Energy Engineering - Analisi e geometria 1

Evoluzione della cicloide

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Evoluzione della cicloide Relazione facoltativa per esame orale di Analisi e Geometria 1 Fabio SantoroProfessore: Federico Giampiero Lastaria Anno Accademico: 2018-2019Abstract: In questa relazione sono riportati i calcoli per dimostrare che l’evoluta di una cicloide è una cicloideContents 1 Cicloide2 1.1 Parametrizzazione della cicloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.2 Derivata Prima e Seconda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.3 Versore Tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.4 Versore Binormale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.5 Versore Normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.6 Curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.7 Raggio di Curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.8 Evoluta della cicloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.9 Dimostrazione che l’evoluta di una cicloide è una cicloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1 1.Cicloide La cicloide è una curva generata dalla proiezione di un puntodi una circonferenza che ruota su un piano 1.1.Parametrizzazione della cicloide Una parametrizzazione della cicloide si può ottenere dalla figura1:Figure 1:Cicloide - parametrizzazione γ( φ) =          x (φ) y(φ) z(φ)          =          r ·[φ−sin (φ)] r·[1−cos (φ)] 0          (1) 1.2.Derivata Prima e Seconda Per determinare l’evoluta di una curva parametrizzata è necessario calcolare la derivata prima e seconda di (1): γ′ (φ) =          x ′ (φ) y′ (φ) z′ (φ)          =          r ·[1−cos (φ)] r·sin (φ) 0          (2) γ′′ (φ) =          x ′′ (φ) y′′ z′′ (φ)          =          r ·sin (φ) r·cos (φ) 0          (3) 1.3.Versore Tangente L’espressione del versore tangenteb t(φ)di una curva parametrizzata è: bt(φ) =γ′ (φ)  γ′ (φ)  (4) Il denominatore di (4) si calcola:  γ′ (φ)  =px ′ (φ)2 +y′ (φ)2 +z′ (φ)2 =qr 2 ·[1−cos (φ)]2 +r2 ·sin2 (φ) + 02 =r·q[1 −cos (φ)]2 + sin2 (φ) =r·q1 + cos 2 (φ)−2·cos (φ) + sin2 (φ)   γ′ (φ)  =r·√2 ·p1 −cos (φ)(5) Adesso sostituiamo le espressioni (2) e (5) in (4) per ottenere il versore tangente: 2 b t(φ) =          t x( φ) ty( φ) tz( φ)          =                  r ·[1−cos (φ)]r ·√2 ·p1 −cos (φ) r·sin (φ)r ·√2 ·p1 −cos (φ) 0                  =                    √2 2 · 1 −cos (φ)p 1 −cos (φ) √2 2 · sin ( φ)p 1 −cos (φ) 0                    (6) 1.4.Versore Binormale L’espressione del versore binormaleb b(φ)di una curva parametrizzata è: bb(φ) =γ′ (φ)×γ′′ (φ)  γ′ (φ)×γ′′ (φ)  (7) Il numeratore di (7) si calcola con il determinante formale: γ′ (φ)×γ′′ (φ) = det     b ib jb k x′ (φ)y′ (φ)z′ (φ) x′′ (φ)y′′ (φ)z′′ (φ)     = det     b ib jb k r·[1−cos (φ)]r·sin (φ) 0 r·sin (φ)r·cos (φ) 0      ={0} ·b i− {0} ·b j+ r2 ·[1−cos(φ)]·cos(φ)−r2 ·sin2 (φ) ·b k ={0} ·b i− {0} ·b j+ r2 ·cos(φ)−r2 ·cos2 (φ)−r2 ·sin2 (φ) ·b k ={0} ·b i− {0} ·b j+ r2 ·cos(φ)−r2 ·b k ={0} ·b i− {0} ·b j+ r2 ·[cos(φ)−1] ·b k l’espressione in forma vettoriale diventa, quindi: γ′ (φ)×γ′′ (φ) =          0 0 r2 ·[cos(φ)−1]          (8) Essendo un vettore piano, la norma di (1.4), è pari alla terza componente di  γ′ (φ)×γ′′ (φ)  =r2 ·[cos(φ)−1](9) Il versore binormaleb b(φ)si ottiene sostituendo (1.4) e (9) in (7) bb(φ) =          b x( φ) by( φ) bz( φ)          =          0 0 1          (10) 3 1.5.Versore Normale Il versore normaleb n(φ)si ottiene: b n(φ) =b b(φ)×b t(φ) = det     b ib jb k bx( φ)b y( φ)b z( φ) tx( φ)t y( φ)t z( φ)     = det       b ib jb k 0 0 1 √2 2 · 1 −cos (φ)p 1 −cos (φ)√2 2 · sin ( φ)p 1 −cos (φ)0        =( −√2 2 · 1 −cos (φ)p 1 −cos (φ)) ·b i−( −√2 2 · sin ( φ)p 1 −cos (φ)) ·b j+{0} ·b k Il versore è quindi: b n(φ) =          n x( φ) ny( φ) nz( φ)          =                    − √2 2 · 1 −cos (φ)p 1 −cos (φ)( φ) √2 2 · sin ( φ)p 1 −cos (φ) 0                    (11) 1.6.Curvatura La formula per il calcolo della curvaturak(φ)con parametro arbitrario e sostituiamo i valori delle equazioni (5) e (9) rispettivamente per il denominatore e numeratore nell’equazione: k(φ) =  γ′ (φ)×γ′′ (φ)    γ′ (φ)  3 =r 2 ·[cos(φ)−1]r 3 ·232 ·[1−cos(φ)]32 = −1r ·232 ·[1−cos(φ)]12 (12) 1.7.Raggio di Curvatura Il raggio di curvaturaρ(φ)è l’inverso della curvaturak(φ), quindi: ρ(φ) =1k (φ)= −r·232 ·[1−cos(φ)]12 (13) 1.8.Evoluta della cicloide L’evoluzioneE( φ)di una curva è il luogo di centri di curvatura della curva di partenza, ovvere l’insieme dei centri delle circonferenze osculatrici di raggioρ(φ). Si calcola con la seguente formula: E( φ) =γ( φ) +ρ(φ)·b n(φ)(14) Calcoliamo separatamente il secondo addendo di (14): ρ(φ)·b n(φ) =−r·232 ·[1−cos(φ)]12 ·                    − √2 2 · 1 −cos (φ)p 1 −cos (φ)( φ) √2 2 · sin ( φ)p 1 −cos (φ) 0                    =           r ·2·sin(φ) r·2·[cos(φ)−1] 0          (15) 4 Sostituiamo (15) in (14) per ottenere l’espressione di E( φ): E( φ) =γ( φ) +ρ(φ)·b n(φ) =          r ·[φ−sin (φ)] r·[1−cos (φ)] 0          +          r ·2·sin(φ) r·2·[cos(φ)−1] 0          =          r ·[φ+ sin (φ)] r·[cos(φ)−1] 0          (16) 1.9.Dimostrazione che l’evoluta di una cicloide è una cicloide Per dimostrare che l’evoluta di una cicloide ‘e una cicloide, prendiamo l’equazione (16), ma esprimiamola in funzione del parametroαimmaginando che l’evoluta della cicloideE( φ)sia la tralazione del vettorev, definito qui di seguito (17), e ”trasliamo” il dominio di un arco. Quindi osservando l’immagineFigure 2:Cicloide - equivalenza curva ed evoluta v=   π ·r −2r 0  (17) Il dominio trasla:φ∈[0,2π]eα∈[−π, π]⇒φ=α+π(18) Sostituiamo l’equazione (18) in (16) espressa secondo il parametroα E( α) =          r ·[α+π+ sin (α+π)] r·[cos(α+π)−1] 0          =          r ·α+r·π+r·sin (α+π) r·cos(α+π)−r 0          =          r ·[α−sin(α)] +r·π −r·[cos(α)1] 0          (19) Per verificare l’equivalenza di cicloide ed evoluta:γ( φ) +v= E( α)(20) Spostiamo il vettore di traslazione al secondo membro: E( α) =          r ·[α−sin(α)] +r·π −r·[cos(α)1] 0          −          π ·r −2r 0          =          r ·[α−sin (α)] r·[1−cos (α)] 0          = γ( α)(21) L’espressione (21) dimostra che l’evoluta di una cicloide è una cicloide 5