Energy Engineering - Statistica per L'ingegneria

Full exam

Problema 1. Alla Scuola di Magia e Stregoneria di Hogwarts questo mese è periodo d'esami. Una delle prove più temute è la verica scritta di Artimanzia della prof.ssa Septima Vector. La prof.ssa Vector infatti lascia solamente1:5ore di tempo per svolgere tutto il compito, e gli studenti spesso non riescono a nire l'esame così velocemente.Dall'esperienza degli anni passati, Hermione Granger sa che un qualsiasi studente riesce a concludere una prova scritta in un tempoT(espresso in ore), che è una variabile aleatoria assolutamente continua con densità f(x) =( ae bx sex1 0sex 1) =Z +1 te 1 x dx= e1 t ,t= 1ln 0:20 = 2:609ore: [Col suggerimento:t= 123 ln 0 :20 = 2:073ore.] 2 Problema 2. Le radiazioni ionizzanti sono pericolose per la salute umana quando la loro intensità media supera gli1:50Sv=h(micro Sievert all'ora). Su pressione dei cittadini di Springeld, preoccupati per il livello di radiazioni emesse dalla centrale nucleare del Signor Burns, il sindaco Quimby ha mandato alcuni tecnici del comune a ispezionare la centrale. Il Signor Burns però ha concesso ai tecnici di eettuare solo3misure del livello di radiazioni in prossimità del reattore. I tecnici hanno a disposizione uno strumento di misura con precisione pari a0:70Sv=h; si può pertanto supporre che i dati che otterranno costituiscano un campione gaussiano X1; X 2; X 3, con X i N(; 2 ), in cuiè incognita e pari all'intensità media di radiazione vicino alla centrale, mentre= 0:70Sv=hè la precisione nota dello strumento di misura. Il sindaco Quimby vuol capire in base a questi dati se i suoi cittadini possono ritenersi al sicuro oppure no. (a)È chiaro che l'errore più grave per i cittadini è ritenere sicura la centrale quando in realtà la radiazionemedia emessa supera il limite di pericolosità. Perciò, il sindaco Quimby vuole che la probabilità di commettere questo errore sia soltanto del2:5%. Aiutatelo a impostare un opportuno test d'ipotesi, specicando ipotesi nulla e alternativa, statistica test e regione di riuto. (b)La radiazione di fondo naturale è pari a0:35Sv=h. Quando in eetti= 0:35Sv=h, qual è la probabilità che il test del punto precedente induca (erroneamente!) a ritenere pericolosa la centrale? (c)Cosa suggerireste di fare al Signor Burns per ridurre la probabilità del punto (b)? Le3misure hanno dato i seguenti valori: 1:32 0:47 0:94 (d)Cosa concludete nel test del punto (a)?(e)Qual è ilp-value di tale test? (f )Determinate un intervallo di condenza unilatero di livello90%del tipo(c;+1)per l'intensità media di radiazione vicino alla centrale. Risultati.(a) L'errore più grave è quello che si commette quando si riuta l'ipotesi nullaH 0(cioè si accetta H1) quando in realtà H 0è vera. Nel nostro caso, l'errore più grave è ritenere che