Energy Engineering - Analisi e geometria 2

Teoremi per esame orale

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Politecnico di Milano Scuola dell’Ingegneria Industriale e dell’Informazione Dipartimento di Ingegneria MeccanicaCorso di:Analisi e Geometria 2Docente: Sianesi Francesca Esercitatore: Angelici FrancescoEsercitatore: Zaro FilippoAutore: Fabio Santoro 19 Giugno 2020 Indice I Algebra Lineare7 1 Unicità di scrittura di un vettore rispetto ad una base91.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 2 Lo span di k vettori è un sottospazio vettoriale102.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 2.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 3 Unicità della matrice inversa11 3.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 3.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 4 Invertibilità del prodotto tra matrici124.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 4.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 5 Immagine e nucleo sono sottospazi135.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 5.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 6 Caratterizzazione delle funzioni lineari iniettive146.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 6.2 Dimostrazione⇒. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 6.3 Dimostrazione⇐. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 7 Rappresentazione per funzioni lineari daRn aRm 15 7.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 7.2 Dimostrazione⇐. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 7.3 Dimostrazione⇒. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 8 Proprietà dell’immagine di una funzione lineare168.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 8.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 9 Matrici simili rappresentano la stessa funzione lineare179.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 9.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 10 Primo criterio di diagonalizzabilità1810.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 10.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 11 Cramer19 11.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 11.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 3 12 Rouché-Capelli 20 12.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 12.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 13 Struttura dell’insieme delle soluzioni di un sistema2113.1 Enunciato: sistema omogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 13.2 Dimostrazione: sistema omogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 13.3 Enunciato: sistema completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 13.4 Dimostrazione: sistema completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 14 Determinazione analitica degli autovalori e degli autovettori2214.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 14.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 15 Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico2315.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 15.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 16 Riduzione a forma canonica di forma quadratica2416.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 II Equazioni differenziali ordinarie25 17 Struttura dell’integrale generale: caso di equazioni omogenee e complete2717.1 Caso equazione omogenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 17.2 Caso equazione completa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 17.3 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 18 Equazioni differenziali ordinarie: Integrale generale2918.1 Integrale generale per l’equazione omogenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 18.2 Ricerca delle soluzioni particolari: Metodo di Somiglianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 18.3 Soluzione generale dell’equazione completa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 III Serie numeriche31 19 Condizione necessaria di convergenza3319.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 19.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 20 Serie geometrica34 20.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 21 Serie armonica35 21.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 IV Serie di Fourier37 22 Coefficienti di Fourier di funzioni pari o dispari3922.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 V Funzioni reali di più variabili reali41 23 Continuità delle funzioni differenziabili4323.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 23.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 24 Proprietà del Gradiente: ortogonalità del gradiente alle curve di livello4424.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 24.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 25 Proprietà del Gradiente: Direzione massima crescita46 25.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 25.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 26 Formula del Gradiente47 26.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 26.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 VI Ottimizzazione delle funzioni di due variabili49 27 Teorema di Fermat per funzioni in 2 variabili5127.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 27.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 28 Condizioni sufficienti per estremi liberi5228.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 28.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 29 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange5329.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 29.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 VII Campi vettoriali e integrali di linea55 30 Condizione necessaria affinché un campo sia conservativo5730.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 30.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 31 Teorema fondamentale degli integrali di linea5831.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 31.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 32 Proprietà caratterizzanti dei campi conservativi5932.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 32.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 33 Teorema di Gauss-Green per campi piani6133.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 33.2 Dimostrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 34 Formula dell’area63 34.1 Enunciato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 I-Algebra Lineare 7 Pag. 8 Parte I(Indice) 1.Unicità di scrittura di un vettore rispetto ad una base 1.1Enunciato SeVè uno spazio vettoriale eA={v1 , v2 , ..., vn } è una base diV, allora ogni vettore diVsi scrive in modo unico come combinazione lineare div1 , v2 , ..., vk 1.2Dimostrazionev∈ V v= k X i=1c ivi se v= k X i=1d ivi conc i, d i∈ R allora v− v= 0 = k X i=1c ivi −k X i=1d ivi = ( c 1− d 1) v1 + ( c 2− d 2) v1 + ...(c k− d k) v1 I vettoriv1 , v2 , ..., vk sono linearmente indipendenti, quindi: c1− d 1= c 2− d 2= ...=c k− d k= 0 (Indice)Parte I Pag. 9 2.Lo span di k vettori è un sottospazio vettoriale 2.1Enunciato span(v1 , v2 , ..., vk ) è un sottospazio vettoriale diV 2.2Dimostrazione span(v1 , v2 , ..., vk ) è chiuso rispetto alla somma: sianoc 1v1 + c 2v2 + ...+c kvk , d 1v1 + d 2v2 + ...+d kvk ∈ span(v1 , v2 , ..., vk ) allora: c1v1 + c 2v2 + ...+c kvk + d 1v1 + d 2v2 + ...+d kvk = ( c 1+ d 1) v1 + ( c 2+ d 2) v2 + ...+ (c k+ d k) vk ∈ span(v1 , v2 , ..., vk ) span(v1 , v2 , ..., vk ) è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare: siat∈Rec 1v1 + c 2v2 + ...+c kvk ∈ span(v1 , v2 , ..., vk ) allora: t(c 1v1 + c 2v2 + ...+c kvk ) = ( tc 1) v1 + ( tc 2) v2 + ...+ (tc k) vk ∈ span(v1 , v2 , ..., vk ) Pag. 10 Parte I(Indice) 3.Unicità della matrice inversa 3.1Enunciato Se A è invertibile allora la sua inversa è unica 3.2Dimostrazione SeA·B=B·A=IeA·C=C·A=Iallora: A·B=I C·(A·B) =C·I (C·A)·B=C I·B=C B=C (Indice)Parte I Pag. 11 4.Invertibilità del prodotto tra matrici 4.1EnunciatoA, Bn×n A·Bè invertibile⇔detA̸ = 0T detB̸ = 0, cioèAè invertibile eBè invertibile e(A·B)− 1 =B− 1 ·A− 1 4.2Dimostrazionedet(A·B) =detA·detB A·Binv⇔det(A·B)̸ = 0⇔detA̸ = 0T detB̸ = 0 A·B· B− 1 ·A− 1
=I Pag. 12 Parte I(Indice) 5.Immagine e nucleo sono sottospazi 5.1EnunciatoL:V−→Wlineare Allora: 1.I mmLè ssp diW 2.K erLè ssp diV 5.2Dimostrazione1.Sew1 , w2 ∈ I mm(L)⇒w1 = L(v1 ) ew2 = L(v2 ) ⇒w1 + w2 = L(v1 ) + L(v2 ) = L(v1 + v2 ) ⇒w1 + w2 ∈ I mm(L) ⇒t·w1 = t·L(v1 ) = L(t·v1 ) ⇒t·w1 ∈ I mm(L) 2.Sev1 , v2 ∈ K er(L)⇒L(v1 ) = L(v2 ) = 0 ⇒L(v1 + v2 ) = L(v1 ) + L(v2 ) = 0W + 0W = 0W ⇒ v1 + v2 ∈ K erL ⇒L(t·v1 ) = t·L(v1 ) = t·0W = 0W ⇒ t·v1 ∈ K erL (Indice)Parte I Pag. 13 6.Caratterizzazione delle funzioni lineari iniettive 6.1Enunciato L:V7→Wlineare,Lè iniettiva⇔K erL={0} (se e solo sedimK erL= 0) 6.2Dimostrazione⇒ Sev∈ V,v∈ K erL⇒L(v) = 0 , ma ancheL(0) = 0 Lè inettiva, quindi seL(v) = L(0) →v= 0 6.3Dimostrazione ⇐ Sianov1 , v2 ∈ V|L(v1 ) = L(v2 ) ⇒L(v1 − v2 ) = 0⇒ v1 − v2 ∈ K erL, maK erL={0} ⇒ v1 = v2 e Lè iniettiva Pag. 14 Parte I(Indice) 7.Rappresentazione per funzioni lineari da Rn aRm 7.1Enunciato L:Rn 7→Rm lineare⇔ ∃A m×n| L(x) = A·x∀ x∈ R.Asi chiama matrice rappresentativa della funzioneLe le colonne diAsono vettoriL(e1 ) , L(e2 ) , ..., L(en ) . Cone1 , e2 , ..., en base canonica di Rn 7.2Dimostrazione⇐ SeL(x) = A·x: ⇒L x+ y
=A· x+ y
=A·(x) + A· y
=L(x) + L y
⇒L(t·x) = A·(t·x) = t·A·(x) = t·L(x) 7.3Dimostrazione⇒ SeLè lineare ex∈ R⇒x= x 1· e1 + x 2· e2 + ...+x n· en L(x) = x 1· L(e1 ) + x 2· L(e2 ) + ...+x m· L(em ) , presoL(ei ) ∈Rm m−upladi numeri reali. SiaAuna matrice con colonnea1 =L(e1 ) , a2 =L(e2 ) , ..., an =L(en ) Am×n· L(x) = x 1· a1 +x 2· a2 +...+x n· an =A·x(Indice)Parte I Pag. 15 8.Proprietà dell’immagine di una funzione lineare 8.1Enunciato L:V−→Wlineare,dimV=n,A={v1 , v2 , ..., vn } base diValloraI mmLè un sottospazio diWgenerato dai vettoriL(v1 ) , L(v2 ) , ..., L(vn ) 8.2Dimostrazione Siaw∈ Wew∈ I mmL⇒ ∃v∈ V|L(v) = wv= c 1v1 + c 2v2 + ...+c nvn w= L(v) = L(c 1v1 + c 2v2 + ...+c nvn ) = c 1L (v1 ) + c 2L (v2 ) + ...+c nL (vn ) Allora l’immagineI mmL=span(L(v1 ) , L(v2 ) , ..., L(vn )) Pag. 16 Parte I(Indice) 9.Matrici simili rappresentano la stessa funzione lineare 9.1Enunciato L:Rn −→Rn lineare,abase canonica diRn ,b={v1 , v2 , ..., vn } altra base diRn ,Ala matrice rappresentativa diL rispetto ada,Bla matrice rappresentativa diLrispetto aballora si ha cheP− 1 AP=BdoveP= [v1 , v2 , ..., vn ] 9.2Dimostrazione Siax∈ Rn e siay= L(x) ∈Rn alloray= Ax. Siax′ ∈Rn il vettore delle coordinate dixrispetto a be siay′ ∈Rn il vettore delle coordinate diL(x) = yrispetto a ballorax= P x′ ey= P y′ y= Ax⇒ P y′ =AP x′ ⇒y′ = P− 1 AP
x′ ⇒P− 1 AP=B (Indice)Parte I Pag. 17 10.Primo criterio di diagonalizzabilità 10.1Enunciato L:Rn 7→Rn lineare Lè diagonalizzabile⇔ ∃BdiRn formata da autovettori diL 10.2Dimostrazione Lè diagonalizzabile⇔ ∃B={v1 , v2 , ..., vn { diRn rispetto alla quale la matrice rappresentativa diLè diagonale D=    λ 10 λ2 ... 0λ n     ⇔ ∃una baseBtale che: L(v1 ) = λ 1· v1 (la prima colonna di Dè il vettore di coordinate, rispetto aB, diL(v1 ) . . . L(vn ) = λ n· vn Pag. 18 Parte I(Indice) 11.Cramer 11.1Enunciato Il sistema dinequazioni innincogniteA·x= bA n×nse detA̸ = 0ha una e una sola soluzione 11.2Dimostrazione A·x= b, detA̸ = 0⇒ ∃A− 1 |A− 1 ·(A·x) = A− 1 ·bx= A− 1 ·b(Indice)Parte I Pag. 19 12.Rouché-Capelli 12.1Enunciato Il sistemaAx= be possibile ⇔r(A) =r(A|b12.2Dimostrazione Am×ne (A|b) m×n+1 Il sistemaA·x= b⇔ ∃ c∈ Rn |A·c= bc 1· a1 +c 2· a2 +...+c n· an se e solo sebè combinazione lineare delle colonne di A se e solo sespan a1 , a2 , ..., an , b
=span a1 , a2 , ..., an
dimspan a1 , a2 , ..., an , b
=dimspan a1 , a2 , ..., an
Pag. 20 Parte I(Indice) 13.Struttura dell’insieme delle soluzioni di un sistema 13.1Enunciato: sistema omogeneo A·x= 0, A m×n, sol(A|0) è un sottospazio vettoriale diRn di dimensionen−r; doverè il rango diA 13.2Dimostrazione: sistema omogeneoAm×n→ L A: Rn →Rm L(x) = A·xsol (A|0) = K erL Aè un sottospazio vettoriale di Rn dimsol(A|x) = n−r(A)Teorema nullità più rango 13.3Enunciato: sistema completo A·x= bse r(A) =r(A|b) sol (A|b) = sol(A|0) + c, c∈ Rn tale che{z+ c: z∈ sol(A|0) } A·c= bsol =∞n −r soluzioni cè la soluzione particolare del sistema completo 13.4Dimostrazione: sistema completo1.sol(A|b) ⊆sol(A|b) + cse d∈ sol(A|b) ⇒d+ c∈ sol(A|0) A·d= A·c= b⇒ d∈ sol(A|0) + c2. sol(A|0) + c⊆ sol(A|b) z∈ sol(A|0) z+ c∈ sol(A|b) (Indice)Parte I Pag. 21 14.Determinazione analitica degli autovalori e degli autovet- tori 14.1EnunciatoL:Rn 7→Rn L(x) = A·xλ è un autovalore diL⇔det(A−λI) = 0 14.2Dimostrazione λè un autovalore diLse∃x∈ Rn ,x̸ = 0, tale che L(x) = λ·x, A·x− λ·x= 0 (A−λI)·x= 0 Si tratta di un sistema omogeneo    a 1,1− λ a 1,2· · · a 1,n a2,1a 2,2− λ· · ·a 2,n . . .. . .. ... . . an,1a n,2· · · a n,n− λ    ·    x 1 x2 . . . xn    =    0 0. . . 0     Il sistema omogeneo(A−λI)·x= 0 ha∞n −r soluzioni •1 ser=r(A−λI) =n •∞soluzioni ser < n Ha soluzione non banalex̸ = 0⇔ det(A−λI) = 0polinomio caratteristico inλdi gradon. Equazione caratteristica Pag. 22 Parte I(Indice) 15.Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico 15.1Enunciato Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico (gli stessi autovalori) 15.2Dimostrazione An×npolinomio caratteristico det(A−λI) Bn×npolinomio caratteristico det(B−λI) AeBsimili se∃Pinvertibile tale cheP− 1 ·A·P=B B−λI=P− 1 ·A·P−λI=P− 1 ·A·P−λI−P− 1 ·λI·P=P− 1 ·(A−λI)·P det(B−λI) =det P− 1 ·(A−λI)·P
=detP− 1 ·det(A−λI)·detP=det(A−λI) (Indice)Parte I Pag. 23 16.Riduzione a forma canonica di forma quadratica 16.1Enunciato SiaQ(h) = ht ·A·h, A m×n SeAè simmetrica⇒ ∃Portogonale|Pt ·D·P=Ddiagonale SiaP= [v1 , v2 , ..., vn ] e siaa= [v1 , v2 , ..., vn ] una base ortonormale diRn D=    λ 10 λ2 .. . 0λ n     λ1, λ 2, ..., λ nautovalori di A Siah, h′ ∈Rn h= P·h′ h′ =P− 1 ·h= Pt ·hAllora: Q(h) = ht ·A·h= P·h′
t ·A· P·h′
=h′ t ·Pt ·A·P·h′ =h′ t ·D·h′ =λ 1· h2 1+ λ 2· h2 2+ ...+λ n· h2 n forma quadratica Pag. 24 Parte I(Indice) II-Equazioni differenziali ordinarie 25 Pag. 26 Parte II(Indice) 17.Struttura dell’integrale generale: caso di equazioni omoge- nee e complete 17.1Caso equazione omogeneaay′′ +by′ +cy= 0 L’applicazioneL L(y) =ay′′ +by′ +cy L:C2 (I)−→C0 (I)cony∈C2 (I).C0 spazio vettoriale delle funzioni continue. Lè lineare perché L(y 1+ y 2) = a·(y′′ 1+ y′′ 2) + b·(y′ 1+ y′ 2) + c·(y 1+ y 2) =ay′′ 1+ by′ 1+ cy 1+ ay′′ 2+ by′ 2+ cy 2 =L(y 1) + L(y 2) L(α·y) =α·L(y) L’integrale generale dell’equazione dell’equazioneay′′ +by′ +cy= 0 S0= {y∈C2 (I)|L(y) = 0}=K erL⇒S 0è un sottospazio vettoriale di C2 (I) dim(S 0) = 2 . Se due funzioni sono due soluzioni linearmente indipendenti (non proporzionali) dell’equazione omogenea, ogni altra soluzione è loro combinazione lineare y=C 1y 1+ C 2y 2 17.2Caso equazione completaay′′ +by′ +cy=f(x) S=S 0+y •S: integrale generale dell’equazione completa •S 0: integrale generale dell’equazione omogenea associata •y : soluzione particolare dell’equazione completa y=C 1y 1+ C 2y 2+y 17.3Dimostrazione1.S⊆S 0+y siay∈S⇒y−y ∈S 0infatti L(y−y ) =L(y)−L(y ) =f−f= 0 cioèy∈S 0+y (Indice)Parte II Pag. 27 2. S 0+y ⊆S siay∈S 0+y ⇒y=Z+y conZ∈S 0 L(y) =L(Z+y ) =L(Z) +L(y ) = 0 +f=f ⇒y∈S Pag. 28 Parte II(Indice) 18.Equazioni differenziali ordinarie: Integrale generale 18.1Integrale generale per l’equazione omogenea Data l’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti omogenea:a·y′′ +b·y′ +c·y= 0 cona, b, c∈Rea̸ = 0Si deve trovare la soluzione del tipo: y(t) =C 1· y 1( t) +C 2· y 2( t) Bisogna scrivere:•Polinomio carratteristico:P(λ) =a·λ2 +b·λ+c •Equazione caratteristica:P(λ) = 0⇒a·λ2 +b·λ+c= 0 Calcolare il discriminante∆ =b2 −4ac e scrivere il risultato dalla casistica seguenteDiscriminante Radici di P(λ)y 1( t)y 2( t)∆ >0λ 1̸ =λ 2∀ λ 1, λ 2∈ Reλ 1t eλ 2t ∆ = 0λ 1= λ 2∀ λ 1, λ 2∈ Reλ 1t t·eλ 2t ∆0y(t) =C 1· eλ 1t +C 2· eλ 2t ∆ = 0y(t) = (C 1+ t·C 2) ·eλ 1t ∆1 11 −qse |q|