Energy Engineering - Statistica per L'ingegneria

First partial exam

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Prima prova in itinere di Statistica per Ingegneria Energetica9 maggio 2014 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1. La legge di Planck aerma che l'energiaEassociata ad una radiazione elettromagnetica dipende dalla lunghezza d'ondadella radiazione stessa attraverso la nota formula: E=h
c doveh= 6;625
10 34 J
sè la costante di Planck ecè la velocità di propagazione della radiazione (si consideri la velocità nel vuoto, ovveroc=c 0= 2 ;9976
108 ms ). Il noto esperto di energia Mario Pannello (laureatosi a pieni voti al Politecnico di Milano, dopo un brillante esame di statistica) è interessato a studiare l'energia delle radiazioni nella zona salentina, dove è intenzionato a costruire la più grande centrale di energia solare del mondo utilizzando pannelli in silicio cristallino che sfruttano le radiazioni a lunghezze d'onda nella parte visibile dello spettro. Misura pertanto le lunghezze d'onda, inm, di 650 radiazioni ottenendo i dati riassunti nella seguente tabella:ClassiFrequenze assolute [0 :35; 0:45)175 [0 :45; 0:55)165 [0 :55; 0:65)201 [0 :65; 0:75)109 a) Completare la tabella di distribuzione di frequenze (inserendo frequenze relative, frequenze cumulate e densità) e rappresentare la distribuzione delle lunghezze d'ondamisurate tramite un istogramma. Mario Pannello vorrebbe ora calcolare media e terzo quartile delle lunghezze d'onda osservate. Purtroppo non ha più a disposizione i 650 dati grezzi, ma solo la tabella sopra riportata. Fortunatamente, grazie al brillante esame di statistica, non tutto è perduto. b) Calcolare, eventualmente in maniera approssimata, la media e il terzo quartile delle lunghezzed'onda misurate. Mario Pannello si accorge inne che per la sua analisi sono più rilevanti le energieEpiuttosto che le lunghezze d'onda. Purtroppo non ha più a disposizione i 650 dati grezzi, ma solo la tabella sopra riportata. Fortunatamente, sempre grazie al brillante esame di statistica, non tutto è perduto. c) Calcolare una tabella di distribuzione di frequenze per le energieEdelle radiazioni osservate e rappresentarne la distribuzione tramite un istogramma (indicando l'unità di misura considerata). d) Calcolare, eventualmente in maniera approssimata, la media e il primo quartile delle energie delleradiazioni osservate. 1 Risultati. a) La tabella completa è riportata in Tabella 1. L'istogramma sulla sinistra di Figura 1. b) Utilizzando le approssimazioni per calcolare media e quantili a partire da un istogramma si ottiene: n' 0:40:269 + 0:50:254 + 0:60:309 + 0:70:168 = 0:5376 Q3' 0:55 + 0:1
0 :750:5230 :8320:523= 0 :623 c) Consideriamo l'energia in Joule. La tabella completa è riportata in Tabella 2. L'istogramma sulladestra di Figura 1 (indispensabile in questo caso l'uso delle densità). d) Utilizzando le approssimazioni per calcolare media e quantili a partire da un istogramma si ottiene:e n' (2:85160:168 + 3:3330:309 + 4:0120:254 + 5:04350:269)
10 19 = 3:8847
10 19 Q1' (3:055 + (3:6113:055)
0 :250:1680 :4770:168)
10 19 '3:203
10 19ClassiFr. ass.Fr. rel.Fr. cum.Den. [0 :35; 0:45)1750.2690.2692.69 [0 :45; 0:55)1650.2540.5232.54 [0 :55; 0:65)2010.3090.8323.09 [0 :65; 0:75)1090.16811.68 Tabella 1: Tabella di distribuzione di frequenze per le lunghezze d'onda ClassiFr. ass.Fr. rel.Fr. cum.Den. 10 19
[2:648; 3:055)1090.1680.1684 :11
101810 19
[3:055; 3:611)2010.3090.4775 :56
101810 19
[3:611; 4:413)1650.2540.7313 :17
101810 19
[4:413; 5:674)1750.26912 :14
1018Tabella 2: Tabella di distribuzione di frequenze per le energie Figura 1: Istrogramma delle lunghezze d'onda (sulla sinistra) e delle energie (sulla destra) 2Istogramma della lunghezza d'onda lambda (micrometri) Densità 0.4 0.5 0.6 0.7 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Istogramma dell'energia Energia (Joule) Densità 3.0e−19 3.5e−19 4.0e−19 4.5e−19 5.0e−19 5.5e−19 0e+00 1e+18 2e+18 3e+18 4e+18 5e+18 Problema 2 . Cesare sa di vincere a basket contro Mario in ogni singola partita con probabilità0:42; allora decide di giocare con Mario nel modo seguente. Il Lunedì di ogni settimana Cesare e Mario giocano 6mini-partite; se Cesare ne vince almeno2il gioco si ferma, altrimenti il Mercoledì della stessa settimana Cesare e Mario giocano altre6partite. Si assuma che i risultati delle partite siano tra loro indipendenti. a) Si determini la probabilità che, in una data settimana, Cesare e Mario giochino anche il Mercoledì. b) Si determini la probabilità che, in una data settimana, Cesare e Mario giochino solo il Lunedì. Il centro sportivo dove giocano Cesare e Mario introduce una promozione per il Mercoledì: ogni 15 prenotazioni pagate, la 16-esima è gratuita. c) Si determini la probabilità che Cesare e Mario usufruiscano della promozione almeno una volta inun anno1 , ovvero che Cesare e Mario giochino anche il Mercoledì per più di 15 settimane in un anno. d) Quante settimane ci vogliono perché Cesare e Mario usufruiscano della promozione con una proba-bilità del 10% almeno. Risultati.a) SiaX= il numero di mini-partite su 6 vinte da Cesare, XBi(6;0:42). Allora P(giocano anche mer) =P(X1) = 6 0
0:420
(10:42)6 + 6 1
0:421
(10:42)5 = 0:2035: b)P(giocano sol lun) = 1P(giocano anche mer) = 10:2035 = 0:7965. c) SiaY= il numero di mercoledì in un anno in cui Cesare e Mario giocano, YBi(52; p)conp= 0:2035, E[Y] == 52
p= 10:58, Var(Y) =2 = 52
p
(1p) = 8:4277. Poiché >5e52 >5possiamo sfruttare l'approssimazione Normale della Binomiale, per cui Y' N(; 2 )e possiamo calcolare la probabilità richiesta come segue, ricordandosi di eettuare la correzione di continuità: P(Y >15) =P(Y >15:5)P(Z >(15:5)=) =P(Z >1:6946)1P(Z1:69) 10:9549 = 0:0451: Senza approssimazione normale si troverebbe il risultato esattoP(Y >15) = 0:0500. d) SiaW n= il numero di mercoledì su nsettimane in cui Cesare e Mario giocano, Wn Bi(n; p)conp= 0:2035. Dobbiamo risolvere rispetto adnla disequazione P(W n> 15)0:1: Poiché pern= 52la disequazione non è soddisfatta, ma già vale l'approssimazione normale, possiamo dare per scontato cheW n' N (np; np(1p))e risolvere come segue: 0:1P(W n> 15) =P Wn npp np (1p)> 15 :5npp np (1p)! 1 15:5npp np (1p)! 15:5npp np (1p) z 0:1) n z 0:1pp (1p) +pz 2 0:1p (1p) + 4
15:5p2 p! 2 = 57:03 n58: Senza approssimazione normale si troverebbe il risultato esatton57.1 Si consideri l'anno come composto da 52 settimane 3 Problema 3 . Uno studente dell'Università di Noah ha appena seguito e dato l'esame diStoria del la Federazione Terrestrepresso l'Università del Principato di Zeon prendendo 8.5. Le due Università tuttavia non hanno lo stesso sistema di voti: i voti sucienti a Zeon sono compresi fra 6 e 10, mentre a Noah sono compresi fra 13 e 25. In entrambe le Università i voti sono numeri reali, non necessariamente interi. Ora lo studente è tornato a Noah, il suo esame deve essere convalidato e il suo voto convertito. 1. Lo studente cerca di prevedere il risultato della conversione con una proporzione. Cosa ottiene? L'Università di Noah però sa bene che la distribuzione dei voti presso i due Atenei non è equivalente e pertanto tiene conto di questa dierenza nella conversione. Il votoXdi uno studente diStoria del la Federazione Terrestrea Noah è una variabile continua con densità fX( x) =( x25)2576 I [13;25]( x); mentre il votoYdi uno studente diStoria del la Federazione Terrestrea Zeon è una variabile continua con densità a V, ovvero della forma fY( y) =8 > > > < > > > :0 ;sey 10: 2. Determinare il valore della costanteke tracciare un graco qualitativo delle densitàf Xe f Y. 3. Calcolare e tracciare un graco qualitativo delle funzioni di ripartizioneF Xe F Y. 4. Confrontare voto medio e voto mediano perX. Confrontare voto medio e voto mediano perY. 5. Calcolare la percentualedi studenti che a Zeon prende inStoria del la Federazione Terrestreun votoYdi almeno 8.5. 6. L'Università di Noah converte il votoy= 8:5con quel votoxche a Noah viene preso o superato dalla medesima percentuale di studenti diStoria del la Federazione Terrestre. Cosa ottiene? 4 Risultati . 1.(x13) : (2513) = (8:56) : (106)()x= 20:5. 2.( fY( y)0; R+1 1f Y( y) dy= 1() k= 1=4. 3.F X( x) =8 > > < > > :0 ;sex13; 1(25 x)31
728; se13x25; 1;sex25;F Y( y)8 > > > > > > < > > > > > > :0 ;sey6; 12 ( y8)28 ; se6y8; 12 + ( y8)28 ; se8y10; 1;sey10: 4.EX=Z 25 13x ( x25)2576 d x= 16, mX: F X( m X) = 0 :5()m X= 25 3 p1
728
0:5 = 15:4756, per cuim X< EX, come ci si doveva aspettare dalla coda a destra della distribuzionef X. EY=m Y= 8 come ci si doveva aspettare dalla simmetria della distribuzionef Y. 5.=P(Y8:5) = 15=32 = 0:46875 = 46:875%. 6.x:F X( x) = 0:46875()x= 253 p1
728
0:46875 = 15:6783. 5