Energy Engineering - Analisi e geometria 2

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Analisi 2 1 PROPOSIZIONI E DIMOSTRAZIONI DEFINIZIONI GUARDA BENE / IMPORTANTE @ Esercizi PER casa EQUAZIONI DIFFERENZIALI 2° ORDINE - Ht yilt ) = e ut ut 1) è | ht → 4ft ) = Cal t Cal - 421T ) = e ht "¥ It ) = e it 2) [ art - molti = ( cit cit ) e 42kt = te 4. It ) -- ètcoslpt ) 3) /¨ [ eats , ripe , → molti = l' tlcicoslptttcs.sn/PtI/42ltt= E OVAZIONI DIFFERENZIALI PARTICOLARI 2° ORDINE 1) FORZANTE ESPONENZIALE : 24 " t by " tcy = f. ( t ) : se f- ( t ) non È soluzione Dell' OMOGENEA associata at 1. Pongo 4 ( t ) = Cl , DERIVO DUE VOLTE 2 . inserisco f , f ! f " nell' Equazione DIFFERENZIALE E Ricavo c ¥02 : se f- ( t ) è soluzione Dell' OMOGENEA associata ^. Porco flt ) = ( test 2 . RIPETO il PROCEDIMENTO DEL CASO 1 2) FORZANTE polinomiale : 24 " t by " tcy = f- ( t ) 1. Pongo flt ) = Atl t Bttc E derivo : f- ' It ) = zatt B f " It ) = 2A 2 . inserisco f , f ', f " nell' EQUAZIONE DIFFERENZIALE alza ) tblzat + B) tclattbt + c) = f- It ) 3 . LA RISCRIVO ISOLANDO t ? t E il TERMINE noto 4 . ELLUACLIO il COEFFICIENTE DI t ? A QUELLO DELL' INCOGNITA DELLA FORZANTE DI GRADO 2 E COSI via → ricavo A , B. C DAL SISTEMA - ay " t by ' tcy = f It ) yplt ) = pnlt ) { ayntbyi.f.lt//yplt)=t.pn# Il ay = f. It ) yplt ) = ftp.nlt ) - 3) FORZANTE TRIGONOMETRICA : CA SE f- ( t ) non È soluzione DEV OMOGENEA associata ( bio ) 1. Pongo f ( t ) = Ci Coslvt ) t Czsinlvt ) E DERIVO DUE volte 2 . inserisco f , f ', f " NELL' EQUAZIONE DIFFERENZIALE 3. ' solo COSIVTI E sin ( Vt ) E PONGO CHE I LORO coefficienti siano UGUALI AI COEFFICIENTI DI f It ) : se f- It ) è soluzione DEI OMOGENEA associata ( bio ) 1 . si = a 2 . Pongo f- It ) = t ( ci coslvt ) t czsinlvt ) ) G) caso ESPONENZIALE - TRIGONOMETRICO 1. PORRE 41T ) = e ' " ( ci coslvt ) t Casinlvt ) ) at 5) caso ESPONENZIALE - TRIGONOMETRICO flt ) = Pelt ) e at 9kt ) e § " t " " " ° " È " " " " " " " " " ylt ) todt ) e A É RADICE SEMPLICE Di Pi ) 2 at t 9ft ) e 4 È RADICE DOPPIA Di Pll ) - PA Z I V E T I O R I A L I - I . I R " : e { ( xn ,..., xn ) Xi E IR } ,-- tap //•, p = zwtv QUESTO SISTEMA LINEARE va RISOLTO CON IL METODO DI EMILI NAZIONE DI GAUSS → HO m incognite e in Elevazioni , MA MI M PER HP nn =) IL SISTEMA AMMETTE 00 SOLUZIONI MA ALLORA SEGUE CHE il sistema (2) HA infinite soluzioni ,in PARTICOLARE DEVE ESISTERE una SOLUZIONE XT ,.-r, ÌM Non Banale . Quindi l' EQUAZIONE (1) Ha una sulla . non banale ."¥ We ,..., Wm sono Lin. DIPENDENTI • DIM . ( TEO . Della DIMENSIONE Di una Base ) : be = { Va ,..., Un } E Bz { Wa ,..., Wn } SIANO DUE BASI DAL PRECEDENTE LEMMA SE non → We ,..., Wn SAREBBERO LINEARMENTE DIPENDENTI ,il CHE È ASSURDO PERCHÉ 132 È una BASE . quindi DEDUCO m E in• prop : | TT ,..., Un } BASE di V , allora ogni vettore ✓ E V PUÒ ESSERE scritto in MODO unico COME : 2171 t 2272 t..- tanta = O (1) ° DEFINIZIONI DI COORDINATE : DATA UNA BASE { Va ,..., } Dello sp . VETTORIALE V LE COORDINATE Di Tt E V SONO LE M- UPLE Di numeri 21 ,..., an E IR f- ---→ p / " " " € " " " + " " """+ a " " ivs-zkti.ve f ' a- ( 2,1 ) i COORD .Di P rispetto alla BASE - ISOTIOSPAZILINEARIELESUEB.at • PRENDO UNO sp . v . V , din ( v ) = in "¥ Oss : SE 41 ,..., UK Lin. indipendenti L ( un ,..., UK ) = U E V sia ✓ e VIU . Allora Uh ,..., UK , V sono Lin. indipendenti .- PER assurdo 2141 t ....t die Ur t akty V = O con qualche dito - SE idiota =o 2141 t...t die UK = O con dito ASSURDO POICHÉ 41 ,..., UK SONO LIN . INDIPENDENTI . Quindi 2kt 1 # O I =- -2141 ...- È un E L ( 41 ,..., UK ) = U 2kt 1 2kt 1 - V E U contro il fatto CHE VI U ( v ¢ U ) . quindi 21 ...., 2kt 1=0 ASSURDO "¥ CIOÈ 41 ,.._,UK, V sono Lin. INDIPENDENTI .• TEOREMA DI COMPLETAMENTO AD una base : siano 41 ,..., UK VETTORI PER CALCOLARE IL RANCO DI UNA MATRICE O le soluzioni Diun SISTEMA LINEARE APPLICO Delle OPERAZIONI ELEMENTARI PER OTTENERE una nata comoda ) • DEFINIZIONE DI MATRICE a scala : ( sotto ogni pivot tutti 0 ) o -.. O ④ o.io = 5 ( ÷ . 0 ....-....---------------.---------. O • Fatto :il RANGO DI 5 È il # Di K tk (5) = K • DIM ( ROUCHÈ - capelli ) :- se partiamo DAL SISTEMA LINEARE AI b- CON Gauss lo posso RIDURRE AD UN sistema a scala SI È SI b '= o ... o poi ........ # # 0 .----. 0 .- o Pz -----.. * { ± ........ ! ........... . * * .... * { * ) 0 ...--....--------------.._... O @ -il SISTEMA HA SOLUZIONI SSE PK È a sx Della BARRA : il mais ) = te ( s bi ) 1- • Dal fatto CHE OPERAZIONI ELEMENTARI PRESERVANO IL RANGO : ricca ) = tris ) = falsità ) = rial al b) → QUANTE SOLUZIONI HO ? HOK EQUAZIONI CHE MI PERMETTONO DI DESCRIVERE le INCOGNITE in FUNZIONE DELLE ALTRE VA R I A B I L I ,= > SE HO in variabili avrò in - K VA R I A B I L I libere ( PARAMETRI LIBERI ) Sol ( al b) = LÌ (b) contro mmaoine G) Sol ( al 0 ) = LÀ " ( 0 ) : allora ilT. Di STRUTTURA DICE CHE : Là ' (b) = T t là ' 10 ) ( soiiaibt.it solcato ) LE PROPRIETÀ 1 E 2 Mi PERMETTONO Di DEFINIRE un' ampia E importante CLASSE DI FUNZIONI , DETTE LINEARI . • DEFINIZIONE DI FUNZIONE LINEARE : Dati 2 SPAZI vettoriali V E W una Funzione ( mappa ) si DICE lineare se i 1) Additivi TÀ : T ( ntv ) e Tlu ) t t ( v ) ] Ù somma su W somma su v 2) OMOGENEA : Tlc ) = Ci prodotto esterno su W PRODOTTO ESTERNO su V ESEMPIO : COMODITÀ Della LINEARITÀ T ( anni tlaavz tagli ) ) = t ( an Vr ) t t ( arvzt 23ns ) == ai Tlvn ) t t ( azvz ) t t ( asus ) = antlvn ) t art ( Vr ) t 23T ( vs ) = > : t ( È , divi ) = È .ae . tlvi ) • PROPRIETÀ : 1) t ( Ov ) = Ow perchè t ( o.O ) = o - TCO ) = 0W 2) tl - V ) =- TIV ) perchè ti -1 tv ) ) = C- 1 ) . ttv ) 3) \ \ ① ① ④ flirt HHIWD - . Allora la FUNZIONE composta H . T : V → U H ( T ( V )) È LINEARE DIMOSTRARE 4) PER VERIFICARE SE una FUNZIONE T : V → W È LINEARE DEVO VERIFICARE : th , K E 112 , tu ,v E V T ( ha tkv ) = htlu ) t ktlv ) ESEMPI i 1 . A E 1M ( in xn , IR ) la : IR "→ IR " ( la tv ) = A. T ) è lineare 2 . T : IR ' → IR ' t ( Ì ) = ( [ [ ¥ ) è lineare verificarlo 3 . F : It' → Ir ' f ( § ) = ¥ ! ! ! ) Floris ) = ( § ) # Oir , non è LINEARE • fatto : f : IR "→ IRM È lineare SSE É Della forma : ( [ 1) = ( dmX1t2n2X2µ Polinomio in te ,.. .tn F DI GRADO 1 OMOGENEO xn 2mi Xn t rdnrxzt ...+ anni ( senza termine di grado 0 ) 4) trasposizione bii = aid ( { } ? ) =/ ! ! ) 5) EQUAZIONI DIFFERENZIALI E FUNZIONI l' NEARI : L : c' IIR ) → c' CIR ) ylt ) E c' IIR ) ( ( y ( t) ) = 34 " ( t ) t 24 ' ( t) tutt ) è lineare ° DEFINIZIONE L : V → W lineare : i ) In (c) = { we W : 3- vev t.cl/vI=W } ii ) Ker ( c) = li ' (9) = { vev : llv ) = Ow ) { "¥ contro , MMACINE NUCLEO° fati : 1) In ( L ) È un sottospazio LINEARE D' V 2) Ker ( L ) è un sottospazio LINEARE Di ✓ dire : Ha , b E IR Tu ,v E Ker ( L ) voglio mostrare CHE aut bv E kerll ) Llautbv ) = alla ) t bllv ) = dow t bow = Ow " " ÷ : : " . = sol ( xev : Llx ) > b) ° TEOREMA DELLA FIBRA : L : V → W lineare [ ' (b) = v t Ker (c) = { v tw , w E Kei - ll ) } in [ ' (b) esempio : f : IR ? → IR lineare f (f) =×- y Kerlfi . { ( f ) :L 1=0 ) =/ ) : x. y :o) = Il ;) :x. a } = 811,1 ) • DIM : il Llvtw ) = Llv ) to = ( Lltnlb ) ) = b z ) z e [ ' (b) ~ Llz ) = L It' ( b )) = b = Llv ) ~ LCZ ) - ( ( v ) = o Llz - vi =o~ Z - V e Ker ( c ) =3 Z -v=W =3 Z =v tw • ESEMPIO IMPORTANTE : equazioni DIFFERENZIALI LINEARI E TEO . Della FIBRA : L : c' 1112 ) → ( ° ( IR ) ( ( y ( t )) = y " Htt 24 ' It ) - 34 It ) 1) L È LINEARE : tta , p EIR , Hyatt ) , yzlt ) e c' 1112 ) Llaynltttpyalt )) ( auhltttpyalt )) " tzlauhltttpyalt )) '- slaynltttpyalt )) I = dyiltltpyiltttzauiiltttzpyictt-3aynltltpuz.lt ) '= dlyiiltit amitti -34 .C H / t p ( y i l t l t z y i l t l - 3 y i l t ) ) - - < ( Uniti ) Limit )) È lineare ! 2) Risolvere l' Ea . diff . y " ( t ) t 24 ' ( t) - 34 (f) = cosce ) " soluzioni "= { ylt ) E CZIIR ) : Llylt ) ) e- cosct ) } = l' ^ ( cosa ) ) == 4pct ) t kerll ) { \ =L -' (9) = { ylt ) : t.ly/=OltI/= PER ILTEO.DELLA FIBRA = { ylt ) : y " It ) twitt ) - 341T ) --o } - INSIEME DELLE SOLI . Dell' EU . OMOGENEA • Fatto : per EO . DIFF . lineari DEL SECONDO ORDINE Ker ( L ) È un sottospazio lineare Di (2/112) Di Dimensione 2 !"¥ SEGUIRE CORSO ONLINE DI EQ . DIFFERENZIALI • PROP . DEL TEO . DELLA FIBRA : L : V → W LINEARE , allora L è inattiva SSE Ker ( L ) = { 0 } Dim: L è inattiva sse ttbe In CL ) / [ ' (b) 1=1 ~ L' ^ (b) =v tkercl ) ~ li ' (b) 1=1 sse kerll ) = { o } te COME COSTRUIRE FUNZIONI LINEARI : sia L : V → W ( V HA dimensione finita dinlv ) en ) E sia b = { va ,... .v n } BASE DI V • prop : FISSATE GENERICI VETTORI Wi ,..., Wn E W , Allora ESISTE ( unica ) FUNZIONE LINEARE T : V → W tic. T ( vi ) = cui i = 1 ,...,in" DIM ( COME la costruisco ) :~ ve V , ve devi tazvrt ... tanvn ( VIB = ( an ,..., an ) nin~ Tlv ) = dativa ) t dativa ) tant ( Vr ) = I ditini ) = E aiwi ieri i. 1~ DIMOSTRO ORA CHE È LINEARE :v,U E V , d , P E IR nn"¥ v= ¥ , aivi a = ± . bini / LV I B - ( an ... .am ) ( ud -- ( bi .... .br ) "¥ dv tpu = E ( dai tpbilvi lntanto = divi , t PLUIB "¥ ANALOGHI ] in= > tlavtpu ) := ÌÉ ( aaitpbi ) wi = a Eaiwi t p Èbiui = atlvltpstlu ) i.n È lineare !~ DIMOSTRO CHE È unica : supponiamo una 5 t.ca. S : V → W Slvi ) = wi i. 1 ,..., n ( come TI vii. wi ) tlv ) = Èaiwi = È aislvi ) = s ( È aivi ) = scv ) ttvev = > set ! Esempi : ① MOSTRARE CHE SE 41 ,..., 4in E V È UN INSIEME DI VETTORI CHE SONO LIN . DIPENDENTI T : V → VV LINEARE . provare CHE T ( Ue ) ,..., T ( Un ) è anch' Essa un. DIPENDENTE 2) T : V → W LINEARE . Un ,..., Un E V Fissati ( in . INDIPENDENTI . MOSTRARE CHE SE T ( 41 ) ,..., T ( Mn ) sono Lin . Dipendenti , allora Ker ( t ) I { O } ~ SICCOME Lin. Dipendenti : art ( Ur ) t--. Ta n t ( Mn ) = 0 Ha sovr . non banali T ( anni t ..- t annum ) = O t ( z ) = O - z =3 Z E Ker ( t ) . Se 2- = @ ✓ allora 21 Un t .... t In Un = ② ✓→ assurdo ! sono un . Dipendenti 3) MOSTRARE CHE SE Ti V → W È lineare E VI ,..., Un É BASE DI V allora 1- ( v ) = In IT ) ✓= anni tazvzt ... tanvn → T ( v ) = t larva t..- t anvn ) = antlvn ) t... tantlvn ) n a Imlt ) L ( tini ,.. .it/vnl ) In CT ) E L ( tlvn ) ...., Tlvn ) ) 4) La : il "→ Ir " A e imlnxn , IR ) - a eni DEDURRE da Ex 3 CHE In ( la ) =L ( colla ) ) din ( Im ( la ) ) = ricca ) es : 1 ; ; ;) tal ! ) - I :) In ( la ) = Ll Lalli ) , Lalla ) , La tesi ) Lalli ) = ! ) . ( } ) = ④ Lalli ) = i - Esima colonna - • TEOREMA Di nullita ' trancio : ( LEI ? {ammtffrffnesione Di V con LE D' M . Del nucleo E) • OSSERVAZIONE INIZIALE : 1 . SE T è inattiva = ) Ker ( T ) = { o } possiamo concludere : mifiltoll-MFIITI.mil ( * ) •in PARTICOLARE : ¥ B ' LINEARE E INVERTIBILE ( quindi T È un ISOMORFISMO ) T -1 BIW - VB 1) MÌ lt ) E lmlnxn .ir ) in = dinlv ) 2) MÌ ( t - il = ( Misfits ) - ^ perchè ? v' È ✓ B - T - io T = Id I = Misti ( Id ) = M' bà ( tot " ) = MÈ ( T -1 ) . MÌ ( T ) - Mist It ) è invertibile e la sua inversa è : MIIIT-tt-fm.fi/t MORALE : se conosco MÌI " ( T ) allora PER CONOSCERE LA MATRICE Rappresentativa deiia sua inversa miti It -t ) = ( miti It ) ) " ( ovviamente solo se T È un ISOMOZFISMO ) APPLICAZIONI : CAMBIO DI BASE B , ✓ È cvÌà=màlId).lvÌ [ viene chiamata MATRICE DI CAMBIAMENTO BASE Da B a B '• ESEMPIO : B = { va , va ,V 3 } vili , 1 , 0 ) vzlo , 1,1 ) vs ( 2,1 , 2) E = { G , Cz , C } } ci canoniche calcolare la Mat . Di CAMB . Base Da E a B : B → Tr u c c o : È PIÙ FACILE calcolare ME ( Id ) - se conosco MBE ( Id ) allora M' È = ( MBE ( Id ) ) " ( inverto con scordar - causs ) - ( Id ( va ) ) = ( vite = 1 Ci t 1 Cz toc , - ( vale = vi { Idlvz ) ) = ( Vr ) E = o ci t 1 Cz t 1cg - ( vale = V2 ( Id ( vs ) ) = ( vs ] E = 2 Ci t 1 Cz t 2cg → ( vale = Vs 1 O 2 - minuti : ;) va ,... .v n Lin. Dipendenti ° sappiamo CHE POSSIAMO RAPPRESENTARE l' INSIEME DEI VETTORI CON UNA MATRICE QUADRATA :C- settimo : vi 11 , 0,1 ) v2 ( 0,1 , o ) vs ( 1,1 , 0 ) 1 o 1 A- =/ ; ; ;) detta ) = detlvn .... .v n ) Righi = { vi .... .v n } • caso m' -2 " = ' a ' " ÷ : wz = la , f) / in questo caso detta ) È l' area ( d "" 222 ... .am ) 3) Ì È un AUTOVAIORE SSE É RADICE DEL POLINOMIO pt ( t ) DIM :^ ) se B " è un' altra BASE mI://tl.cm?iplc= M' È IID ) "¥ B C a C CAMBIO BASE Ptlt ) = detlb - II ) = detlcac -1 - II ) = detlcaè '- ILIC - 1) == dettata - IIIC " ) = detto ) detti ) detta - II ) = detta - II ) t TEO . Di 131 NET 2) si DIMOSTRA PER INDUZIONE SU M :~ n.az detta - II ) = det ( an - t an ) = ( an - a) ( azz -1 ) - andra -221 222 - 1 am 212 = f- 11212 t C- 1) " ( an tazza t am azz - 212221 DOVE A = ( µ g) - - trial detta ) ~ PERCHÉ Ptld ) è un Polinomio Di CRADO n pt (d) = del' § ! ! ! ! ) ,{{i§ - "¥ B = > pt (d) = ( and ) . det ( B ) t Polinomio Di GRADO E in -2 ~ sappiamo CALCOLARE GLI AUTOVALORI → sono LE RADICI 41 ,..., Il D , pt it ) = ( t - an ) " . ( d - ta ) " ... ( a - del " . 911 ) ki =in alti ) i =1,..., l •( Emma : T : v → V se È DIACONALIZZATA Allora PT ( × ) Ha in RADICI REALI DIM :n SE T É Diagonali ZZATA =3 Ha una BASE B Di AUTOUETIORI 41 .- misinto : " ;) ~ Pti » = detti ? - II ) = det ( ! ! ) = = ( di - d) ( da - d) --- ( an - d) =) ' 1,12 , dm sono RADICI DI pt (d) → E sono in # M Quindi pt (d) HA in RADICI REALI ~ DOPO CHE HO calcolato 11 ,..., te ma . ( 11 ) ,..., ma . ( tl ) ( ma - ( tn ) t ...t ma - ( te ) = n ) COME VERIFICO SE T è DIACONALRTABILE ? "¥ sappiamo Vii = { vi Tlv ) = Xiv ) , quindi CHIEDERSI se T È D' ACONALRTABILE È EQUIVALENTE A CHIEDERSI SE RIESCO A COSTRUIRE una BASE DI V Da vettori Vii U Viz U Val "¥ IDEA : supponiamo Bi sia una BASE di Vii i = 1 ,..., l DOMANDA : 131 U Bz U Bl È una BASE di V ? [ 51 : T È DIACONALIZTABILE NO : T non lo É Esempio : Ptlt ) = ( × - 2) 3 ( t - 1) ^.... 1 e dimlvnl E 1 → dinlvn ) - 1 ^ e din ( Vr ) E 3 ° TEOREMA : din ( Vii ) E n . a. ( Xi ) • DEFINIZIONE DI MOLTEPLICITÀ GEOMETRICA : n . g. ( ti ) = di m ( Vii ) viene chiamata MOLTEPLICITÀ GEOMETRICA ° OSSERVAZIONE SUL TEO . PRECEDENTE : m . g. ( an ) E n . 2 . ( Xi ) DOMANDA : quando Bn U 132 U ... U Be è una BASE Di V ? • 1) È Lin . indipendente 131 U ... U Bl ? • 2) mi centrano V sse / Bau Bau ... u Belen ? 11311 = din ( via ) =vi. 8 ( te ) IBÌI . dinlv il = vi. 8 Iii ) = > 131 U ... U Bl generano V SSE m - g. ( tn ) t.n.tn . I. ( ll ) = in a. provo 1 ) B ( an ) u ... UB ( tl ) Lin . INDIPENDENTI :• LEMMA : l' 1,..., Il AUTOVALORI Distinti E Vi FO E Vai = ) v1 ,... .v e Lin. INDIPENDENTI DI M : PER INDUZIONE ~ se 1=1 HO solo voi E Vh1 CHE È CHIARAMENTE Lin . INDIPENDENTE "¥ suppongo VERA l' AFFERMAZIONE PER l -1 VETTORI :- di un t azvz t...t deve = O (1) - applichiamo T AD (1) : T ( anni ) t T ( azvz ) t.. .tt/anVl ) = TIO ) dativi ) t... t Active ) = o → andava t dztzvzt ... taellve =o (2) - deh ) - 12 ) : aiie -11 ) vi tazcae-dzlvztae.si/de-de- 1) ve -1=0 "¥ PER HP induttiva v1 ,... , Vl -1 sono Lin. INDIPENDENTI QUINDI : aiie - di ) =o con i = 1 ,..., l -1 ma di # Xl con i =1,..., l -1 = > di -0 → lo inserisco in 11 ) ] Il vl = O => va ,i.., Vl Lin. INDIPENDENTI < ~ MA ALLORA OSSERVO CHE :• LEMMA : 131×1 ) U B ( 72 ) U ... V B ( Xl ) È un INSIEME di VETTORI l' N. INDIPENDENTI DIM : 0 = di we t ... tasws t 612-1 t.it bt Zt t Ci ha t Cnbm ÷ ✓1 E Vai v2 E Vtz Ve t Val - 0 = vi tvzt ... tre con voi e Vai - Dal PRIMO LEMMA V1 ,..., Vl SONO Lin. INDIPENDENTI , QUINDI vi = @ ,..., Vl = 0 - quindi B. ( Xi ) sono una BASE allora 21 ,..., as - 0/61 ,... .bg > 0/4 ,..., Cs =o=, 13141 ) v ... U Bill ) sono un. INDIPENDENTI • levando 13111 ) v ... UB ( te ) mi GENERA tutto V ? quando sono in NUMERO M , QUINDI : - lbl.int/tlBldd/t...tlBlae)/ ? n Il n.g.lk ) tn.g.IN ) t .... tn.g.ie ) Ì in → SE É Diagonali 22A Bile : 1) vi. a . ( 71 ) t n . a. ( te ) = in 2) vi. g. ( di ) E vi. a. ( Xi ) i -1 ,.... l QUINDI LA CONDIZIONE È SODDISFATTA SSE vi. g. ( Xi ) = vi. a. ( di ) i = 1 ,..., l • TEOREMA ( riassuntivo ) : T : v → V ENDOMORFISMO Si DICE D' ACONALIZZABILE SSE 1) n . a. ( an ) t Mia . ( tl ) =in ( TUTTE LE RADICI DEL polinomio stanno in IR ) 2) ma . Iii ) = vi. g. ( ti ) ti ...., l a. DEFINIZIONE Di AUTOVALORE REGOLARE : SE mia . (d) = M.g. ( Y ) • 0551 : SE un auto valore X Ha vi. a. (d) = 1 Allora È REGOLARE i 1 E vi. g. (d) E vi. a. (d) = 1 • 0552 : SE Gli Auto valori SONO tutti DISTINTI , Allora T É Diagonali ABILE • 0553 : SE Ker ( T ) ± 0 ✓ E Ker ( T ) e 0 T ( v ) = 0 = 0 . V Quindi d' 0 È AUTOVALORE • ossa : vi. g. ( Xi ) = di mirti ) =n- ricca - XII ) Xi "¥ =/ ! ;) : ' a- = d' < v.v > = I Hull '_ 11h11 = 1,1111 UN 2) / 24 , ✓ SI E 114 Il llvll Disuguaglianza di calcar - SCHWARZ - considero 2- = U t tv t E 112 -o e a Z , z > =< uttv , ut tu > = cu + tv , le s t c ut tv , tv s == ah , a st t = o tw e W "¥ inoltre Uw È il VETTORE DI W a Minima DISTANZA DA M llutll = Il U - Uwll < Il n - w Il we W , WF un M"¥ inoltre uw - [ . vi in 11 vili ? vi• Dim ( CENNO ) : voglio Mw E W Un = I divi i. 1~ ADESSO VOGLIO CHE : Ut = M - M W SIA PERPENDICOLARE A TUTTI I VETTORI W M"¥ o = aut , vi > = < n - uw , vi > = cu - [ divi , vi > = i. 1n=- [ ai < vi. via i. 1 Il ° i # i { livin ' i. i 2 = cui , vjs - ajllvill i = 1 ,...,inM"¥ a) = - uw . E . vi 114112 I -1 Il Villa ~ HO MOSTRATO l' UNICITÀ Di MW • ORA DOVREI mostrare lU- Uw , vi s =o ✓ j E B "¥ SE HO un INSIEME DI VETTORI 41 ,..., Un Lin . INDIPENDENTI W =L ( Ue ,..., Un ) DOMANDA : RIESCO A COSTRUIRE UNA BASE va ,..., VM ORTOGONALE DI W L ( va .... .v n ) =L ( an ,... .hn ) = W • ALGORITMO DI GRAN - SCHMIDT 1° passo ) vi = Un 7 % Lian ) = wa ( Ur ) Wi - 2° passo ) vz := ( via ) a= 42 - ✓ , / 11h11 ' vii. OSSERVAZIONE : va L 41 = va L ( un , 42 ) =L ( vi. va ) → ABBIAMO fatto i -1 Passi V1,..., Vi -1 ORTOGONALI L ( vi. Vr ) =L lui ,..., hi - a) = wi i -1 T i -1 passo ) vi = ni - luitwi = mi - < . vi | Jet llvj 112 " su wi " si DIMOSTRA CHE vi t voi ,..., vi -1 & ( va ...., vi -1 , vi ) =L ( 41 ,..., hi -1, ni ) ESEMPIO : Un / 1 , 2 , 0,1 ) 42/2 , -1 , 1,1 ) "¥ ( 0 , -1 , 2 , 3) usando il PRODOTTO SCALARE STANDARD su 112 " TROVARE una BASE ORTONORMALE Di L ( Us , 42,43 ) : - PRODOTIISCALARIECOORDINATEIMATRIC.IO/2TOGon-#/ ~ Fissiamo una BASE B ' ortonormale B '= { voi ...., Un } < vi , vi ) =/ ! ! ! ! = Si ' , ~ CONSIDERIAMO U , W GENERICI :u= vi w= < w, vi > vi ~ ( UIB '= ( cu , un > ,..., eh , un > ) ( WIB '= ( lw.vn > ....,< w.v n > ) ~ e uiw > =L vi , < w, vi > vi 3 = È < ulivisti , visivi , via = < vi. vi > < wivis = ( an , vi > .....< u.vn ) ) . ! ! ! ! ! ! ) - tutti . ( wifi ° OSSERVAZIONE : SE SCELGO UN' ALTRA BASE ORTONORMALE B : lulb.tw/E=cu.ws=luIriLwIa 11 ) • DOMANDA : COME SONO FATTE LE MATRICI Di CAMBIO BASE DA B ' a B ? ( DOVE B , B ' sono Basi ortonormali ) ~ A = MB , ( Id ) ~ Lui : = A tutti lwiri = aiuti | TRASPOSIZIONE / (4) D= LUIB ' at LW I B = cwlpi.at ~ Da (1) otteniamo : [ UIBCWIB = Culti ( wlri = Culti atalwt.pt 12 ) "¥ com' è fatta Ata ? ~in 2) ci - È = citata ) et iii. 1 ,.... in 1 Se i. i e. i. è = ei - ei = { o sei # i o i # j } = Àa quindi ÀA = Id ^ i. j ° DEFINIZIONE di MATRICE ORTOGONALE : A E IM ( MXM , 112 ) T.C . a t A - I si DICE ORTOGONALE MORALE : LA MATRICE DI CAMBIO BASE TRA Basi ortonormali È una MATRICE ortogonale !• Oss : A É INVERTIBILE con À " = At → L' INVERSA DI UNA MATRICE ORTOGONALE È la sua trasposta [ cosa vuol DIRE CHE T È SIMMETRICA Dal punto DI VISTA DEIIA MATRICE Rappresentativa ? PRENDIAMO UNA BASE B ' di V ortonormale : m' È IT ) com' è fatta ? B '~ dirgli ,... .tn ) = Miss IT ) = p " mi :( ti P con l' = MB ( Id ) "¥ ma p -1 = pt D= mi } It ) → di aglio .... .in ) = D= ptcp { c = MI :( ti ~ pdpt = pptc ppt = ICI # ~ c' = ( pdpttt = ( pt ) ' pt pt = pdtpt . pdpt = c PERCHÉ D É Diaconia → QUINDI C È simmetrica : c = ct Allora se T È ORTOGONALMENTE Diagonali ZZABILE Allora MÌIÌ ( T ) È DATA Dalla SEGUENTE PROPRIETÀ # • PROP : C = Mtf ! ( T ) , con B ' BASE ORTONORMALE , allora sono Equivalenti LE SEGUENTI AFFERMAZIONI : i ) T È simmetrica t ii ) ( = c ° LEMMA : si PRENDA UNA MATRICE SIMMETRICA ( a = At ) con A E IM ( in xn , IR ) pls ) = detta - XI ) Allora Pll ) HA M RADICI REALI in 112 .° TEOREMA spettrale : sono EQUIVALENTI : 1) T È ORTOGONALMENTE D' ACONALIZZABILE / BASE DI AV TOV E I TO R ' ortonormali ) 2) M' È IT ) È una MATRICE simmetrica ( B " È una BASE ORTONORMALE ) 3) T È SIMMETRICA DIM : 1) N In > 0 E anti e an →to-+a"¥ DECRESCENTE • ESEMPIO : [ 1- 1) " I =1- { SODDISFA LE CONDIZIONI DI LEIBNIZ =) CONVERGE ° ESERCIZIO DI Ripasso : sia T : (2/112) → C ? ( IR ) - SAPPIAMO CHE C' IIR ) è uno SPAZIO VETTORIALE - Tlylt )) = y " It ) - zyiltlt ylt ) it è lineare ? tld Uniti tpuzlt ) ) = a tluiltt ) t pltlyzltt ) ii ) T è interiva ? → VERIFICO CHE Ker T = 0 Tlylt )) = o y " it ) - 24 ' (E) ty ' (E) = o - Klrt sono le soluzioni DELL' OMOGENEA t t f- 21+1=0 ( d - 1) ' = O 41ft ) = e yz = te Kent = Get t cztet =L ( et , tet ) => T È interiva iii ) DETERMINARE la fibra T -1 ( t et t t ? ) T - il tetttr ) = { ylt ) : tlyltll-tett.la/=/yHI=y "- zyity-teti.tl } - TEO . DELLA FIBRA := Ker tt yp It ) = { Get t Cztett yp ( ti } "¥ DOBBIAMO CALCOLARE UNA SOLUZIONE PARTICOLARE " " - zy ' + a =p tet ± 1) y " - 24 ' ty = te D= 1 è radice doppia di t dlv , w ) 70 ° DEFINIZIONE DI INTORNO SFERICO : sia ( X , d) METRICO , Xo E X E + so con r E 11270 . Allora l' insieme Brio ) = { XE X : dio , × ) e r } si CHIAMA INTORNO SFERICO DI RACCIO r ( Entrato in XO "¥ ANCHE CHIAMATO : bolla / DISCO APERTO ESEMPIO : ! ! ! ! .io?iiYsenasner.ae % : ÷ :c . . . " . . . ✓ "¥ no BORDO ° DEFINIZIONE DI INSIEME APERTO : sia A E X con ( X , d) METRICO SI DICE APERTO SE TE E A Jr > 0 : Br ( × ) e a Esempio : A = { ( x. 4 ) : ht 4 '< 1 } v { ( x. y ) : +2+42=1 , y > o } " °" È " " " ° ! → non È CHIUSO !° DEFINIZIONE DI INSIEME chiuso : C E X si DICE CHIUSO SE C' (E) È UN INSIEME APERTO → A É APERTO SE AC É CHIUSO i e a • PROP : GLI INSIEMI APERTI DI UNO SPAZIO METRICO ( X , d) SODDISFANO : A1 ) X , d sono APERTI A2 ) SE { Ai } LEI È UNA COLLEZIONE DI INSIEMI APERTI ( I ANCHE infinito I' N ) ALLORA U Ai è un INSIEME APERTO i. I A- 3) SE A1 ,..., An sono APERTI ( in # Finito ) allora ai n ... n An È APERTO → passando al COMPLEMENTO ( con LEGGE DI DE MORGAN ) : ( an v. van ) '= Ain ..- nane • PROP : GLI INSIEMI CHIUSI DI UNO SPAZIO METRICO ( X , d) SODDISFANO : B1 ) X , d sono CHIUSI BZ ) SE { ci } LEI È UNA COLLEZIONE DI INSIEMI CHIUSI ( I ANCHE infinito I' N ) allora M ci è un INSIEME CHIUSO i. I B) SE ( 1 ,..., Cn sono CHIUSI ( in # Finito ) allora ci V ... V Cn È CHIUSO ° 055 :- UN PUNTO XO E X È UN INSIEME CHIUSO - Ai = ( , = ) , NE IN É UNA COLLEZIONE infinita DI APERTI n n "¥ M Ai = { o } CHE è chiuso ! ieri = > A 3 VA L E SOLO PER UN NUMERO finito Di APERTI • DEFINIZIONE DI INTORNO APERTO DI UN PUNTO : Xo E X . Un QUALUNQUE INSIEME APERTO CHE CONTIENE XO È DETTO INTORNO APERTO "¥ " ° "" " " " E # " ° " ° " " " ° A • 055 :- OGNI INTORNO SFERICO Br ( Xo ) È un intorno APERTO - VICEVERSA SE Uxo È un intorno APERTO o → minimo locale È :± :c :÷ : ÷ .se . • ossi Hflf ) È una MATRICE SIMMETRICA , infatti DA SCHWARTZ LE DERIVATE miste coincidono : ( Hf ( f ) ) ij = fxixj = fxjxi = ( Hf ( f ) ) ji → simmetrica !° DEFINIZIONE FORMA quadratica : 9 ( Xi ,.. .in ) = ( Xi ,..., Xn ) a ( ) == È aijxixj , aij = ( ali ; dove a È una matrice nxn simmetrica → FORMA QUADRATICA : un POLINOMIO OMOGENEO CHE CONTIENE SOLO I MONOMI Di GRADO 2 ( Xi , X ;) ESEMPIO : 91 X. 4) = 9×2-4×4 t 642 9 -2 "¥ ix. vi. ix. n' / Il ;) - 2 6 ° DEFINIZIONE SEGNO DI UNA FUNZIONE QUADRATICA :° STUDIAMO IL SEGNO DI UNA FORMA QUADRATICA 9 (E) = I A It con A SIMMETRICA :"¥ vale il TEO . SPETTRALE Quindi ESISTE UNA BASE ORTONORMALE DI AUTOVETIORI B t.C.ch = MBE ( Id ) è ortogonale È = MÒ ( Id ) ~ sappiamo CHE il alt = dialetti ,--- in ) =/ ' ? .. an ) ~ IDEA : ESPRIMERE LA FORMA QUADRATICA Rispetto alla nuova BASE B : camaiorese : tèli ) I f- al ;) I SOSTITUIAMOLA in xaxt "¥ ( n .... .in/=alun.....un ) - ahhh .. .mn/uaatffI/c..a=f ! ) - RISPETTO a B - I at ~ dall' = D= diaglae .... .tn/-9lyl=l4i.....nnlf " ? _' × ) ) o ~ OTTENGO QUINDI : ftp.tiael-fceizftmnllaeti/1t!!m.!fII ) ~ so CHE lirn Oltre = o DA cui deduco Ethan # →o { anni hai " { + mintiaxiiz « ^ Quindi 1 t O("At > 1 - E quindi posso trovare S : tax { Xminllaellz " axll e S "¥ ALLORA PER tutti i ① ± : ll della S ~ f Il taxi - fi ? ) 7 1 am .nl/AxlP ( 1- E) > o taxi o l' Atlas 2 a- ESEMPIO : f. ( X. 4) = × " ty " - 4×4 Df E 1122 - CERCO i Punti CRITICI : 4=+3 Tf = ( 0,0 ) < - Passo alle polari : f) ¥ ! ! ! " dxdy = f) io ! ! ! ! ! do == dopo " pe-tde-zafe.ee " ) "¥ figo " ( E. tè " ) . . Mi CHIEDO : COME si LEGA al fatto CHE / yzl -"" DX = VI ? - ( xztyz ) ~ calcolo : f) µ , e - " " + " " dxdy = ftp.//g.e.e,+i.e.e , d' d " ricorda : f) go.fi?Ie%41dxdy=/afnixidx-/.dfriuidyuurnDi:e=//,rze- " " " " dxdy.fi/fje-+dx.f.ee-tidy)= io sono uguali = .ee:1/.i:ay:--e?:/.ee-idx)i=f/,re-idx ) ' / ) , + via , ( [ Z dz ) dxdy =...= tua ° TEOREMA : INTEGRAZIONE PER STRATI d. = { ( x. y , z ) e IR ' a EZ E b ix. y ) e Dlz ) } SE TZ E la , b) ESISTE l' INTEGRALE DELLO STRATO DIZ ) |) # zydidy " " ra://frflx.y.zidxdydz.la///,,ffx.yztdxdy)dz ° ESEMPIO DEL CONO PRECEDENTE ( PER STRATI ) : Dlztfèty ' e la - zii } O m.tl/zdxdndz=/iz///..+u.d:ii.zi)dziCaMBIOVARiaBill- Io : E → D E , D E 1123 APERTI E × = a lui , w ) E \ * l : : : ÷ : " (x. 4,7 ) OI ln , v. wl = ( alni , w ) , Blu , v. w ) , 01mV , w ) ) OI Biunivoca , Io E c' (E) , Io " E c' (D) | ) ) , f dxduidz.FI/eflaln.v.wI,pln.v.wl,Oln.v,wI/detJoIln.v.w/dndvdw - dxdydz ° ESEMPIO : TRASFORMAZIONI SFERICHE × = 9 Sint coso 9 70 Io 19,9 , 0 ) = y = 9 sin 9 sino 0 E 9 e te | z = 9 cos f 0 E 0 E 21T 1 detto 1= l' sine dxdydz = gas .nl dpdqdo → CALCOLIAMO IL VOLUME DELLA SFERA i T ¥ . " III. ama ;D ! :* ! ! ! ! .io = COORDINATE SFERICHE = A. " O' Ande ' Itt "¥ SPOSTAMENTO INFINITESIMO dl = ftp.h/oIltt-.ds=FlOltDoO'ltIdt "¥ PROIEZIONE ORTOGONALE D . E su Ilt ) ° Ripasso 2 : ROTORE Di un campo E le ) = ( file ) , fz ( e ) , Fg ( I ) ) t • DEFINIZIONE DI ROTORE Di un campo E : il ROTORE DI III ) INDICATO CON T n E È un nuovo campo VETTORIALE DEFINITO : t-lsx.sn.az ) → tre = detf ¥ ; § ;) -= i IGF } - aziz ) - I ( JXF } - Zz Fi ) t I tdxfz - 24 Fi ) → rotte ) = Tn E = ( ayf3-fzfzysxf3.az fa , rdxfz - 24 Fi ) =3 TEOREMA DI STOKES DEL ROTORE : E SUPERFICIE ORIENTABILE REGOLARE A PEZZI , ORIENTATA RISPETTO a Mt , DOTATA DI BORDO E ORIENTATO POSITIVAMENTE RISPETTO all' ORIENTAZIONE Nt E CHE SIA L' UNIONE DI CURVE 81 ,.... Di REGOLARI A TRATTI . SE E E C' LR ) su R CHE È un aperto Di ITL3 Allora : OIsltnet-lsts.lt ESEMPIO : calcolare il flusso OI E ( Tn E) f = 4 I t ZI - × ± sulla SUPERFICIE E = { × ? tu ? + ZZ 7 R2 , z > o } o } POICHÉ il 1° QUADRANTE È SEMPLICEMENTE connesso DEVO ORA VEDERE QUANDO È IRIZOTAZIONALE tne.at - Ef ) - o = KX 2¥ = ZX a y sx "¥ Tn E =o SSE LE = =3 Zx = Kx