Energy Engineering - Analisi e geometria 2

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Analisi e Geometria 2 - Parte C Quinto appelloDocente: □M. Boel la□M. Citterio 1 febbraio 2023Cognome: Nome: Cod. persona: Firma:Durante la prova non `e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici, apparecchiature elettroniche. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Tempo massimo a disposizione: 60 minuti. 1.a.Enunciare i principali teoremi sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordine. b.Si consideri l’equazione differenziale y′′ −2y= 2 tan3 x; ˆprovare chey(x) = tanx`e una soluzione; ˆscrivere la soluzione generale dell’equazione differenziale, motivando i passaggi. 2.SianoVeWdue spazi vettoriali e siaf:V→Wuna applicazione lineare. a.Dare la definizione di nucleo kerf. b.Provare che kerf`e un sottospazio vettoriale diV. c.Enunciare e provare il teorema che lega iniettivit`a e nucleo dif. 3.a.Enunciare il teorema Ωullit`a + rango”. b.Provare che non esistono applicazioni lineari iniettive daR3 aR2 . c.Il teorema Ωullit`a + rango” viene utilizzato per dimostrare diversi teoremi. Si enunci e dimosti uno di questi risultati. 4.a.Enunciare la formula di Taylor del secondo ordine, centrata nel punto (x 0, y 0) ∈D⊆R2 per una funzione f:D→R. b.Illustrare l’utilizzo della matrice hessiana per lo studio dei punti stazionari di una funzione reale di due o pi`u variabili reali. c.Scrivere lo sviluppo di Taylor del secondo ordine, centrato nel punto (0,0) per la funzionef(x, y) = ex +3y2 . 5.SiaDun sottoinsieme aperto e connesso diR2 e siaF:D→R2 un campo vettoriale di classeC1 (D) . a.Dare la definizione di rotore e di irrotazionalit`a diF. b.Scrivere la definizione di conservativit`a diF. c.Stabilire e mostrare la relazione che sussiste tra conservativit`a e irrotazionalit`a diF. d.Stabilire, motivando la risposta, se `e conservativo il campo vettoriale definito da F(x, y) =2 xp x 2 +y2i +2 yp x 2 +y2j . 1