Energy Engineering - Analisi e geometria 2

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Equazioni lineari a coefficienti costanti : sono equazioni del tipo: . Sfruttiamo il principio di sovrapposizione per scrivere “soluzione generale = soluzione generale parte omogenea + soluzione particolare equazione compl eta”. Si studia quindi l’equazione caratteristica: e - ad ogni sua radice reale si associa dell’equazione differenziale; - ad ogni coppia di soluzioni complesse e coniugate dell’equazione caratteristica associamo Principio di sovrapposizione (vale per la linearità): se u è soluz ione di allora ogni combinazione lineare di e risolve . Dimostrazione : Conseguenza : se A ha 2 autovalori reali e distinti λ 1, λ2 (con auto vettori rispettivi , ) posso scrivere la soluzione generale del sistema 2.2: Sistemi 2.2 : del tipo: . Distinguiamo veri casi: -  autovalori reali distinti , stesso segno  integr. gen: - autovalori reali , segno opposto  integrale generale: - “degenere”: 1 autovalore è nullo -  auto valori complessi e coniugati  -  auto valori reali coincidenti  distinguiamo 2 sottocasi: - regolare ( se molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono ); - non regolare [M olteplicità algebrica k: è K volte soluzione dell’equazione caratteristica ] [Molteplicità geometrica: numer o di parametri dai quali dipende la soluzione dell’equazione: ] Teorema : un auto valore semplice è sempre regolare [moltepl geom moltepl algeb] Teorema : se ogni auto valore di A è regolar e  A è diagonalizzabile, o vvero abbiamo n autovettori l. i. accostati costituiscono S (invertibile perché fatta da colonne l.i.) con la proprietà che : (diagonale) Matrice esponenziale : partendo da un sistema 2.2 introduco una matrice esponenziale con la proprietà: ovvero la matrice introdotta deve risolvere il sistema: . La soluzione generale del sistema sarà data da: [Polinomio di Taylor con resto di Peano: ] Se A non è diagonale, ma è diagonalizzabile , cioé se [autovalori distinti regolari ] Definizione : . Conseguenze: - se A è diagonale: - se A è diagonalizzabile: [ se un insieme di n autovettori l.i. che accostati generano S e ]   Integrale Generale: ;  Casi particolari Def [caso A non diagonalizzabile]: N è nihlpotente di ordine k se k(intero) t.c. Teorema [autovalori coincidenti non regolari ]: P è diagonalizzabile usando S costituita da un set di autovettore generalizzato relativo ad A. Def: autovettore generalizzato associato ad A è una soluzione del sistema: Per una matrice qualsiasi: Ø Ø Matrice esponenziale auto valori complessi : si usa una matrice ottenuta facendo l’accostamento della parte reale e della parte immaginaria degli auto vettori. Effetto di su A: . pseudo diagonalizza A portandola nella forma . La matrice esponenziale è: quindi Oppure, più semplicemente trovo tradizionalmente gli autovettori che costituiscono la matrice S, di conseguenza trovo S -1 così da trovare:  Sistemi non lineari autonomi : Metodo glo bale  Def integrale primo : costante su soluzione del sistema non lineare autonomo [non operativa]. Equivalentemente è costante quindi equazione che definisce gli integrali primi, equazione differenziale alle derivate parziali. Teorema : se sappiamo trovare la soluzione dell’equazione delle traiettorie la soluzione generale dell’equazione delle traiettorie è un integrale primo. Dimostrazione : sia una soluzione dell’equazione delle traiettorie . In forma implicita data da , derivo rispetto a x: , uso Conseguenza : le linee di livello di sono insieme di traiettorie. Osservazione : integrali primi = ”sistemi conservativi”, l’integrale primo si conserva lungo le traiettorie Il sistema Lotka -Volterra ammette l’integrale primo: Sistemi Hamiltoniani : Teorema : se un sistema è hamiltoniano, H è un integrale primo. Dimostrazione : Condizione necessaria per Hamilton : Osse rvazione : questa condizione necessaria è anche sufficiente se il dominio di f e di g è semplicemente connesso. Classificazione dei punti di equilibrio sistemi lineari :  2 autovalori reali e distinti origine = nodo a due tangenti  2 autovalori reali  origine = colle o sella sempre instabile:  1 autovalore reale doppio   2 a utovalori complessi e coniugati  Linearizzazione : Proposizione I : se per S.L., l’origine è asintoticamente stabile o instabile  S.O. è asintoticamente stabile o instabile rispettivamente. Proposizione II : se per S.L., l’origine è : nodo a due tangenti  P0 è la “deformazione di nodo a due tangenti” per S.O. e così per nodo a una tangente, fuoco o sella. Dubbio il caso di centro. Matrice jacobiana : Teorema (Stabilità per linearizzazione) : Se l’origine è asintoticamente stabile per il S.L.P 0, (cioè gli auto valori di hanno parte reale negativa), allora è localmente asintot icamente stabile per S.O. Se ha un auto valore con parte reale positiva, allora è instabile sia per S.L.P 0 che per S.O. Funzione di Liapunov : V è una funzione di Liapunov per il sistema autonomo nell’intorno A dell’origine se: 1- 2- Teorema : L’esistenza di una funzione di Liapunov garantisce che l’origine, punto d’equilibrio, sia stabile. Se inoltre: allora l’origine è asintoticamente stabile. Coordinate polari : sostituzione: . Differenziando le equazioni: . Otteniamo le relazioni dinamiche: Caso non omogeneo: Risolvere prima e trovare il suo integrale generale . Poi p ongo dalla quale trovo che devono soddisfare l’equazione dalla quale ricavo . Vale lo stesso per .  Se allora devo porre  Se ho ad es. devo porre che dovrà s oddisfare l’equazione dalla quale ricaverò ad es. , e ponendo ricaverò L’integrale generale sarà ad esempio: Classificazione delle Traiettorie (orbite) : - Punti Critici = Punti stazionarie (di equilibrio) ; Se  l’unico punto critico è l’origine; Se  il sistema ha un luogo di punti stazionari dato dalle soluzioni di , quindi c’è una retta di punti critici coincidente con l’autovettore relativo all’autovalore nullo. - Le traiettorie periodiche corrispondo ai livelli energetici che sono confinati nella buca di potenziale - Traiettorie: Le traiettorie non costanti si trovano facendo che integrato da l’equazione delle traiettorie: Se  Gli autovettori di un sistema sono le uniche traiettorie (orbite) rettilinee . Se  Le traiettorie (orbite) rettilinee sono infinite - Luogo dei punti: Def: un punto si dice punto di equilibrio per il sistema se: . Il punto è l’orbita che corrisponde alla soluzione costante: , con grafico una retta parallela all’asse t. =l punto si dice: - stabile  se per ogni , esiste un tale che, se , la soluzione esiste per ogni . [una soluzione che parte abbast anza vicino a si mantiene sempre abbastanza vicino]; - asintoticamente stabile  se è stabile e, inoltre, . [una soluzione che parte abbastanza vicino a non solo ci si mantiene sempre abbastanza vicino ma converge a ]; - instabile  se non è stabile, cioè se non vale la condizione di stabilità. I cicli sono orbite che hanno la forma di curve semplici e chiuse e che corrispondono a soluzioni periodiche. Orbite periodic he isolate prendono il nome di cicli limite ( ), c he si dice: - stabile  se per ogni , esiste un tale che le orbite che partono a distanza minore di da rimangono a distanza da minore di , per ogni ; - asintoticamente stabile  se è stabile e se le orbite che partono a distanza minor e di si avvolgono a spirale su , per ; - instabile  se non è stabile (ossia se esistono orbite che, pur partendo vicino quanto si vuole a , se ne allontanano).