Energy Engineering - Analisi e geometria 2

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Analisi e Geometria 2 - Parte C Quarto appelloDocente: □M. Boel la□M. Citterio 11 gennaio 2023Cognome: Nome: Cod. persona: Firma:Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici, apparecchiature elettroniche. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Tempo massimo a disposizione: 60 minuti. 1.a.Enunciare i principali teoremi sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordine. b.Si consideri l’equazione differenziale y′′ −4y= 16x2 e2 x2 ; ˆprovare chey(x) = e2 x2 `e una soluzione; ˆscrivere la soluzione generale dell’equazione differenziale, motivando i passaggi. 1 2. SianoD⊂R2 un insieme aperto,F:D→Runa funzione eP 0≡ (x 0, y 0) un punto interno di D. a.Dare la definizione di continuit`a diFinP 0. b.Dare la definizione di derivabilit`a parziale diFinPrispetto ax. c.Dare la definizione di differenziabilit`a diFinP. d.Che relazione sussiste tra differenziabilit`a e derivabilit`a? Tra differenziabilit`a e continuit`a? Tra derivabilit`a parziale e continuit`a? 2 3.a. Enunciare e dimostrare il teorema di Rouch´e-Capelli per i sistemi lineari. b.Discutere, senza risolvere, ma motivando i passaggi, il sistema lineare 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 1 3 4 5 6      x 1 x2 x3 x4 x5     = 1 1 1 . 3 4. SiaDun sottoinsieme aperto e connesso diR2 e siaF:D→R2 un campo vettoriale di classeC1 (D) . a.Dare la definizione di rotore e di irrotazionalit`a diF. b.Scrivere la definizione di conservativit`a diF. c.Stabilire e mostrare la relazione che sussiste tra conservativit`a e irrotazionalit`a diF. d.Stabilire, motivando la risposta, se `e conservativo il campo vettoriale definito da F(x, y) =2 xx 2 +y2i +2 yx 2 +y2j . 4