Energy Engineering - Analisi e geometria 2

Principali dimostrazioni - 2018

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Algebra delle matrici (8) 1-Unicità della matrice inversa Dimostrazione: Supponiamo B e C due inverse di A, allora e , quindi: Se una matrice è invertibile, allora possiede uesattamente una e una sola inversa. Il prodotto di due matrici invertibili è ancora una matrice invertibile. Dimostrazione: siano A e B due matrici invertibili. Affinché il prodotto AB sia invertibile, deve esistere X tale che . Supponiamo vero che , allora per l'associatività del prodotto si ha che Essendo A invertibile possiamo scrivere che: ossia . Essendo B invertibile, si ottiene quindi: ossia Questa matrice soddisfa e Quindi l'inversa di AB è 2. La matrice identità è invertibile dimostrazione: poiché , I è invertibile e coincide con la sua inversa 3. La matrice inversa di una matrice invertibile è anch'essa invertibile, inoltre l'inversa dell'inversa coincide con la matrice di partenza; dimostrazione: dalle identità segue che è invertibile e che 4. 2-Proprietà delle matrici invertibili 3-Proprietà fondamentale della matrice aggiunta Dimostrazione: Per la definizione di prodotto di matrici e per i teoremi di Laplace, l'elemento di posto (i,j) è dato da: Quindi In modo analogo si dimostra la seconda identità. Per ogni matrice valgono le identità: 4-Teorema di caratterizzazione delle matrici invertibili e forma della matrice inversa Dimostrazione: Supponiamo che A sia invertibile. Allora esiste una matrice B tale che Passando ai determinanti si ottiene che Per il teorema di Binet si ha che Supponiamo Dall'identità fondamentale della matrice aggiunta segue che: Da cui se A è invertibile la sua matrice inversa è: Una matrice A è invertibile se e soltanto se 5-Teorema di Rouchè -Capelli Dimostrazione: Riscriviamo il sistema come: Supponiamo che il sistema ammette almeno una soluzione. Allora esiste almeno una n -upla Sia . Il sistema lineare è compatibile se e solo se , ove A' è la matrice completa del sisstema. Se il sistema è compatibile allora ammette soluzioni. Teoremi Algebra Lineare Totali: 47+40=87 Teoremi con dimostrazione Pagina 1 Supponiamo che il sistema ammette almeno una soluzione. Allora esiste almeno una n -upla tale che . Il rango di A' deve essere uguale a quello di A poiché esso rappresenta il numero massimo di colonne linearmente dipendenti 6-Teorema di Cramer Un sistema lineare di n equazioni in n incognite ammette esattamente una soluzione se e solo se . In questo caso la soluzione è data da dove : Dimostrazione: Se allora la matrice A è invertibile Possiamo quindi moltiplicare per ottenendo Per l'unicità della matrice inversa si ha anche l'unicità della soluzione trovata Essendo inoltre si ha che ossia: Quindi, per ogni si ha E dunque per il teorema di Laplace si ha che Dove è la matrice che si ottiene sostituendo ad A la i -esima colonna con la colonna b dei termini noti. 7-Teorema sui sistemi lineari omogenei Un sistema lineare omogeno di n equazioni indipendenti in n+1 incognite, ammette come soluzione generale dove si ha che Dove è la matrice che si ottiene da A eliminando la colonna i -esima e dove K è un parametro arbitrario appartenente al campo K 8-Teorema di struttura dei sistemi lineari Dimostrazione: La soluzione generale di un sistema lineare è data da dove è una soluzione particolare del sistema mentre è la soluzione generale del sistema omogeneo associato Spazi vettoriali (8) 9-Proprietà di annullamento del prodotto Dimostrazione: Supponiamo Supponiamo , allora per la proposizione precedente si ha che in entrambi i casi Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Allora per ogni scalare e per ogni vettore si ha che: 10 -Sottospazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo Dimostrazione: Indichiamo con S l'insieme delle soluzioni del sistema Per la dimostrazione utilizzeremo il teorema di caratterizzazione dei sottospazi L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo con è un sottospazio vettoriale di Teoremi con dimostrazione Pagina 2 Per la dimostrazione utilizzeremo il teorema di caratterizzazione dei sottospazi , inoltre essendo per ipotesi 11 -Chiusura lineare di un insieme di vettori Dimostrazione: Si dimostra attraverso il teorema di caratterizzazione dei sottospazi Posto osserviamo che poiché Consideriamo ora due scalari e due vettori Quindi, poiché è ancora una combinazione lineare dei vettori si ha che Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. La chiusura lineare dell'insieme formato dai vettori è un sottospazio vettoriale di V 12 -Intersezione tra sottospazi vettoriali Dimostrazione: Sia V uno spazio vettoriale su campo K e siano X e Y due sottospazi Sia X che Y contengono quindi contiene . Siano ora e Poiché allora Poiché allora Poiché X e Y sono due sottospazi, si ha che e quindi L'intersezione di due sottospazi vettoriali è ancora un sottospazio vettoriale 13 -Teorema di caratterizzazione della somma diretta La somma di due sottospazi X e Y è diretta se e solo se ogni vettore si può scrivere in modo unico nella forma con Dimostrazione: Sia Dimostriamo che S è sottospazio di V Poiché e si ha che Inoltre per ogni e per ogni si ha con e Quindi Poiché e si ha che Quindi per il teorema di caratterizzazione dei sottospazi S è un sottospazio di V Per ogni si ha che , ossia S contiene X In modo analogo S contiene Y Infine S contiene ogni altro sottospazio Z che contiene sia X che Y Quindi S è il più piccolo sottospazio di V che contiene sia X che Y (ovvero la somma di due sottospazi è diretta quando la loro intersezione si riduce al sottospazio banale [0]) 14 -Teorema di caratterizzazione delle basi finite Ogni insieme formato da n vettori linearmente indipendenti è una base di V 1. Ogni insieme formato da m vettori, con m>n, è un sistema linearmente dipendente 2. Dimostrazione: Sia B una base di V formata da n vettori Se F è un insieme di n vettori linearmente indipendenti di V, per il teorema dello scambio si possono estrarre vettori da B in modo che aggiunti ad F si abbia un sistema di generatori. Questo significa che F deve essere un sistema di generatori e quindi una base di V Se F è un insieme di m vettori di V, con m>n, allora è necessariamente un sistema dipendente perché altrimenti per il teorema dello scambio dovrebbe essere Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato. Se V possiede una base formata da n vettori allora: Teoremi con dimostrazione Pagina 3 perché altrimenti per il teorema dello scambio dovrebbe essere 15 -Sistema di generatori e basi per la somma di due sottospazi Dimostrazione: Sia . Allora per Poiché quindi Quindi l'insieme è un generatore di X+Y poiché v può essere scritto come combinazione lineare di Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo K. Siano X e Y due sottospazi di V. Sia una base di X e sia una base di Y. Allora è un sistema di generatori di 16 -Formula di Grassmann per la somma diretta Dimostrazione: Basta ricorda che la somma X+Y è diretta se e solo se ed è applicabile alla formula di Grassmann Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo K. Per ogni sottospazio X e Y di V si ha che X+Y è diretta se e solo se: Applicazioni lineari (12) 17 -Nucleo e immagine di un applicazione lineare Dimostrazione: Mostriamo che il Ker(f) è un sottospazio di V Per la linearità di f si ha che ossia Inoltre e si ha ossia Sia un applicazione lineare tra due spazi vettoriali sullo stesso campo K. Allora il nucleo di f è un sottospazio di V e l'immagine di f è un sottospazio di W 18 -Somma di applicazioni lineari (combinazione lineare di applicazioni lineari) Dimostrazione: Per ogni e per ogni si ha che: Siano e due applicazioni lineari tra due spazi vettoriali sullo stesso campo K. Una loro qualunque combinazione lineare è ancora una combinazione lineare. 19 -Composizione di applicazioni lineari Dimostrazione: Sia e due applicazioni lineari componibili infatti e ogni si ha: La composizione di due applicazione lineari è ancora una applicazione lineare. Dimostrazione Supponiamo che f sia iniettiva Poiché è lineare Per iniettività il vettore nullo è pertanto l'unico che viene mandato in 0 e quindi Sia un'applicazione lineare tar spazi vettoriali sullo stesso campo K. Allora f è iniettiva se e solo se 1. 20 -Applicazione lineare iniettiva Teoremi con dimostrazione Pagina 4 Viceversa supponiamo che Allora per ogni si ha che: Quindi è iniettiva. Dimostrazione Supponiamo che f sia iniettiva Sia un sistema di vettori linearmente indipendenti in V Dobbiamo mostrare che è un sistema di vettori linearmente indipendenti anche in W Consideriamo una combinazione lineare non nulla di tali vettori Per la linearità di f si ha Per l'iniettività di f si ha Poiché per ipotesi sono linearmente indipendenti si ha che Viceversa supponiamo che f porti sistemi indipendenti in sistemi indipendenti. In particolare f porta ogni vettore non nullo di V in un vettore non nullo di W. Quindi il nucleo non contiene vettori non nulli e risulta iniettiva. Un applicazione lineare è iniettiva se e solo se porta sistemi di vettori linearmente indipendenti in sistemi di vettori linearmente indipendenti 2. 21 -Applicazione lineare suriettiva Dimostrazione: Supponiamo che f sia suriettiva Sia un sistema di generatori di V Per la suriettività di f, per ogni esiste un vettore tale che Poiché v può essere scritto come combinazione lineare dei vettori in , ossia Si ha Quindi è un sistema di generatori di W Un'applicazione lineare è suriettiva se e solo se porta sistemi di generatori in sistemi di generatori 22 -Isomorfismo Un'applicazione lineare è un isomorfismo se porta basi in basi 23 -Teorema di nullità più rango Dimostrazione: Sia k la dimensione del nucleo e sia n la dimensione di V Scegliamo una base del Ker(f) ed estendiamola ad una base di V L'insieme è un generatore per Im(f) Quindi eliminando i vettori fino a , poiché nulli, si ha che l'insieme rimasto è ancora un generatore per Im(f) Affinché siano linearmente indipendenti gli scalari Poiché la base dell' Im(f) è formata da n -k vettori si ha Siano V e W due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo K e sia un applicazione lineare, allora: 24 -Proprietà universale delle basi relativamente alle applicazioni lineari Sia uno spazio vettoriale di dimensione finita su campo e sia una sua base. Sia Teoremi con dimostrazione Pagina 5 Sia uno spazio vettoriale di dimensione finita su campo e sia una sua base. Sia una funzione definita sull'insieme e a valori in uno spazio vettoriale sul campo . Allora esiste esattamente un'applicazione lineare che ristretta a coincide con , ossia tale che: Dimostrazione: Ogni vettore si può sempre scrivere come per opportuni Allora se esiste f che estende g si deve avere: Questo mostra che f è univocamente determinata su ogni vettore di V Definendo quindi f in questo modo si verifica che è un applicazione lineare. In altre parole, un'applicazione lineare è completamente definita quando è definita sui vettori di una base del dominio. 25 -Sistemi di generatori e basi dell'immagine Dimostrazione Supponiamo che sia una base Prendiamo e tali che Allora deve valere Poiché allora Viceversa, supponiamo l'unicità di scrittura Allora sono linearmente indipendenti Da cui Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Un insieme è una base di V se e soltanto se ogni vettore di V può essere scritto in modo unico come la combinazione lineare finita dei vettori di 26 -Equivalenza dell'iniettività e della suriettività nel caso finito dimensionale Dimostrazione: Siano V e W due spazi vettoriali di uguale dimensione finita su campo K. Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se è suriettiva 27 -Caratterizzazione degli spazi isomorfi mediante la dimensione Dimostrazione: Sia una base di V e sia una base di W Definiamo l'applicazione lineare con Definiamo l'applicazione lineare con Ovviamente e quindi è un isomorfismo Siano V e W due spazi vettoriali di uguale dimensione finita su un campo K, allora solo se 28 -Teorema di struttura dello spazio delle soluzioni di un'equazione lineare generale Sia un'applicazione lineare tra due spazi vettoriali di dimensione finita su campo K. Fissata una base del dominio e una base del codominio, esiste una e una sola matrice A che rappresenta f rispetto a tali basi. A è la matrice che ha per colonne i vettori delle coordinate delle immagini dei vettori della base rispetto alla base , ossia: Teoremi con dimostrazione Pagina 6 Dimostrazione: Sia Fissata di V si ha che ogni vettore si scirve in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base fissata, ossia esattamente una m -upla di scalari tali che Per la linearità di f segue che Questo significa che l'immagine di v è completamente determinata dall'immagine dei vettori della base fissata. Fissiamo ora una base di W Ogni vettore può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori di questa base, ossia esistono unici gli scalari per i quali: In forma più compatta per ogni l'immagine del vettore v può allora essere scritta come: Se indichiamo con le componenti del vettore rispetto alla base , si ha che: Più esplicitamente si ha Pertanto l'applicazione lineare f può essere rappresentata nella forma e quindi è completamente determinata dalla matrice A In particolare il numero di colonne di A è uguale alla dimensione di V e il numero delle righe di A è uguale alla dimensione di W Teoria Spettrale (8) Invarianza dell'autospazio rispetto ad f: • Sia un autovalore di un endomorfismo . Allora l'autospazio è un sottospazio vettoriale di V, inoltre è invariante per f, ossia: Dimostrazione: Poiché f è un'applicazione lineare si ha che e . Considerando ora due scalari e due vettori allora: Quindi Poiché ogni vettore v di viene mandato nel vettore che appartiene ancora a si ha l'invarianza di rispetto ad f La somma di autospazi è diretta: • Siano k autovalori distinti dell'endomorfismo . Allora la somma degli autospazi è diretta Dimostrazione: Si deve dimostrare che ogni vettore x appartenente alla somma può essere scritto come somma di k vettori Supponiamo che con allora: Dove sono autovettori relativi rispettivamente a k autovalori distinti Tali vettori devono essere pertanto tutti nulli, se no un qualsiasi sottoinsieme di vettori non 29 -Proprietà degli autospazi Teoremi con dimostrazione Pagina 7 Tali vettori devono essere pertanto tutti nulli, se no un qualsiasi sottoinsieme di vettori non nulli è linearmente indipendente Di conseguenza si ha che e l'unicità della scrittura. 30 -Polinomio caratteristico di una matrice Il polinomio caratteristico di una matrice è un polinomio monomio di grado n nella forma: Per ogni .In particolare e . Dimostrazione : La prima parte del teorema si ottiene per il fatto che il determinante è lineare in ogni colonna Per la seconda parte basta osservare che se sono gli autovalori di A allora si fattorizza al prodotto di n fattori lineari Sviluppando il prodotto si ottiene la forma dei coefficienti che appare nell'enunciato. Dove è uguale alla somma dei minori principali di ordine k di A, per ogni . Equivalentemente se sono autovalori di A, allora: 31 -Formula della molteplicità geometrica Dimostrazione: Sia un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione finita n. Sia A una matrice che rappresenta f rispetto ad una base fissata di V. Un autovettore di f è regolare se 32 -Teorema di caratterizzazione degli autovalori regolari mediante una matrice Dimostrazione: Sia una base del sottospazio , dove . Completiamo questa base ad una base di V Rispetto a questa base f è rappresentato da una matrice: Il cui polinomio caratteristico è della forma . Quindi Sia un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione finita n. Per ogni autovalore di f si ha: 33 -Teorema di caratterizzazione degli endomorfismi semplici Dimostrazione: Siano gli autovalori distinti di f. Allora: Più in generale si ha che: Questa condizione, , è equivalente a: Ovvero che f possiede esattamente n autovalori contati con la loro molteplicità e ogni autovalore è regolare. Sia un endomosrfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione finita n. f è semplice se e solo se possiede esattamente n autovalori tutti regolari. 34 -Teorema di rappresentazione matriciale degli endomorfismi semplici Teoremi con dimostrazione Pagina 8 34 -Teorema di rappresentazione matriciale degli endomorfismi semplici Dimostrazione: Esiste una base di V formata da autovettori di f. Poiché l'endomorfismo è rappresentato da A: Sia un endomosrfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione finita n. f è semplice se e solo se esiste una base rispetto alla quale una matrice che lo rappresenta è diagonale 35 -Matrici simili hanno uguale polinomio caratteristico Dimostrazione: Siano A e B due matrici simili tali che allora: Due matrici simili hanno uguale polinomio caratteristico, quindi hanno gli stessi autovalori Dimostrazione: Siano A e B diagonalizzabili, con polinomio caratteristico uguale. Allora esiste una matrice diagonale D e due matrici invertibili H,K tali che: 36 -Matrici diagonalizzabili con uguale polinomio caratteristico sono simili Spazi vettoriali euclidei (10) 37 -Disuguaglianza di Cauchy -Schwarz e disuguaglianza triangolare Dimostrazione: Si considera il vettore con Utilizzando la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare si ha che: Il dell'equazione di secondo grado in deve essere per garantire una sola soluzione o zero soluzioni Si può ora dimostrare la disuguaglianza triangolare. Per ogni vettore si ha: Da cui: Se la coppia di vettori x,y non è nulla, possiamo dividere la disuguaglianza di Cauchy -Schwarz per la norma dei vettori: Quindi esiste un angolo, che è l'angolo compreso tra i due vettori, tale che: Per ogni vettore si ha la disuguaglianza: 38 -Condizione necessaria e sufficiente per l'ortogonalità tra un vettore e un sottospazio Dimostrazione: Sia una base di V. Allora ogni vettore si può scrivere come per opportuni scalari Sia V un sottospazio vettoriale di . Un vettore è ortogonale a V se e solo se è ortogonale a ogni vettore di una base di V Teoremi con dimostrazione Pagina 9 Allora ogni vettore si può scrivere come per opportuni scalari Allora si ha: Dimostrazione: Siano k vettori non nulli di a due a due ortogonali. Allora Si considera una combinazione lineare non nulla di questi vettori: Si consideri ora il prodotto scalare di con il vettore che compare al primo membro Ma per ipotesi, quindi allora i vettori sono linearmente indipendenti 39 -Indipendenza lineare di vettori non nulli a due a due ortogonali 40 -Teorema di Fourier Dimostrazione: Il vettore x può essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base considerata: Per calcolare il coefficiente consideriamo il prodotto scalare di x con x 1 Per la bilinearità del prodotto Per l'ortogonalità di l'equazione si riduce a In modo uguale otteniamo tutti gli altri scalari Sia una base ortonormale di . Allora ogni vettore x di si può scrivere nella forma: 41 -Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio Dimostrazione: Sia e sia v un qualunque vettore appartenente al sottospazio V Poiché con e per il teorema di Pitagora si ha che Da cui: Sia V un sottospazio vettoriale di . Allora per ogni vettore la proiezione ortogonale sul sottospazio V è il vettore di V più vicino ad x, ossia per ogni si ha: 42 -Teorema di rappresentazione di una trasformazione ortogonale Dimostrazione: Rispetto a una qualunque base di il prodotto scalare di due vettori può essere scritto come Quindi se A è la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica si ha che: Un endomorfismo di è una trasformazione ortogonale se e solo se è rappresentato da una matrice ortogonale rispetto una qualunque base ortonormale Teoremi con dimostrazione Pagina 10 Si ha dunque che la matrice A sia ortogonale Sia ora B la matrice che rappresenta f rispetto ad una qualunque base ortonormale Allora B risulta essere ortogonalmente simile ad A e quindi ortogonale. 43 -Teorema di rappresentazione di un endomorfismo simmetrico Dimostrazione: Sia una base ortonormale di Sia la matrice rappresentativa di f rispetto a tale base, allora: Quindi f è simmetrica se e solo se A è simmetrica Un endomorfismo è simmetrico se e soltanto se è rappresentato da una matrice simmetrica rispetto una qualunque base di 44 -Autovalori di una matrice reale e simmetrica Dimostrazione: Sia un autovalore di A Sia v un autovettore relativo a Poiché coniugando si ha Poiché la matrice A è reale si ha che e quindi Essendo A simmetrica si ha che: Ossia Se allora: Quindi è sempre un numero reale. Con anche è reale Sia una matrice reale e simmetrica. Allora A possiede n autovalori reali 45 -Ortogonalità degli autospazi di una matrice reale e simmetrica Dimostrazione: Sia una matrice reale e simmetrica Siano e gli autospazi associati a due autovalori distinti e di A Comunque scelti due vettori e si ha: Ossia, portando tutto al primo membro: Quindi, si ha , con per ipotesi Quindi Gli autospazi associati ad una matrice reale e simmetrica sono a due a due ortogonali 46 -Caratterizzazione delle matrici reali e simmetriche come matrici ortogonalmente diagonalizzabili Dimostrazione: Supponiamo che A sia diagonalizzabile mediante una matrice di passaggio ortogonale Allora esiste una matrice diagonale D e una matrice di passaggio H tali che Quindi, essendo D simmetrica si ha: Pertanto A è simmetrica. Viceversa supponiamo che A sia simmetrica Una matrice è diagonalizzabile mediante una matrice di passaggio ortogonale se e solo se è simmetrica. Teoremi con dimostrazione Pagina 11 Viceversa supponiamo che A sia simmetrica Allora A è diagonalizzabile ed possiede sempre almeno una base ortonormale formata da autovettori di A Questo garantisce che esiste almeno una matrice di passaggio ortogonale. Equazioni e sistemi differenziali lineari (1) 47 -Dimensione dello spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea Dimostrazione: Sia la soluzione del polinomio caratteristico Fissato si ha: Sia soluzione di Dimostriamo che e sono linearmente indipendenti Poiché per ipotesi e , allora e quindi nell'equazione di partenza Derivo Quindi sono linearmente indipendenti Siano sistemi di generatori e sia soluzione di Dimostriamo che questa soluzione è una combinazione lineare delle altre due. Supponiamo che: Quindi per abbiamo: Allora e quindi è soluzione di Quindi è soluzione del problema di Cauchy Quindi è anche una base, perché sistema di generatori composto da vettori linearmente indipendenti Lo spazio delle soluzioni dell' equazione omogenea ha dimensione 2 Teoremi con dimostrazione Pagina 12 Serie numeriche (12) 48 -Carattere di una serie: Geometrica Sia e consideriamo una seria con termine generico pari alle sue potenze: . Una tale serie si chiama serie geometrica di ragione q. Osserviamo che per qualunque q. Per definizione di serie abbiamo: Ovviamente se abbiamo che e la serie diverge Supponiamo e osserviamo Da cui sottraendo ed eliminando i termini simili: Facendo tendere poi abbiamo le seguenti risposte 49 -Carattere di una serie: di Mengoli La serie Si chiama serie di Mengoli. Osservando che Otteniamo Per .Usando una serie telescopica abbiamo dimostrato che la serie di Mengoli converge 50 -Carattere di una serie: Telescopiche Se possiamo scrivere , la serie Si dice telescopica. Osserviamo che in tal caso i termini delle somme parziali si elidono a due a due: Pertanto E la convergenza di una serie telescopica equivale alla convergenza della successione 51 -Carattere di una serie: Armonica Si chiama serie armonica la serie Ricordando che per ogni otteniamo: Teoremi Analisi Matematica Totali 47+40=87 Teoremi con dimostrazione Pagina 13 Usando la serie telescopica abbiamo dimostrato che la serie armonica diverge 52 -Condizione necessaria per la convergenza Dimostrazione Prendiamo convergente Allora Quindi Infine da cui Se converge, allora per 53 -Somma di serie convergenti Dimostrazione: Quindi anche è convergente. In particolare sono combinazioni lineari. Siano e due serie convergenti, allora anche la serie è convergente 54 -Regolarità di una serie a termini non negativi Dimostrazione: Sia per ogni Allora Quindi Una serie a termini non negativi è regolare 55 -Criterio del confronto Definitivamente 1. Definitivamente 2. Siano e due serie tali che: Dimostrazione: Siano Sia, per ipotesi, Supponiamo che converga, allora Quindi Poiché è superiormente limitata, converge Se invece diverge, allora quindi, ppoichésuperiormente illimitata, diverge Allora se converge, anche converge; se diverge, anche diverge 56 -Carattere delle serie armoniche generalizzate Dimostrazione: Per la serie si riduce a una serie armonica, quindi diverge Per Per il criterio del confronto diverge Per la funzione associata alla serie è strettamente decrescente per quindi: La serie con converge per e diverge per Teoremi con dimostrazione Pagina 14 Allora: Allora è superiormente limitata e converge 57 -Criterio del confronto asintotico e definitivamente 1. per 2. Siano e due serie tali che: Dimostrazione: Se per allora Scegliamo allora Supponiamo converga Quindi Allora anche converge Supponiamo diverga Quindi Allora anche diverge Allora e hanno lo stesso carattere 58 -Criterio della radice 1. Esiste finito 2. Sia una serie tale che: Se la serie converge • Se la serie diverge • Se è una forma di indeterminazione • Dimostrazione: Per ipotesi abbiamo Dimostro per Scelgo tale che Uso la disuguaglianza Per il criterio del confronto e per la convergenza geometrica Quindi la serie di partenza converge Dimostro per Scelgo tale che Uso la disuguaglianza Per il criterio del confronto e per la convergenza geometrica Allora la serie di partenza diverge Allora 59 -Criterio della convergenza assoluta Dimostrazione: Prendo tale che converge Le somme parziali saranno della forma Scrivo come la somma dei termini Scrivo come la somma dei termini Allora sono strettamente crescenti, quindi Quindi la serie è tale che Quindi poiché le somme parziali sono superiormente limitate, sono complementi Poiché è la somma delle due successioni convergenti, è convergente Se una serie converge assolutamente, allora questa convergerà anche semplicemente. Teoremi con dimostrazione Pagina 15 Poiché è la somma delle due successioni convergenti, è convergente Serie di Fourier (3) 60 -Base ortogonale e base ortonormale del sottospazio P ndei polinomi trigonometrici di grado minore o uguale a n Dimostrazione Siano: Allora: Inoltre l'insieme è anche una base ortonormale di l'insieme formato da è una base ortogonale di . In particolare la dimensione di questa base è data da 61 -Proiezione ortogonale di una funzione sul sottospazio P n 62 -Identità di Parseval Dimostrazione: Sia e sia la sua serie di Fourier, allora: Calcolo differenziale per funzioni a più variabili (11) 63 -Piano tangente 64 -Continuità di una funzione differenziabile Dimostrazione: Per ipotesi di differenziabilità Per allora la norma va a zero e Allora anche il limite di tende a zero e quindi Sia , aperto, una funzione differenziabile in . Allora è continua in 65 -Formula del gradiente Dimostrazione: La funzione è per ipotesi differenziabile in Sia , aperto. Se è differenziabile in , allora per ogni versore esiste la derivata direzionale e Teoremi con dimostrazione Pagina 16 È importante notare che se le derivate direzionali non sono combinazione lineare delle derivate parziali, allora la funzione non è differenziabile. 66 -Esistenza del piano tangente per funzioni differenziabili 67 -Ortogonalità del gradiente con le curve di livello 68 -Teorema di Schwarz per le derivate miste direzionali Sia , aperto di classe su . Allora: 69 -Segno di una forma quadratica lungo una retta per l'origine Dimostrazione: Preso si ha per ogni Una forma quadratica ha segno costante lungo una o più rette passanti per l'origine, tranne nell'origine dove si annulla. 70 -Riconoscimento di una forma quadratica mediante gli autovalori È definita positiva se e soltanto se • È semi definita positiva se e soltanto se • È definita negativa se e soltanto se • È semi definita negativa se e soltanto se • È indeterminata • Dimostrazione: Sia la forma quadratica con simmetrica, e siano gli autovalori di A; allora: 71 -Classificazione dei punti critici mediante la matrice Hessiana Se è definito positivamente, allora è un punto di minimo locale 1. Se è definito negativamente, allora è un punto di massimo locale 2. Se è indefinita, allora è un punto di sella 3. Se è semi definita, allora è un caso indecidibile 4. Dimostrazione: Poiché è di classe in Quindi è un punto critico di Sia , aperto, una funzione di classe e sia un punto critico di , allora: Teoremi con dimostrazione Pagina 17 Allora il segno della differenza è dato da: dove l'o -piccolo è trascurabile e q è una forma quadratica tranne quando , quindi 73 -Teorema di Fermat per gli estremi vincolati 74 -Punti di estremo vincolato e punti critici liberi della Lagrangiana Calcolo differenziale per funzioni a più variabili (13) 75 -Dipendenza dall'orientazione del lavoro di un campo vettoriale 76 -Irrotazionalità di un campo conservativo Dimostrazione: Scrivo le componenti del rotore U è di classe , allora vale il teorema di Schwarz, ovvero che le derivate parziali miste sono uguali e quindi la loro differenza è nulla. Quindi allora: Sia , un campo conservativo, allora è irrotazionale 77 -Lavoro di un campo conservativo Sia , un campo conservativo con potenziale U. Sia una curva regolare a tratti con parametrizzazione .Allora: Dimostrazione: Sia F definito da e sia gamma definita da allora: Poiché quindi allora: In particolare il lavoro di F lungo una qualunque curva chiusa è nullo. 78 -Costruzione del potenziale di un campo conservativo Sia un campo conservativo, allora il potenziale di F è dato da: Dimostrazione: Poiché F è conservativo allora esiste una funzione U tale che Sempre poiché F è conservativo, il lavoro è dato da: Pongo Allora, poiché il campo è conservativo e il lavoro è indipendente dalla traiettoria su cui lo si compie: Con punto fissato nel dominio. Teoremi con dimostrazione Pagina 18 Le due curve sono scelte come: Quindi le loro derivate valgono: Infine i lavori valgono: 79 -Teorema di Gauss -Green per regioni piane y -semplici Sia un insieme y -semplice e sia un campo di classe su . Allora: Dimostrazione: Siano di classe , allora Quindi il lavoro è dato da Parametrizzo le curve e calcolo i lavori È importante notare che con la parametrizzazione scelta la curva è percorsa in senso antiorario, per questo il lavoro ha segno opposto Quindi il lavoro è dato da: Dove è orientato positivamente 80 -Area di una regione piana semplice Sia un insieme semplice, allora: Dimostrazione: Considerando il campo , è di classe . Per ipotesi è semplice, quindi si può applicare il teorema di Gauss -Green Dove è orientata positivamente Teoremi con dimostrazione Pagina 19 In modo analogo possiamo prendere , allora Se l'area può essere espressa in questi due modi, allora possiamo dire: 81 -Teorema della divergenza nel piano Sia un insieme semplice con bordo orientato positivamente. Sia un campo vettoriale di classe su , allora: Dimostrazione: Sia definita come: Sia il vettore tangente definito come Poiché il campo è per ipotesi di classe su allora: Allora, con la parametrizzazione scelta: Applicando il teorema di Gauss -Green Dove è il versore normale esterno di 82 -Teorema di Stokes Sia una superficie regolare semplice orientata di classe . Sia orientato coerentemente con l'orizzontale di . Sia un campo di classe definito su di un aperto A di contenente . Allora: Dove n è il campo di versori normali usato per orientare Dimostrazione: Il teorema di Stokes è la generalizzazione del teorema di Gauss -Green 83 -Conservatività di un campo irrotazionale su un insieme semplicemente connesso Dimostrazione: Poiché: Allora se il campo è irrotazionale il lavoro deve essere nullo. Sia un insieme semplicemente connesso di .Sia un campo irrotazionale. Allora F è conservativo su una curva chiusa 84 -Teorema di Green nello spazio Se è z -semplice e allora • Se è y -semplice e allora • Sia e sia Teoremi con dimostrazione Pagina 20 Se è y -semplice e allora • Se è x -semplice e allora • Dimostrazione: Preso z-semplice allora con D regione semplice di e sono di classe Allora: Poichè : Allora: Verifichiamo che Da cui ricaviamo che: Dove n è il versore normale esterno a 85 -Teorema della divergenza nello spazio Sia una regione semplice (ossia x -semplice, y -semplice, z -semplice) e un campo di classe . Allora: Dimostrazione: Prendiamo definito come Allora possiamo dire che il flusso vale: Per il teorema di Green possiamo dire che: Dove è orientata con il versore normale esterno di n 86 -Legge di Gauss 87 -Volumi come integrali di superfici Sia una regione semplice al più semplice a pezzi, allora dove Teoremi con dimostrazione Pagina 21