2  a 3  a 4  a 5  a 6  R • 3 3 Scriveremo  x =  b −  a . Applicando le proprietà algebriche fondamentali sopra elencate avremo che  a +  x =  b ⇒ −  a + (  a +  x ) = −  a +  b =  b + ( −  a ) quindi ( −  a +  a ) +  x =  b + ( −  a ) . Come dire:  x =  b + ( −  a ) . In altri termini  b −  a =  b + ( −  a ) . ESEMPIO APPLICATIVO 1 Supponiamo che  p −  a  p −  b = m n con m , n ∈ N (vedi figura). Avremo  p = 1 m + n n  a + m  b ( ) Dimostrazione n  p −  a = m  b −  p ⇒ n  p −  a ( ) = m  b −  p ( ) ⇒ n + m ( )  p = n  a + m  b Da qui la tesi. Se n = m P è il punto medio del segmento A B e  p = 1 2  a +  b ( ) ESEMPIO APPLICATIVO 2 Le mediane di un triangolo si intersecano in un unico punto detto baricentro, il quale divide le mediane stesse nel rapporto 2 a 1. Dimostrazione Per il teorema che precedede   = 1 2  b +  c ( )  n = 1 2  b +  a ( )  m = 1 2  a +  c ( ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Se X che divide A L nel rapporto 2 1 allora  x = 1 3  a + 2 1 2  b +  c ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = 1 3  a +  b +  c ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ . Con passaggi analoghi otteniamo che i punti ′ X e ′ ′ X che dividono MB e N C nel rapporto 2 1 sono dati da 1 3  a +  b +  c ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ . Da qui la tesi. §2 VETTORI E RIFERIMENTI CARTESIANI Fissata un’unità di misura delle lunghezze consideriamo una terna X Y Z di assi orientati tra loro perpendicolari e indichiamo con  e 1 ,  e 2 ,  e 3 il sistema di versori ortogonali associato (vedi figura). In virtù delle definizioni di somma, di prodotto per uno scalare e delle sopraddette proprietà ( i ) ÷ ( v i i i ) avremo, dato un qualsiasi vettore  a , un’uguaglianza del tipo  a = a i  e i i = 1 3 ∑ , dove ( a 1 , a 2 , a 3 ) ∈ R 3 è la terna ordinata delle ordinarie coordinate cartesiane del punto A individuato da  a medesimo. Così pure per un secondo vettore  b otterremo  b = b i  e k k = 1 3 ∑ . Tutto ciò ci consente d’asserire che fissato un sistema di riferimento ortogonale avremo le corrispondenze biunivoche A   a  ( a 1 , a 2 , a 3 ) tra i  e 1  e 2  e 3 X Y Z  a A • a 1  e 1 a 2  e 2 7 a 3  e 3 5 O A P B  a  b  p 6 A C B N M L O X • 4 punti dello spazio, i vettori e le terne ordinate di R 3 , le quali possono essere pensate ed eventualmente scritte in colonna anziché in riga. In molti testi (specialmente di meccanica razionale classica) si usano i simboli  i ,  j ,  k anziché  e 1 ,  e 2 ,  e 3 , §3 PRODOTTI INTERNO (O SCALARE), VETTORIALE E MISTO Oltre alle suddette operazioni ve ne sono altre di particolare interesse anch’esse originate da problemi di modellizzazione matematica di fenomeni fisici, in primo luogo meccanici. Val la pena di spendere due parole al riguardo. NOTA EURISTICA Supponiamo di dover spostare di s metri un corpo di massa M vincolato a scorrere lungo una rotaia R , compiendo in tal modo un certo “lavoro”. Possiamo rappresentare la forza all'uopo necessaria con un vettore  F non necessariamente parallelo ad R . Ammettiamo che  F abbia intensità verso e direzione costanti (ossia che il vettore forza permanga equipollente nel corso della traslazione). Scomponendo  F lungo le direzioni parallela e perpendicolare a R otteniamo:  F T +  F N =  F . Esaminiamo separatamente gli effetti di  F T ed  F N .  F N comporta una spinta perpendicolare alla rotaia la quale, per il principio di “azione e reazione”, reagirà con una forza −  F N uguale e contraria, salvo che  F N non sia tanto intensa da svellere la rotaia dal terreno, cosa che escluderemo. L'unica forza efficace agli effetti della traslazione del corpo lungo il vincolo è  F T . La domanda a questo punto è: come valutare numericamente (quantitativamente) il “lavoro” compiuto? Intuitivamente e stando all'accezione comune del termine, esso sarà tanto più grande quanto maggiore è la lunghezza del vettore spostamento  s ma, al tempo stesso, dipenderà anche dall'intensità della componente  F T necessaria a vincere le eventuali forze resistenti come l'attrito o eventuali altre: un “grande lavoro” comporterà un grande spostamento ovvero uno spostamento magari modesto ma che richieda al “lavoratore” un grande sforzo. Questa duplice proporzionalità o “bilinearità” – il termine sarà meglio precisato in seguito – ci induce a definire il lavoro come il prodotto della lunghezza di  s (vettore spostamento) per l'intensità di  F T ; simbolicamente: L = | |  s | | | |  F T | | . Possiamo notare, a questo punto, che | |  F T | | = | |  F | | c os θ ove θ è l'angolo formato dai vettori  F 8 | |  s | | ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  F N  F T −  F N  s  F θ R 5 ed  s . Abbiamo così, in definitiva, L = | |  s | | | |  F | | c os θ . Indicheremo | |  s | | | |  F | | c os θ , detto prodotto interno o scalare dei vettori  F ed  s , con i complessi simbolici  F ⋅  s o  F ,  s oppure ancora  F  s .  Estendendo tale definizione a due vettori qualsiasi  a e  b dello spazio tridimensionale euclideo (indipendentemente dal significato fisico che possiamo attribuire ad essi) abbiamo:  a ⋅  b : = | |  a | | | |  b | | c os θ Si osservi che  a ⋅  b viene a coincidere col prodotto della norma di un vettore per la lunghezza della proiezione dell'altro su di esso (NB: col segno + se − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 , in caso contrario col segno − ). S u p p o n e n d o  a ≠  0 ≠  b a v r e m o  a ⋅  b = 0 s e e s o l o s e  a ⊥  b (il simbolo “ ⊥ ” indica la relazione di ortogonalità). Vale la p r o p r i e t à d i s t r i b u t i v a d e l p r o d o t t o i n t e r n o r i s p e t t o a l l a s o m m a : (1)  a ⋅ (  x +  y ) =  a ⋅  x +  a ⋅  y ( ∀  a ,  x ,  y ) Se infatti consideriamo le proiezioni di  x +  y ,  x e  y su  a (vedi figura) otteniamo:  a ⋅ (  x +  y ) = | |  a | | O Z = | |  a | | ( O X + X Z ) = | |  a | | ( O X + O Y ) =  a ⋅  x +  a ⋅  y (NB: i triangoli evidenziati sono congruenti) V a l g o n o a l t r e s ì l e p r o p r i e t à a s s o c i a t i v a e c o m m u t a t i v a (banalmente dimostrabili) (2)  a ⋅ ( λ  b ) = λ  a ⋅  b ( ∀  a ,  b , λ ) e (3)  a ⋅  b =  b ⋅  a ( ∀  a ,  b ) Tenuto conto di (2) e (3) ed applicando la (1) otteniamo (1-bis) (  x +  y ) ⋅  a =  x ⋅  a +  y ⋅  a ( ∀  a ,  x ,  y ) (2-bis) ( λ  a ) ⋅  b = λ  a ⋅  b ( ∀  a ,  b , λ ) Viceversa, le proprietà (1) e (2) seguono da (3) una volta che siano state provate le (1-bis) e (2-bis) come facilmente si evince dall’analisi delle figure.  a  b O B θ 9 10  a  y O Y  x X  x +  y Z 6 Torniamo alla rappresentazione vettoriale dei punti dello spazio in un prefissato sistema di riferimento cartesiano. Sappiamo che A   a = a i  e i i = 1 3 ∑ , dove ( a 1 , a 2 , a 3 ) ∈ R 3 è la terna ordinata delle ordinarie coordinate del punto individuato da  a medesimo. Analogamente avremo  b = b i  e k k = 1 3 ∑ per un secondo punto B   b . Applicando reiteratamente le proprietà del prodotto interno sopra citate e tenuto conto del fatto che  e i ⋅  e k = δ i k (in quanto  e i ⊥  e k per i ≠ k ), otteniamo: (4)  a ⋅  b = a i b i i = 1 3 ∑ La (4) consente di calcolare il prodotto interno unicamente tramite le coordinate dei vettori cioè in modo puramente analitico. PROBLEMA 1 Dimostrare che se  a = a j  k j j = 1 3 ∑ con  k 1 ,  k 2 ,  k 3 versori ortogonali tra loro allora a i =  a ⋅  k i per i = 1 , 2 , 3 . Soluzione È sufficiente applicare la proprietà distributiva (1) e (2) osservando che  k i ⋅  k j = δ i j . PROBLEMA 2 Dimostrare le disuguaglinze seguenti: ( i ) |  a ⋅  b | ≤ | |  a | | | |  b | | ( ii ) | |  a +  b | | ≤ | |  a | | + | |  b | | ( iii ) | | |  a | | − | |  b | | | ≤ | |  a −  b | | Soluzione |  a ⋅  b | = | |  a | | | |  b | | | c os θ | ≤ | |  a | | | |  b | | , segue la ( i ) . | |  a +  b | | 2 = (  a +  b ) ⋅ (  a +  b ) = | |  a | | 2 + | |  b | | 2 + 2  a ⋅  b ≤ | |  a | | 2 + | |  b | | 2 + 2 |  a ⋅  b | ≤ | |  a | | 2 + | |  b | | 2 + 2 | |  a | | | |  b | | = ( | |  a | | + | |  b | | ) 2 da qui la ( i i ) . Per la ( i i ) , | |  a | | = | | (  a −  b ) +  b | | ≤ | |  a −  b | | + | |  b | | ⇒ | |  a | | − | |  b | | ≤ | |  a −  b | | . Analogamente | |  b | | − | |  a | | ≤ | |  b −  a | | = | |  a −  b | | . Da qui la ( i i i ) . PROBLEMA 3 Provare che in un qualsiasi parallelogramma la somma dei quadrati delle diagonali è pari al doppio della somma dei quadrati dei lati. Soluzione | |  a +  b | | 2 + | |  a −  b | | 2 = (  a +  b ) ⋅ (  a +  b ) + (  a −  b ) ⋅ (  a −  b ) = 2 | |  a | | 2 + 2 | |  b | | 2 per le proprietà del prodotto interno. LEMMA Se  a ⋅  x =  b ⋅  x ∀  x allora  a =  b Dimostrazione Dalla (4) precedente si trae che a i x i i = 1 3 ∑ = b i x i i = 1 3 ∑ ∀ ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Per ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 1 , 0 , 0 ) ; ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 0 , 1 , 0 ) ; ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 0 , 0 , 1 ) otteniamo nell’ordine: a 1 = b 1 ; a 2 = b 2 ; a 3 = b 3 . Da qui la tesi. 7 Con specifico riferimento alla figura a lato, definiamo prodotto vettoriale  a ∧  b il vettore perpendicolare ad  a e a  b , orientato secondo la regola della mano destra (o della vite destrorsa), nonché di norma pari a | |  a | | | |  b | | s e n α che è il valore corrisponde all'area del parallelogramma avente  a e  b come lati. 2 Dall'esame della figura risulta altresì (5)  a ∧  b = −  b ∧  a e  a ∧ ( λ  b ) = λ (  a ∧  b ) = ( λ  a ) ∧  b ∀  a ,  b , λ Si osservi che il prodotto vettoriale è a tutti gli effetti una legge di composizione interna. Il suo significato fisico concerne il cosiddetto momento di una forza rispetto a un polo. Consideriamo una trave rigida incernierata in un punto C e supponiamo d’applicare a un suo capo una forza  F . Essa può essere scomposta in base alla regola del parallelogramma nelle componenti  F N ed  F T . Quest’ultima tenderà a far traslare la tavola stessa in senso orizzontale il che susciterà la reazione del vincolo a cui è incernierata. L’effetto rotatorio prodotto da  F dipenderà dunque solo a  F N . Diremo intensità del momento | |  F N | | | |  s | | = | |  F | | | |  s | | s i n α = | |  s ∧  F | | , ove α è pari all’angolo formato da  s e  F (vedi figura). Il verso di  s ∧  F (in questo caso entrante nel piano del foglio) indica che la rotazione è oraria. Se  F fosse stata applicata all’altro capo della tavola sarebbe stato il contrario. Un’altra importante operazione tra vettori, in questo caso non più binaria ma ternaria, è il prodotto misto di tre vettori  a ,  b e  c così definito: (  a ∧  b ) ⋅  c La soprastante figura 11 mostra chiaramente che il prodotto misto (  a ∧  b ) ⋅  c altro non è se non il volume orientato del parallelepipedo individuato dai vettori  a ,  b e  c (positivo o negativo a seconda dei valori di α e θ ) di guisa che (  a ∧  b ) ⋅  c è il volume comunemente inteso. Da questa proprietà geometrica seguono a cascata importanti proposizioni, alle quali conviene premettere alcune semplici considerazioni miranti a gettare un ponte tra calcolo vettoriale e algebra lineare. §4 PROPRIETÀ DEL PRODOTTO MISTO: LA FUNZIONE DETERMINANTE Le corrispondenze biunivoche A   a  ( a 1 , a 2 , a 3 ) di cui sopra tra punti dello spazio, vettori e terne ordinate di R 3 induce quella tra una terna ordinata (  a ,  b ,  c ) di vettori geometrici e la matrice delle coordinate 2 Si rammenti che l'orientamento positivo degli angoli è quello antiorario. 12 •  s  F N  F T  F −  F T α 11  b  a  a ∧  b α θ • 8 a = a 1 a 2 a 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , b = b 1 b 2 b 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , c = c 1 c 2 c 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ messe in colonna anziché in riga. Avremo pertanto (  a ,  b ,  c )  a 1 b 1 c 3 a 2 b 2 c 3 a 3 b 3 c 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ Per economia di spazio, rappresenteremo spesso quest’ultima con la notazione più sintetica a b c ( ) , nella quale le barre enfatizzano la disposizione testè precisata. Da qui la possibilità di ottenere una funzione d e t : R 3 × R 3 × R 3 → R , detta determinante , mercè l’uguaglianza d e t a b c ( ) = (  a ∧  b ) ⋅  c La proposizione che segue riguarda l’influenza dell’ordine dei vettori  a ,  b ,  c nel prodotto misto. TEOREMA 1 Uno qualsiasi dei due scambi possibili tra gli elementi contigui della terna ( a , b , c ) determina un cambiamento di segno del valore di d e t a b c ( ) = (  a ∧  b ) ⋅  c . Più specificatamente: d e t b a c ( ) = − d e t a b c ( ) e d e t a c b ( ) = − d e t a b c ( ) ossia (  b ∧  a ) ⋅  c = − (  a ∧  b ) ⋅  c e (  a ∧  c ) ⋅  b = − (  a ∧  b ) ⋅  c . Se ne trae che (  c ∧  b ) ⋅  a = − (  a ∧  b ) ⋅  c ossia d e t c b a ( ) = − d e t a b c ( ) . Dimostrazione L'enunciato si ricava facilmente dalla disamina della figura a lato, tenuto conto della (5) e del significato geometrico di (  a ∧  b ) ⋅  c . Così, ad esempio (  a ∧  c ) ⋅  b = − (  c ∧  a ) ⋅  b = − (  a ∧  b ) ⋅  c in quanto (  c ∧  a ) ⋅  b è, al pari di (  a ∧  c ) ⋅  b , il volume (positivo) del parallelepipedo. Analogamente (  b ∧  a ) ⋅  c = − (  a ∧  b ) ⋅  c in virtù di (5). L’utima uguaglianza consegue dalle precedenti essendo l’allineamento  c ,  b ,  a ottenibile da  a ,  b ,  c mediante 3 scambi contigui. TEOREMA 2 Vale la p r o p r i e t à d i s t r i b u t i v a d e l p r o d o t t o v e t t o r i a l e rispetto alla somma, ossia:  a ∧ (  x +  y ) =  a ∧  x +  a ∧  y Dimostrazione Applicando reiteratamente il teorema 1 e la proprietà (1) (poi ancora, nell'ordine, l'uno e l'altra) abbiamo le seguenti quattro uguaglianze: ∀  n , [  a ∧ (  x +  y ) ] ⋅  n = [  n ∧  a ] ⋅ (  x +  y ) = [  n ∧  a ] ⋅  x + [  n ∧  a ] ⋅  y = [  a ∧  x ] ⋅  n + [  a ∧  y ] ⋅  n = [  a ∧  x +  a ∧  y ] ⋅  n . L'enunciato segue dal precedente lemma. ESEMPIO APPLICATIVO 1 Consideriamo un qualsiasi triangolo associato ad  a e  b . Il terzo lato corrisponde al vettore  c =  b −  a . Abbiamo (per le proprietà algebriche del prodotto interno)  b −  a 2 =  b 2 +  a 2 − 2  b ⋅  a =  b 2 +  a 2 − 2  b  a c os γ quindi  b −  a 2 =  b 2 +  a 2 − 2  b  a c os γ . È questo il teorema di Carnot . γ  a  b  c β α 14  c  b  a  a ∧  b α θ 13 • 9 ESEMPIO APPLICATIVO 2 Con specifico riferimento al precedente triangolo possiamo anche scrivere  b ∧  c =  b ∧ (  b −  a ) = −  b ∧  a =  a ∧  b quindi  c  b s i n α =  a  b s i n γ vale a dire  c s i n α =  a s i n γ . Analogamente  a ∧  c =  a ∧ (  b −  a ) =  a ∧  b ergo  c  a s i n β =  b  a s i n γ , ossia  c s i n β =  b s i n γ . Con banali passaggi otteniamo  c s i n γ =  b s i n β =  a s i n α . È questo il teorema dei seni . Per ulteriori sviluppi è opportuno anticipare un paio di definizioni che formano l’oggetto principale della “algebra lineare”, nella quale verranno ampiamente generalizzate. Una funzione f : R 3 → R si dice funzione lineare se ha le seguenti 2 proprietà per ∀ a , b ∈ R 3 e ∀ λ ∈ R : ( i ) f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) ( i i ) f ( λ a ) = λ f ( a ) Diremo che i vettori  a 1 ,  a 2 , … ,  a n generano l’ordinario spazio euclideo E 3 se ∀  x esiste una n - u p l a di scalari α 1 , α 2 , … , α n per cui  x = α 1  a 1 + α 2  a 2 +  + α n  a n ossia se ogni  x è (come si usa dire) combinazione lineare di  a 1 ,  a 2 , … ,  a n . Così, ad esempio, i versori e 1 , e 2 , e 3 sopra considerati generano E 3 . Il problema che subito si pone è se meno di tre vettori – diciamo  a 1 e  a 2 – possano generare E 3 . La risposta è negativa. Possono infatti darsi due casi: 1°  a 1 e  a 2 giaciono sulla stessa retta r così che uno qualsiasi dei due (per esempio  a 2 ) sia esprimibile come moltiplicazione dell’altro per un’opportuno scalare λ ∈ R ; 2°  a 1 e  a 2 non giaciono sulla stessa retta. Nella prima eventualità avremo α 1  a 1 + α 2  a 2 = α 1  a 1 + λ ( α 2  a 1 ) = ( α 1 + λ α 2 )  a 1 così che α 1  a 1 + α 2  a 2 ≠  x se  x non giace in r . Nella seconda invece potremo ottenere, per un opportuna scelta di α 1 e α 2 (applicando la regola del parallelogramma) α 1  a 1 + α 2  a 2 =  x , ma solo a condizione che quest’ultimo giaccia nel piano π che contiene  a 1 e  a 2 , dunque non per ogni possibile  x . Altrettanto può dirsi se tre vettori  a 1 ,  a 2 ,  a 3 (o più) appartengono tutti a un unico piano ché, se così fosse, avremmo con facili passaggi giustificati dalle proprietà ( i ) ÷ ( v i i i ) un’uguaglianza del tipo α 1  a 1 + α 2  a 2 + α 3  a 3 = ( α 1 + λ 1 α 3 )  a 1 + ( α 2 + λ 2 α 3 )  a 2 ; vettore quest’ultimo giacente in π . Concludendo, l’unica possibilità perché qualsiasi  x possa esprimersi come combinazione lineare di  a 1 ,  a 2 ,  a 3 con una congrua scelta di α 1 , α 2 , α 3 è che tali vettori non siano allineati e non giacciano tutti sullo stesso piano. Se così è diciamo che  a 1 ,  a 2 ,  a 3 formano una base dello spazio tridimensionale euclideo. Ma v’è di più: se  a 1 ,  a 2 ,  a 3 generano tutti i vettori potrà aversi un’uguaglianza del tipo α 1  a 1 + α 2  a 2 + α 3  a 3 = ′ α 1  a 1 + ′ α 2  a 2 + ′ α 3  a 3 per ( α 1 , α 2 , α 3 ) ≠ ( ′ α 1 , ′ α 2 , ′ α 3 ) ? 10 Di nuovo la risposta è no! Se così fosse otterremmo infatti ( α 1 − ′ α 1 )  a 1 + ( α 2 − ′ α 2 )  a 2 + ( α 3 − ′ α 3 )  a 3 =  0 e la iterazione della regola del parallelogramma (ovvero, più semplicemente, il metodo della poligonale) ci mostra che ciò è possibile solo se ( α 1 − ′ α 1 )  a 1 = ( α 2 − ′ α 2 )  a 2 = ( α 3 − ′ α 3 )  a 3 =  0 il che comporta α 1 − ′ α 1 = α 2 − ′ α 2 = α 3 − ′ α 3 = 0 dunque α 1 = ′ α 1 , α 2 = ′ α 2 e α 3 = ′ α 3 , contrariamente all’ipotesi. Torniamo al determinante. TEOREMA 3 La funzione d e t : R 3 × R 3 × R 3 → R gode delle proprietà seguenti : ( i ) d e t . y z ( ) ; d e t x . z ( ) ; d e t x y . ( ) intese come applicazioni da R 3 a R del tipo x  d e t x y z ( ) ; y  d e t x y z ( ) ; z  d e t x y z ( ) sono lineari . ( i i ) un qualunque scambio di elementi contigui della terna ( x , y , z ) ∈ R 3 × R 3 × R 3 determina un cambiamento di segno di d e t x y z ( ) ; ( i i i ) d e t e 1 e 2 e 3 ( ) = 1 , posto che e 1 , e 2 , e 3 indichino i versori canonici del sistema di riferimento ortogonale. ( i v ) d e t x y z ( ) = 0 se e solo se uno dei vettori  x ,  y o  z è combinazione lineare degli altri due. Dimostrazione La ( i i ) è contenuta nel teorema 1. La ( i ) segue facilmente dalle proprietà de prodotti scalare e vettoriale (vedi sopra): (  x +  a ) ∧  y ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅  z = (  x ∧  y +  a ∧  y ) ⋅  z = (  x ∧  y ) ⋅  z + (  a ∧  y ) ⋅  z e ( λ  x ) ∧  y ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅  z = λ (  x ∧  y ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅  z = λ (  x ∧  y ) ⋅  z . Potendo utilizzare la seconda proprietà ( NB : già provata!) possiamo scrivere:  x ∧ (  y +  a ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅  z = − (  y +  a ) ∧  x ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅  z = −  y ∧  x ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅  z −  a ∧  x ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅  z =  x ∧  y ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅  z +  x ∧  a ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅  z ;  x ∧ ( λ  y ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅  z = − ( λ  y ) ∧  x ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅  z = − λ (  y ∧  x ) ⋅  z = λ (  x ∧  y ) ⋅  z . Analogamente si procede con la terza variabile. La terza proprietà si sostanzia nel fatto che un cubo di lato 1 ha volume unitario. Infine: se  z = α  x + β  y allora (  x ∧  y ) ⋅  z = α (  x ∧  y ) ⋅  x + β (  x ∧  y ) ⋅  y = 0 (vedi figura 13). Così pure – per la ( i i ) – se  x = α  z + β  y o  y = α  z + β  x . Viceversa se d e t x y z ( ) = 0 il volume del parallelepipedo è nullo dunque si riduce a una figura piana. In virtù di quanto precede almeno uno dei vettori x , y , z è combinazione lineare degli altri due. OSSERVAZIONE La figura a fianco rende perspicuo in termini di volume il significato geometrico della linearità rispetto alla terza variabile: il volume del solido costituito da due parallelepipedi sovrapposti individuati rispettivamente dai vettori  x ,  y ,  z e  x ,  y ,  a eguaglia il volume di un unico parallelepipedo individuato da  x ,  y e  z +  a .  x  a 1  a 2  a 3 • • • • • •  x  y  z  a  z +  a • 11 §5 COMPLEMENTI Proponiamo alcuni problemi di interesse non solo geometrico puro e – in prospettiva – algebrico-lineare ma anche applicativo. Questi ultimi sono specialmente legati all’indagine fisicomatematica in ambiti quali la “meccanica razionale”, la “fluidodinamica”, la “teoria matematica dell’elasticità”, la stessa “scienza delle costruzioni” e, non ultimo, la “teoria dell’elettromagnetismo, ove la modellizzaione vettoriale svolge un ruolo chiarificatore imprescindibile. La raccomandazione è di non seguire le tracce risolutive proposte se non dopo reiterati tentativi fallimentari. PROBLEMA 4 Provare che se f : R 3 × R 3 × R 3 → R ha le proprietà ( i ) , ( i i ) e ( i i i ) del teorema 3 allora f = d e t con d e t a b c ( ) = ε i j k a i b j c k i , j , k ∑ e ε i j k : = 0 s e d u o o p i ù d e i p e d i c i i , j , k s o n o u g u a l i 1 s e l ' a l l i n e a m e n t o i , j , k è c o n s e g u i b i l e c o n u n n ° p a r i d i s c a m b i c o n t i g u i − 1 s e l ' a l l i n e a m e n t o i , j , k è c o n s e g u i b i l e c o n u n n ° d i s p a r i d i s c a m b i c o n t i g u i ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Traccia Dati a = a i e i i = 1 3 ∑ , b = b j e j j = 1 3 ∑ e c = c k e k k = 1 3 ∑ per le proprietà ( i ) , ( i i ) e ( i i i ) abbiamo f a b c ( ) = a i b j c k f e i e j e k ( ) i , j , k ∑ = ε i j k a i b j c k f e 1 e 2 e 3 ( ) i , j , k ∑ = ε i j k a i b j c k i , j , k ∑ . Alla stessa identica formula perveniamo – sempre applicando le proprietà ( i ) , ( i i ) e ( i i i ) del prodotto misto – con d e t anziché f . NB : possiamo limitare gli addendi della sommatoria a quelli (in tutto 6) per i quali i valori i , j , k sono tutti diversi tra loro ossia costituiscono “disposizioni senza ripetizione” dei numeri 1 , 2 , 3 . PROBLEMA 5 Dimostrare che la formula analitica del prodotto vettoriale è  a ∧  b = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 )  e 1 + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 )  e 2 + ( a 1 b 2 − a 2 b 3 )  e 3 Traccia È sufficiente applicare le proprietà (5) e “distributiva” del prodotto vettoriale, osservando che  e i ∧  e i =  0 per i = 1 , 2 , 3 e che  e 1 ∧  e 2 =  e 3 ,  e 1 ∧  e 3 = −  e 2 ,  e 2 ∧  e 3 =  e 1 onde  e 2 ∧  e 1 = −  e 3 ,  e 3 ∧  e 1 =  e 2 ,  e 3 ∧  e 2 = −  e 1 . Un metodo alternativo consiste nel far vedere che per ∀  x sia ha (utilizzando la formula del problema 4) (  a ∧  b ) ⋅  x = ε i j k a i b j x k i , j , k ∑ = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 )  e 1 + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 )  e 2 + ( a 1 b 2 − a 2 b 3 )  e 3 ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅  x . La tesi segue a questo punto dal precedente lemma. PROBLEMA 6 Dimostrare che (  a ∧  b ) ⋅  c = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) c 1 + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) c 2 + ( a 1 b 2 − a 2 b 3 ) c 3 Traccia Vedi formula del problema 5. PROBLEMA 7 Dimostrare che vale la seguente regola di Sarrus , consistente nell’addizionare i prodotti lungo le diagonali inclinate a sinistra e nel sottrarre i prodotti lungo le diagonali inclinate a destra (  a ∧  b ) ⋅  c = a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 Traccia Non c’è che da fare il computo e confrontare con la formula del problema 6. PROBLEMA 8 Dimostrare la seguente identità di Lagrange | |  a ∧  b | | 2 = | |  a | | 2 | |  b | | 2 − (  a ⋅  b ) 2 + + + − − − 12 Traccia | |  a ∧  b | | 2 = | |  a | | 2 | |  b | | 2 s i n 2 α = | |  a | | 2 | |  b | | 2 ( 1 − c os 2 α ) = | |  a | | 2 | |  b | | 2 − | |  a | | 2 | |  b | | 2 c os 2 α PROBLEMA 9 Dimostrare l’identità  a ∧ (  b ∧  c ) = (  a ⋅  c )  b − (  a ⋅  b )  c Traccia Indichiamo con  e 1 ,  e 2 ,  e 3 dei versori ortogonali dell’ordinario spazio euclideo. Per le proprietà (5) e distributiva del prodotto vettoriale (vedi teorema 2), posto  a = a i  e i i = 1 3 ∑ ,  b = b j  e j j = 1 3 ∑ ,  c = c k  e k k = 1 3 ∑ abbiamo  a ∧ (  b ∧  c ) = a i b j c k [  e i ∧ (  e j ∧  e k ) ] i , j , k ∑ . Essendo (  a ⋅  c )  b − (  a ⋅  b )  c = a i b j c k [ (  e i ⋅  e k )  e j − (  e i ⋅  e j )  e k ] i , j , k ∑ , come subito si evince dalle note proprietà del pro- dotto interno e della moltiplicazione per scalari, l’onere della prova si riduce alla dimostrazione delle uguaglianze  e i ∧ (  e j ∧  e k ) = (  e i ∧  e k )  e j − (  e i ∧  e j )  e k per ∀ i , j , k ∈ { 1 , 2 , 3 } Procediamo in tal senso analizzando i seguenti casi alternativi ( i ) i , j , k sono tutti diversi tra loro. Abbiamo  e i ∧ (  e j ∧  e k ) =  0 = (  e i ∧  e k )  e j − (  e i ∧  e j )  e k . ( i i ) j = k . Abbiamo  e i ∧ (  e j ∧  e j ) =  0 = (  e i ⋅  e j )  e j − (  e i ⋅  e j )  e j . ( i i i ) j ≠ k Sono possibili due sottocasi (escludendo il primo già trattato). ( i i i - i )  e j ∧ (  e j ∧  e k ) = −  e k = (  e j ⋅  e k )  e j − (  e j ⋅  e j )  e k ( i i i - i i )  e k ∧ (  e j ∧  e k ) =  e j = (  e k ⋅  e k )  e j − (  e k ⋅  e j )  e k Non altre possibilità esistono se non riconducibili a quelle sopra elencate; possiamo pertanto concludere che le uguaglianze  e i ∧ (  e j ∧  e k ) = (  e i ∧  e k )  e j − (  e i ∧  e j )  e k valgono ∀ i , j , k ∈ { 1 , 2 , 3 } . PROBLEMA 10 Provare che il prodotto vettoriale non gode della proprietà associativa. Traccia Per la proprietà anticommutativa del prodotto vettoriale e l’identità del problema 9:  a ∧ (  b ∧  c ) = (  a ⋅  c )  b − (  a ⋅  b )  c e (  a ∧  b ) ∧  c = −  c ∧ (  a ∧  b ) = − (  c ⋅  b )  a + (  c ⋅  a )  b . In generale (  a ⋅  b )  c ≠ (  c ⋅  b )  a già per il fatto che  a e  b possono avere direzioni diverse. Segue la tesi. PROBLEMA 11 Risolvere il problema precedente enucleando un controesempio Traccia Si consideri la terna  e 1 ,  e 2 e  e 3 … PROBLEMA 12 Dimostrare l’identità (  a ∧  b ) ∧ (  c ∧  d ) = [  a ⋅ (  c ∧  d ) ]  b − [  b ⋅ (  c ∧  d ) ]  a Traccia Supponendo  a e  b linearmente dipendenti avremo un’uguaglianza del tipo  b = λ  a con λ ∈ R . In tal caso (  a ∧  b ) ∧ (  c ∧  d ) =  0 = [  a ⋅ (  c ∧  d ) ]  b − [  b ⋅ (  c ∧  d ) ]  a , come subito si verifica con conti banali. Supponiamo  a e  b linearmente indipendenti (NB:  a e  b sono necessariamente diversi da  0 ché, diversamente, esisterebbero due scalari α e β non entrambi nulli per cui α  a + β  b =  0 ). In tal caso  a ∧  b ≠  0 .  e i  e j  e k 13 I vettori  a ,  b e  a ∧  b sono linearmente indipendenti, essendo il terzo ortogonale ai primi due; formano pertanto una “base” di R 3 . Ciò implica l’esistenza di tre scalari α , β , γ ∈ R per cui (  a ∧  b ) ∧ (  c ∧  d ) = α  a + β  b + γ (  a ∧  b ) ( * ) Orbene:  a ⊥  a ∧  b ,  b ⊥  a ∧  b e (  a ∧  b ) ∧ (  c ∧  d ) ⊥  a ∧  b quindi, moltiplicando scalarmente per  a ∧  b ambo i membri dell’equazione ( * ) otteniamo γ = 0 . Come dire: (  a ∧  b ) ∧ (  c ∧  d ) = α  a + β  b A questo punto, utilizzando convenientemente la formula del problema 9 otteniamo (  a ∧  b ) ∧ (  c ∧  d ) = − (  c ∧  d ) ∧ (  a ∧  b ) = − [ (  c ∧  d ) ⋅  b ]  a + [ (  c ∧  d ) ⋅  a ]  b Considerata la proprietà commutativa del prodotto scalare questo è quanto dovevasi dimostrare. PROBLEMA 13 Dimostrare che [  d ∧ (  a ∧  b ) ] ⋅ (  a ∧  c ) = [  a ⋅ (  b ∧  c ) ] (  a ⋅  d ) Traccia  a ∧  b ⊥  a e  a ∧  c ⊥  a . Supponiamo  a ,  b e  c linearmente indipendenti.  a ∧  b ,  a ∧  c ,  a sono linearmente indipendenti (tutti ovviamente non nulli) quindi formano una base.  d = α  a ∧  b + β  a ∧  c + γ  a con α , β , γ ∈ R incogniti e univocamente determinabili.  d ⋅  a = γ | |  a | | 2 ⇒ γ =  d ⋅  a | |  a | | 2 . Per le proprietà dei prodotti vettoriale e misto (vedi teorema 3 -( i v ) ) [  d ∧ (  a ∧  b ) ] ⋅ (  a ∧  c ) = γ [  a ∧ (  a ∧  b ) ] ⋅ (  a ∧  c ) = γ [ (  a ⋅  b )  a − | |  a | | 2  b ] ⋅ (  a ∧  c ) = −  d ⋅  a | |  a | | 2 | |  a | | 2  b ⋅ (  a ∧  c ) Conclusione: [  d ∧ (  a ∧  b ) ] ⋅ (  a ∧  c ) = (  d ⋅  a ) [  a ⋅ (  b ∧  c ) ] Supponiamo  a ,  b e  c linearmente dipendenti (per esempio  c combinazione lineare di  a ,  b ). Si vede subito che abbiamo [  d ∧ (  a ∧  b ) ] ⋅ (  a ∧  c ) =  0 =  a ⋅ (  b ∧  c ) (  a ⋅  d ) . PROBLEMA 14 Provare che  a ∧ (  b ∧  c ) +  b ∧ (  c ∧  a ) +  c ∧ (  a ∧  b ) =  0 Traccia Per l’identità del problema 2:  a ∧ (  b ∧  c ) = (  a ⋅  c )  b − (  a ⋅  b )  c  b ∧ (  c ∧  a ) = (  b ⋅  a )  c − (  c ⋅  b )  a  c ∧ (  a ∧  b ) = (  c ⋅  b )  a − (  a ⋅  c )  b Sommamdo membro a membro otteniamo l’identità cercata. PROBLEMA 15 Provare (  a ∧  b ) ⋅ (  c ∧  d ) =  a ⋅ [  b ∧ (  c ∧  d ) ] =  a ⋅ [ (  b ⋅  d )  c − (  b ⋅  c )  d ] = (  b ⋅  d ) (  a ⋅  c ) − (  b ⋅  c ) (  a ⋅  d ) Traccia La prima uguaglianza consegue dalle proprietà del prodotto misto, la seconda dall’identità del problema 2, la terza dalla proprietà distributiva del prodotto interno. PROBLEMA 16 Consideriamo un triangolo sferico A B C con sfera di raggio unitario ed archi di raggio massimo. Dimostrare che s i n γ s i n β c os α = c os γ c os β − c os α . Tale relazione è utile in Astronomia. 14 Traccia L’angolo α tra i piani contenenti O A C e O A B (vedi figura seguente) è identico a quello tra i vettori ad essi perpendicolari  b ∧  a e  a ∧  c . Per l’identità del problema 15 (  b ∧  a ) ⋅ (  a ∧  c ) = (  a ⋅  c ) (  b ⋅  a ) − (  a ⋅  a ) (  b ⋅  c ) . Semplificando le norme: s i n γ s i n β c os α = c os γ c os β − c os α . PROBLEMA 17 Determinare la formula del volume di un tetraedro note le coordinate dei suoi vertici. Traccia Sappiamo dalla geometria sintetica che – vedi figura – tale volume è un terzo di quello del parallelepipedo a base triangolare H A B , a sua volta pari all’area di H A D B divisa per due. Il volume del tetraedro sarà dunque V = 1 6 (  a ∧  b ) ⋅  c . Tenuto conto del significato geometrico di prodotto misto e della definizione di determinante otteniamo α 2 • • γ α  c  b  a O C B A O  a  b  c  h H A B D C 15 V = 1 6 d e t a 1 − h 1 b 1 − h 1 c 1 − h 1 a 2 − h 2 b 2 − h 2 c 2 − h 2 a 3 − h 3 b 3 − h 3 c 3 − h 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ dove  h = h k  e k k = 1 3 ∑ ;  a = a k  e k k = 1 3 ∑ ;  b = b k  e k k = 1 3 ∑ ;  c = c k  e k k = 1 3 ∑ . PROBLEMA 18 Dimostrare che l’area di un parallelogramma nel piano X Y è S = ( a 1 − h 1 ) ( b 2 − h 2 ) − ( a 2 − h 2 ) ( b 1 − h 1 ) ove  h = h k  e k k = 1 2 ∑ ,  a = a k  e k k = 1 2 ∑ ,  b = b k  e k k = 1 2 ∑ Traccia Si consideri il parallelogramma individuato da  a ,  b ed  e 3 . Esso è ortogonale al piano X Y e di altezza 1, pertanto il suo volume, pari a V = d e t a 1 − h 1 b 1 − h 1 0 a 2 − h 2 b 2 − h 2 0 0 0 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = ( a 1 − h 1 ) ( b 2 − h 2 ) − ( b 1 − h 1 ) ( a 2 − h 2 ) eguaglia l’area di base. Non resta che applicare la formula del problema 12 o, indifferentemente, quella di Sarrus. PROBLEMA 19 ( UN’APPLICAZIONE ALLA FISICA SPERIMENTALE ) È noto che le correnti elettriche producono campi magnetici in tutto e per tutto simili a quelli delle calamite e che detti campi interagiscono con le cariche in moto. Via le ricerche di Ampere su tali fenomeni 3 Lorentz giunse a dedurre che la forza agente su una carica q dotata di velocità  v è data da  F = q  v ∧  B ove  r =  r ( t ) indica il vettore posizione della particella nell’istante t e  B =  B (  r ) è il campo vettoriale magnetico. 4 Orbene, potendo essere q e  v variate a piacere dallo sperimentatore ed  F di volta in volta misurata mediante un congruo banco di prova, il problema che si pone è quello di ricavare  B . Matematicamente esso si sostanzia nella determinazione delle soluzioni  x di un’equazione vettoriale del tipo  a ∧  x =  b noti  a e  b . Traccia Chiaramente  x ⊥  b e  a ⊥  b così che  a e  b sono linearmente indipendenti; consideriamo  a ∧  b . Abbiamo (vedi figura appresso)  x ∈ π quindi  x = α  a + β  a ∧  b con α e β incognite. Esisteranno infinite soluzioni  x , date dai vettori associati a tutti i punti di una retta r . Ma  b =  a ∧ ( α  a + β  a ∧  b ) = β  a ∧ (  a ∧  b ) = β (  a ⋅  b )  a − β (  a ⋅  a )  b = − β | |  a | | 2  b ⇒ β = − 1 | |  a | | 2 3 “Théorie de phénomenes électrodynamiques” – 1826. 4 Vedi ad esempio Mencuccini Silvestrini, “Fisica 2”, Ed. Liguori ovvero Cattani, “Fondamenti di fisica generale – elettromagnetismo e ottica”, Ed Tamburini .  h  a  b  e 3  e 3  e 2  e 1 •